creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 
Pepsi กับ Coke

เพื่อนของผมชอบดื่ม Coke เขาบอกว่า Coke หวานน้อยกว่า Pepsi จริงหรือเปล่าผมเองก็ไม่รู้นะ (แม้ต่อมาเจ้าเพื่อนคนนี้จะพลิกผันไปเป็นพรีเซ็นเตอร์ให้กับเป็ปซี่ก็ตาม) เวลาเราออกไปกินข้าวนอกบ้านด้วยกัน เขาจะสั่ง Coke ถ้าร้านบอกว่าไม่มี Coke เปลี่ยนเป็น Pepsi แทนได้มั้ย? เขาจะตอบว่าไม่ได้ รสมันไม่เหมือนกัน ผมก็ถามว่าถ้าพนักงานรินใส่แก้วมาเลย โดยไม่บอกว่าไอ้ที่อยู่ในแก้วนั่นคือ Pepsi มันจะรู้มั้ยว่าแก้วนี้เป็น Coke หรือ Pepsi เพื่อนของผมอ้างว่ารู้ครับ ลิ้นของเขาสามารถแยกแยะได้

ผมไม่เชื่อ!

แบบนี้ต้องมีการท้าพิสูจน์กันหน่อย ด้วยความร่วมมือจากคุณเจ้เจ้าของร้าน ผมขอให้เจ้แกช่วยซื้อโค้ก แล้วรินใส่แก้ว n ใบ และรินเป็ปซี่ใส่แก้ว n ใบ เรียงต่อกันไปเป็นแถวยาวจำนวน 2n ใบ ซึ่งแก้วแต่ละใบเหมือนกันทุกประการ ยกเว้นเครื่องดื่มที่อยู่ข้างใน ผมขอให้เจ้สลับลำดับและจดเอาไว้ว่าแก้วไหนเป็นโค้ก แก้วไหนเป็นเป็ปซี่ จากนั้นให้เพื่อนของผมไล่ชิมทีละแก้วตั้งแต่แก้วที่ 1 จนถึงแก้วที่ 2n จากนั้นให้เขาแยกแก้วที่เป็นโค้กออกมา n แก้ว (เพื่อนทราบว่ามีแก้วโค้กเท่ากับเป็ปซี่)

สมมติว่าเพื่อนคนนี้ -สมมติอีกทีว่าชื่อมาริโอ้- ของผมสามารถแยกได้ระหว่างโค้กกับเป็ปซี่ด้วยความน่าจะเป็น p (เมื่อ p อยู่ในช่วง [0,1]) หมายความว่ามันเดาด้วยโอกาส 1-p (ที่ผมบอกว่าผมไม่เชื่อ นั่นก็เท่ากับว่าผมบอกว่า p = 0) และถือว่าการตัดสินว่าแก้วไหนโค้ก/เป็ปซี่ แต่ละแก้วเป็นอิสระจากกัน

คำถามคือ โอกาสที่ n แก้วที่มาริโอ้แยกออกมาแล้วบอกว่าเป็นโค้ก จะเป็นโค้กจริง ๆ k แก้ว (เมื่อ k มีค่าอยู่ในช่วง [0,n]) เท่ากับเท่าไร?

ในกรณีที่คุณชอบตัวเลข สมมติว่าผมทดลองที่โค้กและเป็ปซี่อย่างละ 50 แก้ว คุณคิดว่า p อย่างน้อยต้องมีค่าเท่าไหร (ประมาณแบบคร่าว ๆ ก็ได้ครับ) เขาถึงพอที่จะสามารถพิสูจน์ได้ว่าเขามีความสามารถเช่นนั้นจริง มิใช่แยกได้ด้วยการเดาล้วน ๆ ถ้าจำเป็น จะใช้คอมพิวเตอร์ช่วย plot กราฟก็ไม่ว่ากันครับ



ถ้าเราบอกว่า X1 กับ X2 เป็นตัวแปรสุ่มจำนวนแก้วของโค้กและเป็ปซี่ที่มาริโอ้แยกได้ถูกต้องตามลำดับ อันนี้น่าจะเห็นชัดว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ X1=x1 และ X2=x2 หาได้จาก

P(X1=x1,X2=x2) = [Cn,x1px1(1-p)n-x1][Cn,x2px2(1-p)n-x2]

เมื่อ x1, x2 อยู่ในช่วง [0,k] ดังนั้นจะเหลือโค้ก n-x1 แก้ว และเป็ปซี่ n-x2 แก้วที่มาริโอ้ไม่สามารถแยกได้ พูดง่าย ๆ ว่ารวมแล้วมี 2n-x1-x2 แก้วที่มาริโอ้แยกไม่ออก จำนวนนี้คือจำนวนแก้วที่มาริโอ้ต้องเดาครับ เพื่อให้มาริโอ้สามารถเลือกโค้กจริง ๆ ได้ k แก้ว ดังนั้นในกลุ่ม 2n-x1-x2 แก้วที่มาริโอ้ต้องเลือกแบบสุ่มออกมา n-x1 แก้วแล้วบอกว่าเป็นโค้ก จะต้องเป็นโค้ก k-x1 แก้ว ที่เหลืออีก n-k แก้วเป็นเป็ปซี่

มันก็คือความน่าจะเป็นแบบไฮเปอร์จีโอเมทริก ที่เราเลือกของ n-x1 ชิ้นจากของ 2n-x1-x2 ชิ้น ที่สามารถแบ่งออกได้เป็นสองกลุ่ม กลุ่มแรกคือโค้ก มี n-x1 ชิ้น เราต้องเลือกออกมา k-x1 ชิ้น กลุ่มที่สองคือเป็ปซี่ มี n-x2 ชิ้น เราต้องเลือกออกมา n-k ชิ้น



ค่า x1 และ x2 เป็นไปได้ตั้งแต่ 0 ถึง k ดังนั้น Pn(k,p) ความน่าจะเป็นที่ n แก้วที่มาริโอ้แยกออกมาแล้วบอกว่าเป็นโค้ก จะเป็นโค้กจริง ๆ k แก้ว เมื่อมาริโอ้สามารถแยกโค้กกับเป็ปซี่ได้ด้วยความน่าจะเป็น p เท่ากับ



สังเกตความหมายของรูปประโยคคณิตศาสตร์อันนี้ดี ๆ นะครับ ถ้า p = 0 นั่นคือ x1 = x2 = 0 มาริโอ้เดาล้วน ๆ ทำให้ความน่าจะเป็นของมันแจกแจงแบบไฮเปอร์จีโอเมทริกธรรมดา ๆ นี่เอง พจน์ p0+0 = 12n = Cn,0 = 1

กราฟด้านล่างแสดง P50(k,p) ที่ k ตั้งแต่ 0 ถึง 50 และ p = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 รูปกราฟจากซ้ายไปขวาตามลำดับ ระฆังคว่ำรูปซ้ายมือสุด จะมียอดที่ k = 25 ดูแล้ว make sense ใช่มั้ยครับ เพราะ p = 0 มาริโอ้เดาล้วน ความน่าจะเป็นสูง ๆ ก็ต้องมากองที่บริเวณครึ่งหนึ่งของ 50 ถ้า k ของมาริโอ้เท่ากับ 35 นี่แปลว่าโอกาสเดาล้วนน้อยมาก ๆ แทบเป็นไปไม่ได้ และที่ 35 มันเป็นยอดของ p = 0.4 หากมาริโอ้ไม่อยากให้ใครกังขาในความสามารถแยกโค้กกับเป็ปซี่ เขาก็ต้องมีความสามารถนี้ที่ p > 0.4 ก็ฟังดู make sense อีกแล้วใช่มั้ยละครับ



คุณอยากรู้มั้ยครับว่าวันนั้นมาริโอ้แยกโค้กออกมาถูกต้องทั้งหมดกี่แก้ว?


Create Date : 20 ตุลาคม 2552
Last Update : 21 ตุลาคม 2552 16:10:53 น. 1 comments
Counter : 1961 Pageviews.

 
โหกลายเป็นเรื่อง math
แต่ผมแยก coke กับ pepsi ได้จริงนะครับ



โดย: zkaru วันที่: 21 ตุลาคม 2552 เวลา:16:54:21 น.  

ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
  *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.