creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 
ปัญหาลูกของคุณสมิท

มาร์ติน การ์ดเนอร์ (นักเขียนสารคดีเชิงคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ชาวอเมริกัน) เป็นผู้ตั้งปัญหาลูกสองคนด้วยสองคำถามว่า (1) คุณโจนส์มีลูกสองคน คนโตเป็นผู้หญิง ความน่าจะเป็นที่ลูกทั้งสองคนจะเป็นผู้หญิงเท่ากับเท่าไร? (2) คุณสมิทมีลูกสองคนเหมือนกัน และอย่างน้อยหนึ่งคนเป็นผู้ชาย ความน่าจะเป็นที่ลูกทั้งสองคนจะเป็นผู้ชายเท่ากับเท่าไร? ปัญหาข้อแรกง่าย เพราะเหมือนกับถามว่าโอกาสที่ลูกคนที่สองจะเป็นผู้หญิงเท่ากับเท่าไร มีสมมติฐานสองสามข้อที่เราต้องยอมรับร่วมกันก่อนคือ ลูกที่เกิดมาหากไม่ใช่เพศหญิงก็ต้องเป็นเพศชายเท่านั้นโดยโอกาสที่จะได้ลูกชายเท่ากับโอกาสที่จะได้ลูกสาว (ไม่อย่างนั้นก็เลิกคิดข้อนี้ได้เลย) และโอกาสที่จะเป็นเพศชายหรือเพศหญิงของลูกแต่ละคนเป็นอิสระจากกัน ฉะนั้นข้อแรกตอบได้โดยไม่ลังเลว่า 1/2 แต่ปัญหาข้อที่ (2) นี่แหละครับที่ชวนสับสน บางคนอาจสงสัยว่ามันต่างจากข้อแรกยังไง เรารู้ว่าสมิทมีลูกคนหนึ่งล่ะที่เป็นผู้ชาย ลูกอีกคนอาจจะเป็นชายหรือหญิงก็ได้เท่า ๆ กัน ดังนั้นโอกาสที่จะได้ลูกชายทั้งสองคนเท่ากับ 1/2 เหมือนโจทย์ข้อแรก แต่เมื่อเราแจกแจงว่ามีกรณีทั้งหมดที่เป็นไปได้ของเพศของลูกของคุณสมิทคือ {ชาย-ชาย, ชาย-หญิง, หญิง-ชาย, หญิง-หญิง} พิจารณาร่วมกับข้อเท็จจริงที่ว่าสมิทมีลูกเป็นชายอย่างน้อยหนึ่งคน ทำให้เราตัดกรณี ‘หญิง-หญิง’ ออกไป เหลือเพียง {ชาย-ชาย, ชาย-หญิง, หญิง-ชาย} ดังนั้นโอกาสที่จะได้ลูกชายทั้งสองคนจึงเท่ากับ 1/3 ตกลงแล้วโอกาสที่คุณสมิทจะมีลูกชายทั้งสองคนเท่ากับ 1/2 หรือ 1/3 กันแน่?



ปัญหาที่คล้ายคลึงกันนี้มีผู้อ่านนิตยสารพาเรดเขียนไปถาม Marilyn vos Savant คอลัมน์ Ask Marlilyn ในสองเวอร์ชัน (ราวปี 1991 กับ 1996 ตามลำดับ) เวอร์ชันแรก ‘เจ้าของร้านมีลูกสุนัขพันธุ์บีเกิ้ลสองตัว แต่เธอไม่รู้ว่าพวกมันมีเพศอะไรกันบ้าง คุณบอกเธอว่าคุณต้องการลูกสุนัขตัวผู้ ดังนั้นเธอจึงโทรศัพท์ไปถามคนดูแลสุนัขว่า “มีลูกบีเกิ้ลเป็นตัวผู้บ้างสักตัวมั้ย?” ผู้ดูแลตอบ “ค่ะ” เจ้าของร้านจึงหันมายิ้มกับคุณ ถามว่าโอกาสที่ลูกบีเกิ้ลอีกตัวหนึ่งจะเป็นตัวผู้เท่ากับเท่าไร?’ เวอร์ชันที่สอง ‘มีผู้หญิงกับผู้ชายที่ไม่เกี่ยวดองอะไรกัน แต่ละคนมีลูกสองคน เรารู้ว่าลูกอย่างน้อยหนึ่งคนของผู้หญิงเป็นผู้ชาย และลูกคนโตของผู้ชายเป็นผู้ชาย คุณ (หมายถึง Marilyn) ช่วยอธิบายหน่อยได้ไหมว่าเหตุใดโอกาสที่ผู้หญิงจะมีลูกชายสองคนไม่เท่ากับโอกาสที่ผู้ชายจะมีลูกชายสองคน? คุณครูพีชคณิตของฉัน (หมายถึงผู้เขียนจดหมายไปถาม Marilyn) บอกว่าโอกาสที่ผู้ชายจะมีลูกชายสองคนมีสูงกว่า แต่ฉันคิดว่าโอกาสน่าจะเท่ากัน คุณคิดว่าไง?’ แล้วคุณผู้อ่านล่ะครับ คิดว่า Marilyn จะตอบว่าอย่างไร? (มีใครไม่รู้จัก Marilyn บ้าง? กินเนสบุ๊คบันทึกชื่อของเธอไว้ในฐานะผู้ที่มี IQ สูงสุด)

ตัวอย่างการแก้ปัญหานี้ด้วยทฤษฎีของเบส์ กำหนดให้ A = เหตุการณ์ที่คุณสมิทมีลูกชายทั้งคู่ และ B = เหตุการณ์ที่ลูกของคุณสมิทเป็นเพศชายอย่างน้อยหนึ่งคน โจทย์ต้องการให้เราหา P(A|B) ถ้าเราไม่รู้ข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับ B เพิ่มเติมเลย เราจะตอบว่า P(A) = 1/4 ค่า P(A) ที่เป็นความรู้หรือความน่าจะเป็นตั้งต้นนี่จึงเรียกว่า prior probability ส่วนความรู้ที่ได้รับการปรับใหม่แล้วจากข้อมูลที่เพิ่มขึ้น P(A|B) เรียกว่า posterior probability และเรารู้ว่า P(B) = 3/4 ส่วนค่า P(B|A) หมายถึงความน่าจะเป็นที่ลูกของคุณสมิทจะเป็นเพศชายอย่างน้อยหนึ่งคนเมื่อคุณสมิทมีลูกชายสองคน นั่นคือ P(B|A) = 1 เมื่อแทนใน P(A|B) = P(A)P(B|A)/P(B) = (1/4)(1)/(3/4) = 1/3 ได้โอกาสที่คุณสมิทจะมีลูกชายสองคนเมื่อเรารู้ว่ามีอย่างน้อยหนึ่งคนเป็นผู้ชายเท่ากับ 1/3 คำตอบนี้ถือว่าเป็นคำตอบมาตรฐาน แต่คุณผู้อ่านทราบมั้ยครับ มันยังมีหนทางที่คำตอบจะพลิกกลับไปเป็น 1/2 ได้ ขึ้นอยู่กับว่าเรารู้ได้อย่างไรว่าลูกชายของคุณสมิทมีอย่างน้อยหนึ่งคนที่เป็นชาย* (ตรงนี้แหละที่กำกวม) ถ้าคุณรู้ว่าคุณสมิทมีลูกสองคน แต่คุณไม่รู้ว่าเด็กทั้งสองคนนั้นมีเพศอะไรบ้าง เย็นวันหนึ่งระหว่างที่คุณกำลังเดินเล่นในสวนสาธารณะ คุณเดินสวนกับคุณสมิทที่กำลังจูงมือเด็กผู้ชายตัวน้อยคนหนึ่งพอดี คุณทัก “สวัสดีคุณสมิท” คุณสมิทตอบ “สวัสดี นี่ลูกชายของผม” คำถามคือโอกาสที่คุณสมิทจะมีลูกชายทั้งสองคนเท่ากับเท่าไร? คุณผู้อ่านคิดว่ายังเท่ากับ 1/3 มั้ยครับ? ถ้าคุณสมิทมีลูกสองคน ความเป็นไปได้ทั้งหมดคือ {ชาย-ชาย, ชาย-หญิง, หญิง-ชาย, หญิง-หญิง} ซึ่งเราตั้งสมมติฐานเอาไว้ว่าลูกที่เกิดมานั้นมีโอกาสเป็นเพศชายเท่ากับเพศหญิง ดังนั้นแต่ละกรณีมีโอกาสเท่ากับ 1/4 ในกรณี ชาย-ชาย โอกาสที่คุณสมิทจะพาลูกชายไปเดินสวนเท่ากับ 1 แน่นอน ส่วนในกรณีชาย-หญิง หรือ หญิง-ชาย โอกาสที่คุณสมิทจะพาลูกคนใดคนหนึ่งไปเดินสวนเราถือว่าเท่ากันเท่ากับ 1/2 ดังนั้นความน่าจะเป็นที่คุณสมิทซึ่งมีลูกสองคนโดยที่เรายังไม่ทราบว่าเพศอะไรบ้างจะพาลูกชายหนึ่งคนไปเดินสวนเท่ากับ (1/4)(1) + (1/4)(1/2) + (1/4)(1/2) หรือ 1/4 + 1/8 + 1/8 และทันทีที่คุณสมิทแนะนำ “นี่คือลูกชายของผม” จะทำให้พจน์ 1/4 + 1/8 + 1/8 ปรับเป็น 1/2 + 1/4 + 1/4 ดังนั้นโอกาสที่คุณสมิทมีลูกชายสองคนเมื่อเรารู้ว่าคุณสมิทมีลูกชายอย่างน้อยหนึ่งคนด้วยวิธีนี้เท่ากับ 1/2 คุณผู้อ่านอาจใช้ทฤษฎีของเบส์เข้ามาจัดการได้เช่นกันครับ โดยกำหนดให้ A = เหตุการณ์ที่คุณสมิทมีลูกชายสองคน และ B = เหตุการณ์ที่คุณสมิทพาลูกชายหนึ่งคนไปเดินสวน เราต้องการทราบ P(A|B) โดยรู้ว่า P(A) = 1/4, P(B) = 1/4 + 1/8 + 1/8 = 1/2 และ P(B|A) = 1 (ความน่าจะเป็นที่คุณสมิทพาลูกชายคนหนึ่งไปเดินสวนเมื่อคุณสมิทมีลูกชายสองคน) ฉะนั้น P(A|B) = P(A)P(B|A)/P(B) = (1/4)(1)/(1/2) = 1/2 ดูแผนภาพประกอบ



* สำหรับผู้อ่านที่สนใจศึกษาเพิ่มเติม ดูบทความ “Some teasers concerning conditional probabilities” โดย M. Bar-Hillel และ R. Falk ตีพิมพ์ใน Cognition, vol. 11 (1982) หน้า 109-122 หรือตำราเรียน Introduction to probability (Second Revised Edition) โดย Charles M. Grinstead และ J. Laurie Snell จัดพิมพ์โดย American Mathematical Society (1997) หน้า 175-177




Create Date : 14 มิถุนายน 2552
Last Update : 14 มิถุนายน 2552 23:18:36 น. 1 comments
Counter : 1613 Pageviews.

 
แวะมาทักทายค่ะ


โดย: CrackyDong วันที่: 14 มิถุนายน 2552 เวลา:23:51:36 น.  

ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
  *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.