วิธีที่ Bekenstein ใช้คำนวณเอ็นโทรปี้ของหลุมดำ
ในหนังสือ The Black Hole War ของ Leonard Susskind เขียนเล่าแนวคิดการคำนวณเอ็นโทรปี้ของหลุมดำของ Bekenstein เอาไว้น่าสนใจครับ ผมว่ามันพอที่จะอ่านรู้เรื่องบ้าง งง ๆ บ้างตามประสา เดี๋ยวเขียนเล่าในตอนนี้นี่ถ้าใครเห็นว่าผมหลงทางก็สะกิดได้เลยครับ โปรเฟสเซอร์ Susskind บอกว่าตอนแรกที่ตั้งใจเขียนหนังสือเล่มนี้สำหรับคนทั่วไป มีคนแนะอย่าใส่สมการอื่นใดในหนังสือนอกจาก E = mc2 เพราะจะทำให้ยอดขายตกลง 1,000 เล่มต่อหนึ่งสมการ เป็นโจ๊กที่เว่อร์ซะไม่มี แต่แล้วแกก็ขัดขืน ถ้าไม่ใส่ (แนวคิด) สมการเรื่องการคำนวณเอ็นโทรปี้หลุมดำของ Bekenstein แกว่าแกคงเสียใจแย่



Bekenstein ไม่ได้ตั้งคำถามตรง ๆ ตอนที่อยากรู้เอ็นโทรปี้ของหลุมดำว่าหลุมดำอันนี้ซ่อน information ไว้เท่าไร แต่ถามว่าขนาดของหลุมดำจะเปลี่ยนไปเท่าไรถ้ามี information หนึ่งบิตตกลงไปในหลุมดำ เริ่มต้นแกจินตนาการแบบนี้ครับ: สมมติว่าคุณกำลังโคจรรอบปากหลุมดำพร้อมกระป๋องบรรจุแก๊สร้อน (มีเอ็นโทรปี้) อยู่ในมือ ถ้าคุณปาเจ้ากระป๋องใบนี้ลงไปในหลุมดำ เอ็นโทรปี้ก็จะหายเข้าไปภายในเส้นขอบฟ้าหลุมดำ ทำให้เอ็นโทรปี้ของเอกภพที่สังเกตได้ (observable universe) ลดลง ซึ่งมันจะไปแหกกฎข้อที่ 2 ของเทอร์โมไดนามิกส์ใช่มั้ยครับ นอกจากนี้คุณอาจารย์ของ Bekenstein เองยังบอกว่า "black holes have no hair" หรือ "หลุมดำไม่มีขน" อันนี้เป็นคำพูดกึ่งทะลึ่งกึ่งเจ๋งของ Wheeler แปลว่าเส้นขอบฟ้าหลุมดำโล้นเกลี้ยงเช้งวับ ดังนั้นมันไม่น่าจะซ่อน information อะไรเอาไว้ได้ แต่ Bekenstein เชื่อว่ากฎข้อที่ 2 เป็นรากที่หยั่งลึกในบรรดากฎทั้งหลายของฟิสิกส์เกินกว่าที่จะถูกทำลายได้ง่าย ๆ แบบนี้ นั่นทำให้เขาเสนอว่า 'หลุมดำเองก็ต้องมีเอ็นโทรปี้สิ' ดังนั้นตอนที่เรานับเอ็นโทรปี้ของทั้งเอกภพ เราก็ต้องนับรวมเอ็นโทรปี้ของหลุมดำด้วย ซึ่งต่อไปคุณจะพบว่ายิ่งหลุมดำมีขนาดใหญ่ เอ็นโทรปี้ก็ยิ่งมาก กฎข้อที่ 2 ของเทอร์โมไดนามิกส์ปลอดภัย

Bekenstein
Wheeler
Susskind

ประเด็นว่าหลุมดำไม่มีขน โล้นเกลี้ยง ตามตรรกะควรจะมีเอ็นโทรปี้เท่ากับศูนย์ แต่ Bekenstein เชื่อว่ามีเอ็นโทรปี้นั้น Susskind อธิบายเข้าใจได้ไม่ยากด้วยการยกตัวอย่างสมมติว่าคุณมีจุดสีดำกับจุดสีขาวอย่างละล้านจุด ถ้าคุณวางจุดลงบนกระดาษแบบผ่าครึ่งแนวตั้งแนวนอน แบ่งฝั่งขาว-ดำ รูปแบบการจัดเรียงมันจะมี 4 แบบ



ซึ่งเห็นและแยกแยะความแตกต่างได้ชัดเจน ก็หมายความว่ามีเอ็นโทรปี้น้อย (รูปแบบการจัดเรียงน้อย) แต่ถ้าคุณผสมจุดทั้งสองสีกระจายอย่างสุ่ม คุณจะได้สีเทาค่อนข้างสม่ำเสมอหรือถือว่าสม่ำเสมอได้ครับเพราะจุดแต่ละจุดมีขนาดเล็กมาก วิธีการจัดเรียงจุดดำ-ขาวเพื่อให้ได้เทาราบเรียบนี้มีมหาศาล ตัวอย่างนี้จึงบอกเราว่าเอ็นโทรปี้มากไม่ได้ขัดแย้งกับความโล้นเกลี้ยงครับ



คราวนี้ Bekenstein จะโยนอะไรลงไปในหลุมดำดี? เขาต้องการโยน information เข้าไปแค่ 1 บิต Bekenstein เลือกโยนโฟตอนครับ แต่โฟตอนเองหนึ่งตัวก็มี information มากกว่า 1 บิต เช่น ที่ที่มันอยู่หลังจากผ่านเส้นขอบฟ้าหลุมดำ ซึ่ง Bekenstein แก้ปัญหานี้โดยการใช้ไอเดียเรื่องความไม่นอนของไฮเซ่นแบร์ก เขาทำให้ตำแหน่งโฟตอนที่ผ่านเส้นขอบฟ้ามีความไม่แน่นอนมากที่สุดที่เป็นไปได้ นั่นทำให้โฟตอนที่ไม่แน่นอน (uncertain photon) มี information แค่บิตเดียว (คือ มันอยู่ในนั้น สักที่แหละภายในหลุมดำ) เนื่องด้วย Bekenstein ต้องการให้มัน fuzzy เท่าที่จะทำได้ เขาจึงเลือกโฟตอนที่ความยาวคลื่นเท่ากับรัศมีชวาร์ซชิลด์ (Schwarzschild radius, Rs) ของหลุมดำ ทำไมไม่เลือกยาวกว่านี้ล่ะ? เพราะเดี๋ยวโฟตอนมันจะเด้งออกมาจากหลุมดำนะสิ

ฉะนั้น Bekenstein เลือกโฟตอนที่มี λ = Rs ไอน์สไตน์บอกว่ามันจะมีพลังงานเท่ากับ

E = hf = hc/Rs

โฟตอนตัวนี้ไปเพิ่มพลังงานให้หลุมดำเท่ากับ hc/Rs ทำให้มวลของหลุมดำเปลี่ยนไป (เพิ่มขึ้น) เท่ากับ

ΔM = E/c2 = h/Rsc

ลองแทนค่าว่า information หนึ่งบิตจะเพิ่มมวลให้กับหลุมดำที่มีมวลเท่ากับดวงอาทิตย์สักเท่าไร โดยการแทน

ค่าคงที่ของ Planck, h6.6 x 10-34
รัศมีชวาร์ซชิลด์ของหลุมดำ, Rs= 2MG/c23,000 เมตร
อัตราเร็วแสง, c3 x 108
ค่าคงที่ของนิวตัน, G6.7 x 10-11

พบว่า ΔM = 10-45 กิโลกรัม น้อยมาก ๆ และนำไปคำนวณหารัศมีชวาร์ซชิลด์ที่เพิ่มขึ้นจาก

ΔRs = 2hG/Rsc3

สำหรับหลุมดำที่มีมวลเท่ากับมวลดวงอาทิตย์ของเราจะมี Rs = 3 กิโลเมตร เมื่อแทนค่าตัวเลขจะพบว่า ΔRs เท่ากับ 10-72 เมตร น้อยยิ่งกว่าน้อย แถมน้อยกว่าความยาวพลังค์เสียอีก (10-35) ขั้นตอนสุดท้าย เอา ΔRs ที่เพิ่มขึ้นไปคำนวณพื้นที่ผิวหลุมดำที่เพิ่มขึ้น ซึ่งพื้นที่ผิวทรงกลมเราหาได้จากสูตร 4πr2 ฉะนั้นพื้นที่ขอบฟ้าหลุมดำคือ

Ahorizon = 4πRs2

พบว่าพื้นที่ขอบฟ้าหลุมดำเพิ่มขึ้นประมาณ 10-70 ตารางเมตร ความอะเมซิ่งอยู่ตรงนี้ครับ เพราะเจ้าพื้นที่ที่เพิ่มขึ้นนี้เท่ากับพื้นที่พลังค์พอดี (one square Planck unit) บังเอิญรึเปล่า? หลังจากที่ลองแทนหลุมดำที่มีมวลขนาดอื่น ๆ เช่นมวลเท่ากับมวลของโลก (หลุมดำจะมีขนาดเท่ากับผลแครนเบอร์รี่) คุณก็จะพบว่า information หนึ่งบิต เพิ่มพื้นที่ขอบฟ้า 1 ตารางหน่วยพลังค์ และทำให้ได้กฎออกมาข้อหนึ่งว่า

การเพิ่ม information หนึ่งบิตให้กับหลุมดำ จะทำให้พื้นที่ขอบฟ้าของหลุมดำใด ๆ เพิ่มขึ้นหนึ่งตารางหน่วยพลังค์

จากกฎอันนี้เรามาลองนึกภาพการสร้างหลุมดำแบบบิตต่อบิต นึกภาพใส่ไป 1 บิต ได้พื้นที่ออกมา 1 ตารางพลังค์ยูนิต (เอาออก 1 บิต พื้นที่ก็หายไป 1 ตารางยูนิต) พอเราสร้างหลุมดำเสร็จ ก็เท่ากับว่า information หนึ่งบิตที่ซ่อนอยู่ในหลุมดำเท่ากับพื้นที่เส้นขอบฟ้านั่นเอง

ปิดท้ายด้วยสโลแกน The entropy of a black hole, measured in bits, is proportional to the area of its horizon, measured in Planck units. (เอ็นโทรปี้ของหลุมดำในหน่วยบิตแปรผันตามพื้นที่ขอบฟ้าของหลุมดำในพลังค์ยูนิต)



Create Date : 08 ตุลาคม 2552
Last Update : 8 ตุลาคม 2552 15:27:11 น.
Counter : 1380 Pageviews.

1 comments
  
เล่มนี้อยากอ่านมากเลย
แต่คิดว่าโง่ ๆ อย่างเราคงอ่านไม่รู้เรื่อง
.
.
แต่อยากรู้จริง ๆ ค่ะ ว่ามันมีอยู่จริง
ในจักรวาลนี้แน่ หรอคะ

โดย: ผีเสื้อยิปซี วันที่: 11 มกราคม 2553 เวลา:22:06:52 น.
ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
 *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 

Zol.BlogGang.com

ศล
Location :
กรุงเทพ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
 ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]

บทความทั้งหมด