creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 
เหตุการณ์ที่ไม่เป็นอิสระจากกัน

เนื้อหาตอนนี้เกินความรู้คณิตศาสตร์ ม.ปลาย นิดนึงครับ อีกทั้งยังเป็นเรื่องที่ชวนสับสน และวันดีคืนดีก็ลุกขึ้นมาเป็น talks of the town ได้สบาย ๆ ในทฤษฎีความน่าจะเป็น ม.ปลาย คุณครูเลขจะสอนว่า P(A&B) = P(A)P(B) เมื่อ A และ B เป็นเหตุการณ์ที่อิสระจากกัน เช่น โอกาสที่ทอยเต๋า 2 ครั้ง ครั้งแรกได้แต้ม 1 ครั้งที่สองได้แต้ม 6 เท่ากับเท่าไร?

นักเรียนก็คิด ให้ A = เหตุการณ์ที่ทอยเต๋าครั้งแรกแล้วได้แต้ม 1 ฉะนั้น P(A) = 1/6 (เพราะเป็นลูกเต๋าในอุดมคติที่มีความสมมาตร โอกาสออกแต่ละหน้าเท่าเทียมกัน) B = เหตุการณ์ที่ทอยเต๋าครั้งที่สองแล้วได้แต้ม 6 ฉะนั้น P(B) = 1/6 จึงสรุปว่า P(A&B) = P(A)P(B) = (1/6)(1/6) = 1/36 ถูกต้องครับ และกรณีนี้ A และ B เป็นอิสระจากกัน ครูบางคนอาจอธิบายง่าย ๆ ว่าที่ A และ B เป็นอิสระจากกันเพราะการทอยเต๋าทั้งสองครั้งไม่มีอะไรเกี่ยวข้องกันเลย หรือไม่ ก็ลองคิดดูสิว่าการทอยเต๋าครั้งหลังไม่เป็นอิสระจากครั้งแรกตรงไหน ซึ่งก็ถูกอีกนั่นแหละครับ แต่คำอธิบายดังกล่าวขึ้นอยู่กับความหยั่งรู้ส่วนบุคคลมากเกินไป อาจก่อกำเนิดเมล็ดพันธุ์แห่งความเข้าใจผิดได้โดยง่ายเมื่อเจอปัญหาที่ยากขึ้นและซับซ้อนขึ้น

ผมถามใหม่ เราใช้อะไรเป็นตัวบ่งชี้ครับว่า A และ B เป็นอิสระจากกัน? เพื่อให้เห็นภาพชัดเจนลองพิจารณา ไพ่ 1 สำรับ 52 ใบ ให้ A = เหตุการณ์หยิบได้ ♠ และ B = เหตุการณ์หยิบได้ Q นั่นคือ P(♠Q) = 1/52 ซึ่งเรารู้ว่า P(♠) = 1/4, P(Q) = 4/52 และ P(♠Q) = P(♠)P(Q) = (1/4)(4/52) = 1/52 ความหยั่งรู้ (สำหรับบางคน) บอกเราว่าการหยิบได้ ♠ ไม่เกี่ยวข้องอะไรกับการหยิบได้ Q ฉะนั้น A และ B เป็นอิสระจากกัน ทีนี้สมมติว่าไพ่สำรับนี้ ♥2 หายไป 1 ใบ เหลือไพ่แค่ 51 ใบ P(♠Q) = 1/51 คุณคิดว่า A และ B ยังเป็นอิสระจากกันอยู่มั้ยครับ? เหตุผลการหยิบได้ Q ไม่เกี่ยวข้องอะไรกับการหยิบได้ ♠ ยังช่วยให้ A และ B เป็นอิสระจากกันอยู่มั้ย? เรามองออกได้ง่าย ๆ ว่ากรณีที่ไพ่หายไป 1 ใบแบบนี้ P(♠) = 13/51 และ P(Q) = 4/51 ซึ่ง P(♠)P(Q) = (13/51)(4/51) ≠ P(♠Q) = 1/51 นั่นคือความหยั่งรู้หรือสัญชาตญาณแทบไม่ช่วยมากเท่าไรในการมองเหตุการณ์ใดเป็นอิสระต่อกันหรือไม่เป็นอิสระต่อกันเลย เพราะ กรณีไพ่ ♥2 หายไป แสดงให้เราเห็นว่า P(A&B) ≠ P(A)P(B) นั่นคือ A และ B ไม่เป็นอิสระจากกัน นี่เป็นเครื่องมือบ่งชี้ตัวสำคัญว่าเหตุการณ์เป็นอิสระจากกันหรือไม่เป็นอิสระจากกันครับ เราจะมั่นใจได้ว่า A และ B เป็นอิสระจากกันก็ต่อเมื่อ P(A)P(B) = P(A&B) ไม่งั้นเราต้องคิด P(A&B) จากกรณีทั่วไป คือ P(A&B) = P(A)P(B|A) = P(A|B)P(B) สัญลักษณ์ P(A|B) แทน ความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ A เมื่อเกิดเหตุการณ์ B

ลองมาทำความเข้าใจให้ลึกขึ้นอีกนิดถึงความแตกต่างระหว่าง P(A) กับ P(A|B)

P(A) บอกเราถึงโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ A เมื่อเราไม่มีความรู้อะไรเพิ่มเติมเกี่ยวกับมันเลย นิยมเรียก P(A) ว่า prior probability ส่วน P(A|B) นั้นบอกเราถึงโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ A เมื่อเกิดเหตุการณ์ B (นิยมเรียก P(A|B) ว่า posterior probability) ซึ่ง P(A) = P(A|B) เมื่อ A และ B เป็นอิสระจากกัน นี่เป็นหนึ่งในความผิดพลาดที่เราพบเห็นบ่อยครับ ในบางปัญหาเรามองโดยใช้สัญชาตญาณอย่างเดียวไม่ออกว่า P(A|B) ≠ P(A) แต่เราก็ประเมินให้ P(A|B) = P(A) เพราะคิดเอาเองว่า A และ B เป็นอิสระจากกัน เดี๋ยวผมจะยกตัวอย่างปัญหาประเภทนี้ให้ชมกันตอนท้าย ส่วนอีกหนึ่งปัญหาที่พบบ่อยมากไม่แพ้กันคือการประเมินให้ P(A|B) = P(B|A) ซึ่งถ้าเราเข้าใจเรื่องความไม่เป็นอิสระจากกันดีพอแล้ว เราจะแก้ความเข้าใจผิดในประเด็นนี้ได้ไม่ยาก

ย้อนกลับไปดูไพ่ที่ถูกดึง ♥2 ออกไปอีกที P(♠Q) = P(♠)P(Q|♠) ซึ่ง P(♠) = 13/51 และ P(Q|♠) เท่ากับการตั้งคำถามว่า ถ้าไพ่ที่หยิบมาได้นั้นเป็น ♠ โอกาสที่มันจะเป็น Q เท่ากับเท่าไร? P(Q|♠) จึงเท่ากับ 1/13 ฉะนั้น P(♠Q) = P(♠)P(Q|♠) = (13/51)(1/13) = 1/51

ลองมาดูอีกสักตัวอย่างที่เราอาจประเมินความเป็นอิสระหรือไม่เป็นอิสระผิด สมมติมีสามเหตุการณ์ A, B, C ที่แต่ละคู่ไม่มีผลลัพธ์ร่วมกัน (exclusive) กล่าวคือ A&B = Ø (หรือเขียน A∩B = Ø) และ A&C = Ø และ B&C = Ø อย่างนี้เราจะสรุปว่า A&B&C = Ø ได้ใช่มั้ยครับ แต่จะเลียนแบบมาใช้กับความอิสระของเหตุการณ์ไม่ได้ กล่าวคือ ถึงแม้ว่า P(A&B) = P(A)P(B) และ P(A&C) = P(A)P(C) และ P(B&C) = P(B)P(C) หมายความว่าคู่ของเหตุการณ์ใด ๆ เป็นเหตุการณ์ที่เป็นอิสระจากกัน แต่ P(A&B&C) อาจจะไม่เป็นอิสระจากกันก็ได้ ถ้ามันไม่เท่ากับ P(A)P(B)P(C) ทำนองเดียวกัน มันไม่มีสมบัติถ่ายทอด หรือ transitive ฉะนั้นถ้าคุณได้ยินใครสรุปว่า "ถ้า A ไม่เป็นอิสระจาก B , และ B ไม่เป็นอิสระจาก C แล้ว A จะต้องไม่เป็นอิสระจาก C" ก็ขอให้เข้าใจว่าข้อสรุปนี้ไม่เป็นจริงเสมอไป ดูตัวอย่างครับ

ไพ่ 1 สำรับ 52 ใบ ที่เราแทนที่ ♣Q ด้วย ♦Q หมายความว่าไพ่สำรับนี้มี 52 ใบเท่าเดิม ไม่มี ♣Q แต่มี ♦Q สองใบ ให้ A = เหตุการณ์หยิบได้ Q, B = หยิบได้ไพ่หน้าสีแดง (R = ♥ หรือ ♦) และ C = หยิบได้ไพ่ ♥ แบบนี้เห็นชัดว่า P(A&B) = P(QR) = 3/52 ≠ P(Q)P(R) = (4/52)(27/52) นั่นทำให้ A และ B ไม่เป็นอิสระจากกัน ทีนี้ดูคู่ B กับ C บ้าง P(B&C) = P(R♥) = 13/52 ≠ P(R)P(♥) = (27/52)(13/52) ทำให้ B และ C ไม่เป็นอิสระจากกัน แต่ P(A&C) = P(Q♥) = 1/52 = P(Q)P(♥) = (4/52)(13/52) นั่นคือ A และ C เป็นอิสระจากกัน

ที่พูดมาทั้งหมด ผมอยากให้เห็นภาพว่าเมื่อเรามีเหตุการณ์ A, B การที่เราจะพูดว่า 2 เหตุการณ์นี้เป็นอิสระจากกันหรือไม่เป็นอิสระจากกันนั้น บางครั้ง มันก็ไม่ง่ายที่เราจะมองมันเห็นชัดด้วยสัญชาตญาณครับ เครื่องตัดสินเดียวที่จะบอกได้ว่า A และ B เป็นอิสระจากกันคือ P(A&B) = P(A)P(B) แต่ถ้า P(A&B) ≠ P(A)P(B) ไม่ว่าสัญชาตญาณจะบอกคุณว่า A ไม่เห็นเกี่ยวอะไรกับ B เลย แต่จงรู้ไว้เถอะ A และ B ไม่ได้เป็นอิสระจากกัน!

ตัวอย่างการประเมิน posterior probability ผิด เพราะคิดว่า P(A|B) = P(A) หรือเพราะคิดว่า P(A|B) = P(B|A) เช่น ปัญหา Monty Hall มีประตู 3 บาน A, B, C หลังประตูบานหนึ่งมีรถ หลังประตูอีก 2 บาน มีแกะ คุณเลือก A และ มอนตี้เปิด B เพื่อโชว์ให้ดูว่าไม่มีแกะ พร้อมถามคุณว่าจะเปลี่ยนใจมั้ย? สัญชาตญาณที่บอกว่า P(มีรถหลัง C) = P(มีรถหลัง A) เกิดจากการประเมินว่า P(มีรถหลัง C|มอนตี้เปิด B) = P(มีรถหลัง C) เพราะเหตุการณ์ "มีรถหลัง C" เป็นอิสระจากเหตุการณ์ "มอนตี้เปิด B" หรืออาจประเมินว่า P(มีรถหลัง C|มอนตี้เปิด B) = P(มีรถหลัง A|มอนตี้เปิด B) ซึ่งทั้งคู่เป็นการประเมินที่ผิดครับ หรือปัญหา false positive paradox เกิดจากการประเมิน P(เป็นโรค|ผลตรวจเป็น positive) = P(ผลตรวจเป็น positive|เป็นโรค) หรือปัญหาซอง 2 ซอง เองก็เกิดจากการประเมินให้ P(ซองนั้นมีเงิน 2x|ซองนี้มีเงิน x) = P(ซองนั้นมีเงิน x/2|ซองนี้มีเงิน x) หรือปัญหาลูกของสมิท ที่บอกว่า สมิทมีลูก 2 คน ถ้าลูกคนหนึ่งเป็นผู้ชาย โอกาสที่ลูกอีกคนจะเป็นผู้ชายเท่ากับเท่าไร? สำหรับคำตอบมาตรฐานที่บอกว่าลูกอีกคนจะเป็นชายหรือหญิงก็ได้เท่า ๆ กัน เพราะ P(ลูกอีกคน ♂) = P(ลูกอีกคน ♀) ก็เกิดจากประเมินให้ P(ลูกอีกคน ♂|ลูกคนหนึ่ง ♂) = P(ลูกอีกคน ♂) หรือแม้กระทั่งปัญหาที่ดูฮา (แต่แรง) ตีพิมพ์ใน nature บทความ Is the Pope an Alien? ก็เกิดจากการประเมินใน P(เป็นโป๊ป|เป็นมนุษย์) = P(เป็นมนุษย์|เป็นโป๊ป) รวมไปถึงปัญหา fallacy ในศาลจำพวกที่ชอบสรุปว่า P(เป็นฆาตกร|มีหลักฐาน) = P(มีหลักฐาน|เป็นฆาตกร)


Create Date : 14 พฤษภาคม 2553
Last Update : 14 พฤษภาคม 2553 14:27:12 น. 1 comments
Counter : 2019 Pageviews.

 
If for every rule there is an exception, then we have established that there is an exception to every rule.

If we accept "For every rule there is an exception" as a rule, then we must concede that there may not be an exception after all,

since the rule states that there is always the possibility of exception,

and if we follow it to its logical end we must agree that there can be an exception to the rule that for every rule there is an exception.

ใช้เรื่องนี้ อธิบาย ข้อความนี้ยังไงดีคะ
ขอบคุณค่ะ


โดย: tuk-tuk@korat วันที่: 14 พฤษภาคม 2553 เวลา:16:18:12 น.  

ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
  *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.