วิธีที่นิวตันใช้ประมาณค่า π (พาย)
จากความเรียงปี 1671 Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (ตีพิมพ์หลังจากปีที่เขียนอีกทศวรรษ) นิวตันได้แสดงวิธีที่เขาใช้ประมาณค่า π (พาย) ที่น่าทึ่งครับ เริ่มจากครึ่งวงกลมรัศมี r = ½ มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ C (½,0) ดังรูป สมการของครึ่งวงกลมคำนวณได้โดยใช้ความรู้เรขาคณิต

     (x - ½)2 + (y - 0)2 = (½)2


จัดรูป และเลือกเฉพาะ y ที่เป็นค่าบวก


     y = √x - x2 = x½(1-x)½

ขั้นต่อมา นิวตันกระจายพจน์ (1 - x)½ ด้วยการกระจายทวินามครับ ก่อนหน้านี้สัมประสิทธิ์ของการกระจายทวินามปาสคาลได้นำเสนอแล้วในรูปสามเหลี่ยมปาสคาล ซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ของการกระจาย (a + b)n เมื่อ n คือจำนวนเต็มบวก นิวตันขยายไอเดียต่อด้วยเชื่อในความมีรูปแบบของมันว่า n ที่เป็นเศษส่วนหรือจำนวนลบก็ควรจะมีหน้าตารูปแบบที่พ้องต้องกันด้วยสิ จึงมีเวอร์ชั่นการกระจายทวินามแบบนิวตันขึ้นมา ไอเดียดังกล่าวปรากฎในจดหมายที่แกเขียนไปหาไลบ์นิซปี 1676 ครับ นิวตันเขียนว่า

     

เมื่อ A, B, C ... แทนพจน์ติดกันที่อยู่ข้างหน้า นั่นคือ

     

ถ้าเอา Pm/n หารทั้งสองข้าง ได้

     

ทีนี้เราลองมากระจาย √1-x โดยแทน Q = -x และ m/n ด้วย ½

     

ไม่เชื่อคุณลองเอาพจน์ฝั่งขวาคูณตัวมันเองดูก็ได้ครับ ผลลัพธ์เหลือ 1 - x เพราะพจน์ที่ x ดีกรีสูงฆ่าฟันกันเองหมด

นิวตันต้องการกระจาย (1 - x)½ ทำไม? เหตุผลคือต้องการหาพื้นที่แรเงาตามรูปด้านบนครับ ซึ่งการหาพื้นที่ที่ปิดด้วยเส้นโค้ง AD กับส่วนของเส้นตรง AB (ยาว x) ที่เป็นฐานและส่วนของเส้นตรง BD (ยาว y) ที่ตั้งฉากกับ AB และตัด AD นิวตันได้เสนอไว้ใน De Analysi โดยบอกว่าพื้นที่ของ ABD = anx([m+n]/n)/[m+n] เมื่อ axm/n = y (พูดด้วยภาษาปัจจุบัน มันก็คือการอินทิเกรต y = axm/n เมื่อ x มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง x นั่นแหละครับ) และถ้า y ประกอบด้วยผลรวมของหลายพจน์ย่อย พื้นที่รวมใต้ y ก็เกิดจากผลรวมของพื้นที่ที่เกิดจากแต่ละพจน์ย่อย


ด้วยวิธีการนี้ นิวตันสามารถคำนวณพื้น ABD ของครึ่งวงกลม (ดูรูปบนสุด) ที่ B คือจุด (¼,0) ได้โดยการกระจาย y = x½(1-x)½ แล้วคำนวณพื้นที่ด้วย fluxion คือ กฎสองข้อแรกที่นิวตันพูดถึงใน De Analysi

     

พื้นที่แรเงา ABD เท่ากับ

     

แทน x = ¼ (ตรงนี้จะเห็นว่าการที่นิวตันเริ่มด้วยครึ่งวงกลมดังกล่าวมีความหมายแล้วล่ะครับ เพราะ ¼ ช่วยในการคำนวณได้มากทีเดียว (¼)3/2 = 1/8, (¼)5/2 = 1/32, ...) และใช้ผลรวมเพียง 9 พจน์แรก ได้

     

นิวตันอยากได้พื้นที่สีชมพู (รูปบนสุด) ไปทำไมครับ? ไอเดียในการประมาณค่า π ของแกคือ เปรียบเทียบพื้นที่จากวิธี fluxion กับวิธีเรขาคณิตธรรมดา ๆ ซึ่งการคำนวณพื้นที่แรเงาด้วยวิธีเรขาคณิตธรรมดานั้นจะมีค่า π โผล่ออกมา จากทฤษฎีไพทากอรัส เราหา BD ได้ BD2 = (½)2 - (¼)2 หรือ BD = √3/4 ทำให้เราสามารถหาพื้นที่ ΔDBC = (½)(¼)(√3/4) = √3/32

ใช้ความรู้ตรีโกณมิติอีกนิดหน่อย หามุม BCD เท่ากับ 60° ฉะนั้น พื้นที่สีชมพู = (1/3)(พื้นที่ครึ่งวงกลม) - (พื้นที่ ΔDBC) = (1/3)(πr2/2) - √3/32 = π/24 - √3/32

     π ≈ 24(0.07677310678 + √3/32) = 3.141592668...

ค่า π จากการประมาณของนิวตันที่กระจายทวินามแค่ 9 พจน์นี้ต่างจากค่า π จริงน้อยกว่า 0.000000014 อีกนะครับ ส่วนยากอีกนิดเดียวของวิธีนี้คือการประมาณค่า √3 ซึ่งก็ใช้การกระจายทวินามแบบนิวตันได้อีกนั่นแหละครับ เราอาจเริ่มด้วย 3 = 9(1 - 2/3) ฉะนั้น 3½ = 9½(1 - 2/3)½ กระจายโดยแทน Q = -2/3 และ m/n = ½



Create Date : 08 พฤษภาคม 2553
Last Update : 5 ธันวาคม 2553 12:46:25 น.
Counter : 3146 Pageviews.

0 comments
เพลง "UEFA Champions League anthem" toor36
(13 มี.ค. 2563 00:04:57 น.)
การไหว้ Insignia_Museum
(3 มี.ค. 2563 14:41:41 น.)
กองทัพเป็ดจีน 100,000 ตัวคงจะไม่บุกปากีสถาน ravio
(2 มี.ค. 2563 00:06:12 น.)
มิชลินไกด์ คือ อะไร? สมาชิกหมายเลข 5106714
(10 ก.พ. 2563 21:37:31 น.)
ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
 *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 

Zol.BlogGang.com

ศล
Location :
กรุงเทพ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
 ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]

บทความทั้งหมด