The Birthday Paradox
เมื่อวานวันเกิดน้องปิ๊ก Happy Birthday นะครับ มันมีปัญหา combinatoric คลาสสิกเกี่ยวกับวันเกิด (เป็นปัญหาที่เอาไว้หลอกเด็กให้ surprise ได้ดีปัญหาหนึ่ง) นิยมเรียกกันว่า birthday paradox เริ่มจากคุณครูยืนหน้าชั้นในห้องเรียนที่มีนักเรียนสัก 23 คนแล้วถามว่า "โอกาสที่พวกเธอจะมีวันเกิดไม่ตรงกันเท่ากับเท่าไรจ๊ะ?" - เราจะสมมติเพื่อทำให้อะไร ๆ ง่ายขึ้นสัก 2-3 ข้อ 1. นักเรียนกำลังเรียนทฤษฎีความน่าจะเป็น 2. ไม่มีแฝดในชั้น และ 3. หนึ่งปีมี 365 วันพอดีเป๊ะ



ตาม common sense นักเรียน 23 คน โอกาสที่จะมีวันเกิดตรงกันไม่น่าเยอะใช่มั้ยครับ? แต่พอคุณลองคำนวณตัวเลขออกมา อาจจะพบ something unexpected อันนี้แหละทำให้เขาเรียกว่า paradox ในส่วนของวิธีคำนวณนั้นก็ไม่ยากอะไร นักเรียนคนแรกจะเลือกเกิดวันไหนก็ได้ใน 365 วัน ความน่าจะเป็นเท่ากับ 1 นักเรียนคนที่สองก็แค่ห้ามเกิดซ้ำกับนักเรียนคนแรก ความน่าจะเป็นเท่ากับ 1 - 1/365 นักเรียนคนที่สามก็ห้ามเกิดวันเดียวกับนักเรียนสองคนแรก ความน่าจะเป็นเท่ากับ 1 - 2/365 ฉะนั้นนักเรียนคนที่ i ก็ไม่เกิดวันเดียวกับนักเรียน i-1 คนแรก ความน่าจะเป็นเท่ากับ 1 - (i-1)/365 ความน่าจะเป็นที่นักเรียนทั้ง 23 คนไม่มีใครมีวันเกิดตรงกันเลยเท่ากับ

(1)(1 - 1/365)(1 - 2/365)...(1 - 22/365)

(*)


แบบนี้กดเครื่องคิดเลข (ที่มาพร้อม window) ยาก จัดรูปสักหน่อยนะครับ

(365/365)(364/365)(363/365)...(343/365)
= (1/365)23(365!/342!)

กดง่ายแล้วครับ กด [3][6][5][1/x][x^y][2][3][*][(][3][6][5][n!][/][3][4][2][n!][)][=]

0.49270276567601459277458277166297 < 1/2

แปลว่าในนักเรียน 23 คนโอกาสที่จะมีอย่างน้อยสองคนมีวันเกิดตรงกันเท่ากับ 1 - 0.493 หรือประมาณ 50.7% ดูขัดกับ common sense ใช่มั้ยครับ และจาก (*) คงมองออกได้ไม่ยากว่า



เมื่อ p(n) คือโอกาสที่นักเรียน n คนมีวันเกิดไม่ตรงกันเลย (ถ้าคุณอยากรู้โอกาสที่มีนักเรียนอย่างน้อยสองคนมีวันเกิดตรงกัน คุณก็เอา p(n) ไปลบออกจาก 1) คราวนี้ลองคิดเผื่อเพื่อนร่วมเอกภพชาวดาว Ω ซึ่งโคจรรอบดวงอาทิตย์ของมันใช้เวลา K วัน เด็ก ๆ ชาวดาว Ω ในชั้นเรียน n คนที่ 1 ปีมี K วัน มีโอกาสที่จะฉลองวันเกิดกับเพื่อน ๆ n วันไม่ซ้ำกันเท่ากับ p(n,K)




Create Date : 07 ตุลาคม 2552
Last Update : 7 ตุลาคม 2552 14:12:35 น.
Counter : 1631 Pageviews.

0 comments
ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
 *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 

Zol.BlogGang.com

ศล
Location :
กรุงเทพ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
 ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]

บทความทั้งหมด