Bloggang.com : apisit.az :

ค่าเชิงอนุพันธ์

หลักทางคณิตศาสตร์ > ค่าเชิงอนุพันธ์

ทฤษฎีบท 1 (ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ : Fermat’s Theoran)ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์ที่ xO แล้ว f' (xO) = 0 หรือ f หาอนุพันธ์ไม่ได้ที่ xO
บทนิยาม จุดวิกฤตของฟังก์ชัน f หมายถึงค่า x ใด ๆ ในโดเมนของ f ซึ่งทำให้
f' (x) = 0 หรือ f หาอนุพันธ์ที่ x ไม่ได้ จุดวิกฤต x ที่ทำให้ f' (x) = 0
เราเรียกว่า จุดนิ่ง (stationary point)
ทฤษฎีบท 2 (การทดสอบโดยใช้อนุพันธ์อันดับหนึ่ง : First Derivative Test)
กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุดวิกฤต xO

ถ้ามีช่วง (a, xO) และ (xO , b) ที่ทำให้
(1) f' (x) > 0 สำหรับทุก x Î (a, xO) และ f' (x) < 0 สำหรับทุก
x Î (xO , b) แล้ว f จะมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ xO
(2) f' (x) < 0 สำหรับทุก x Î (a, xO) และ f' (x) > 0 สำหรับทุก
x Î (xO , b) แล้ว f จะมีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ xO
(3) f' (x) < 0 สำหรับทุก x Î (a, xO) และ f' (x) < 0 สำหรับทุก
x Î (xO , b) หรือ f' (x) > 0 สำหรับทุก x Î (a, xO) และ f' (x) > 0 สำหรับทุก x Î (xO , b) แล้ว f จะไม่มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์ที่ xO
ทฤษฎีบท 3 (การทดสอบโดยใช้อนุพันธ์อันดับสอง : Second Derivative Test)
สมมติให้ f เป็นฟังก์ชันที่มี xO เป็นจุดวิกฤตแบบจุดนิ่ง และเป็นฟังก์ชันที่หา อนุพันธ์อันดับสองที่ xO ได้
(1) ถ้า f" (xO) < 0 แล้ว f จะมีค่าต่ำสุด สัมพัทธ์ ที่xO

(2) ถ้า f" (xO) < 0 แล้ว f จะมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ xO
บทนิยาม ถ้า f (xO) ³ f (x) สำหรับทุก x ในโดเมนของ f แล้ว เราจะเรียก f (xO) ว่าเป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ ของ f หรือเรียกสั้น ๆ ว่า ค่าสูงสุดของ f
บทนิยาม ถ้า f (xO) £ f (x) สำหรับทุก x ในโดเมนของ f แล้ว เราจะเรียก f (xO) ว่าเป็นค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ ของ f หรือเรียกสั้น ๆ ว่า ค่าต่ำสุดของ f
บทนิยาม จำนวนซึ่งเป็นค่าสูงสุด หรือเป็นค่าต่ำสุดของ f เรียกว่า ค่าสุดขีดสัมบูรณ์ ของ f หรือเรียกสั้น ๆ ว่า ค่าสุดขีดของ f
ทฤษฎีบท 4 (ทฤษฎีบทค่าสุดขีด : Extreme-Value Theorem)
ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด [a, b] แล้ว f จะมีทั้งค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดบนช่วง [a, b]
ทฤษฎีบท 5 ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่มีค่าสุดขีดบนช่วงเปิด (a, b) แล้ว ค่าสุดขีดของ f จะ เกิดขึ้นที่จุดวิกฤตของ f
ทฤษฎีบท 6 (ทฤษฎีบทของโรลล์)
กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับเงื่อนไขทั้งสามข้อต่อไปนี้
(1) f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง บนช่วงปิด[a,b]
(2) f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด (a,b)
(3) f (a) = f (b)จะได้ว่า มีจำนวนจริง c Î (a, b) ที่ทำให้ f' (c) = 0
ทฤษฎีบท 7 (ทฤษฎีบทค่ามัชฌิม)
กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับเงื่อนไขทั้งสองข้อต่อไปนี้
(1) f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด [a, b]
(2) f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด (a, b)
จะได้ว่า มีจำนวนจริง c Î (a, b) ที่ทำให้

ทฤษฎีบท 8 กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องบนช่วงปิด [a, b] และเป็นฟังก์ชันที่หา อนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด (a, b)
(1) ถ้า f' (x) > 0 สำหรับทุก x Î(a, b) แล้ว f จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วงปิด [a, b]
(2) ถ้า f' (x) < 0 สำหรับทุก x Î(a, b) แล้ว f จะเป็นฟังก์ชันลดบนช่วงปิด [a, b]
(3) ถ้า f' (x) = 0 สำหรับทุก x Î(a, b) แล้ว f จะเป็นฟังก์ชันคงตัวบนช่วงปิด[a, b]

Create Date : 10 กรกฎาคม 2554

0 comments

Last Update : 10 กรกฎาคม 2554 15:40:28 น.

Counter : 2815 Pageviews.