klein bottle
เขียนโดย ศล
(ตัดตอนจากปริศนาหมากรุกกลบนกระดาน 4 มิติ)

klein bottle คำว่า klein เป็นชื่อสกุลของนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Felix Klein ซึ่งเป็นคนแรกที่อธิบายพื้นผิวรูปทรงชนิดนี้ ส่วนคำว่า bottle (ขวด) เกิดจากการแปลศัพท์ภาษาเยอรมันผิดเพี้ยนจากคำว่า die Fläche = พื้นผิว, พื้นที่ เป็น die Flasche = ขวด (Umlaut บนตัว a กลายเป็นตัว s)



Felix Klein (1849-1925)


เริ่มต้น สมมติว่าเรามีกระดาษ 4 เหลี่ยมมุมฉาก 1 แผ่น กระดาษแผ่นนั้นย่อมมี 2 ด้าน 4 ขอบ กระดาษ 2 ด้าน 4 ขอบอาศัยอยู่ในอวกาศ 2 มิติ และถ้าเราม้วนกระดาษให้ขอบที่ตรงข้ามกันประกบติดกัน เราจะได้รูปทรงกระบอกมี 2 ด้าน 2 ขอบ ทรงกระบอกนี้ต้องการอวกาศ 3 มิติ ดังรูป



แต่ถ้าเราบิดกระดาษครึ่งรอบก่อนประกบกับด้านตรงข้าม รูปทรงจะเปลี่ยนจากทรงกระบอกเป็น Möbius strip หรือแถบเมอบีอุส ซึ่งเป็นรูปทรงที่มี 1 ด้าน 1 ขอบ อาศัยอยู่ในอวกาศ 3 มิติ



จากรูปทรงกระบอก ถ้าเราม้วน 2 ขอบที่เหลือให้มาประกบกันอีก จะเกิดเป็นรูปทรงโดนัท (Torus) รูปทรงนี้เป็นพื้นผิวปิด ไม่มีขอบ แต่ยังคงมี 2 ด้านเหมือนทรงกระบอก และอาศัยอยู่ในอวกาศ 3 มิติ แสดงขั้นตอนตามลำดับเริ่มจากกระดาษ 2 มิติ ดังรูป



ม้วนขอบ a ประกบกันตามทิศลูกศรเป็นทรงกระบอก



ม้วนขอบ b ประกบกันตามทิศลูกศรเป็นโดนัท



ถ้าเราเลียนแบบวิธีการสร้างโดนัท แต่เปลี่ยนจากทรงกระบอกเป็นแถบเมอบีอุส รูปทรงใหม่ที่ได้ก็คือ พื้นผิวไคลน์ (Klein bottle) หรือพูดอีกมุมหนึ่งว่า เราสามารถสร้างพื้นผิวไคลน์จากทรงกระบอกที่บิดให้ทิศทางของขอบทั้ง 2 สวนทางกันก่อนนำมาประกบกัน พื้นผิวที่ได้นี้เป็นพื้นผิวปิด ไม่มีขอบเช่นเดียวกับพื้นผิวโดนัท ข้อต่างคือพื้นผิวไคลน์มีด้านเดียว ยิ่งไปกว่านั้น เราไม่สามารถสร้างรูปทรงชนิดนี้ขึ้นมาได้จริงบนโลกที่มีอวกาศให้ใช้เพียง 3 มิติ เพราะมันอาศัยอยู่ได้ในอวกาศตั้งแต่ 4 มิติขึ้นไป รูปต่อไปนี้แสดงลำดับการสร้าง klein bottle กระดาษ 2 มิติ มีทิศทางของลูกศร b ทั้ง 2 ขอบสวนทางกัน



ม้วนขอบ a ประกบกันตามทิศลูกศรเป็นทรงกระบอก



ม้วนขอบ b ให้ประกันโดยลูกศรชี้ในทิศเดียวกัน



นี่คือหน้าตาของ Klein bottle หลังจากที่พยายามวาดลงบนหน้ากระดาษ 2 มิติ



ลองดูภาพจำลอง 3 มิติ บนระนาบ 2 มิติของ Klein bottle 4 มิติสวยๆ จาก Universität für angewandte Kunst Wien มหาวิทยาลัยศิลปกรรมศาสตร์ประยุกต์แห่งกรุงเวียนนา










Create Date : 11 มิถุนายน 2550
Last Update : 11 มิถุนายน 2550 17:25:41 น.
Counter : 1866 Pageviews.

4 comments
  
รูปลายเส้นเราว่าเหมือนทรัมเปต
ส่วนรูปสุดท้ายเราว่าคล้ายหม้อข้าวหม้อแกงลิง
โดย: coming soon (The Yearling ) วันที่: 12 มิถุนายน 2550 เวลา:10:55:42 น.
  
แม่เจ้า
โดย: เจ้าชายไร้เงา วันที่: 18 มิถุนายน 2550 เวลา:13:46:58 น.
  
ผมว่ามันคอมฟอร์ตร้อยชัดๆ
โดย: ข้าวตู วันที่: 18 มิถุนายน 2550 เวลา:21:09:13 น.
  
ว้าววว
โดย: angel_science วันที่: 30 มิถุนายน 2550 เวลา:20:32:58 น.
ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
 *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 

Zol.BlogGang.com

ศล
Location :
กรุงเทพ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
 ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]

บทความทั้งหมด