creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 
Bertrand's Box Paradox

มีกล่อง 3 กล่อง แต่ละกล่องมีช่องใส่เหรียญ 2 ช่องและบรรจุเหรียญช่องละ 1 เหรียญ มีฝาเปิดดูเหรียญในช่องแยกกัน (คุณสามารถดูเหรียญหนึ่งในกล่องได้โดยที่ไม่รู้ว่าอีกเหรียญเป็นเหรียญอะไร) กล่องที่หนึ่งมีเหรียญทองทั้งสองเหรียญ (GG) กล่องที่สองมีเหรียญเงินทั้งสองเหรียญ (SS) และกล่องที่สามมีเหรียญเงินและเหรียญทองอย่างละหนึ่งเหรียญ (GS) ถ้าคุณสุ่มเลือกกล่องขึ้นมาหนึ่งกล่องโอกาสที่คุณจะได้กล่องที่มีทั้งเหรียญเงินและเหรียญทองเท่ากับ 1/3 ถูกมั้ยครับ? คราวนี้ Bertrand สร้างเรื่องขึ้นมาว่า เอาล่ะ เราหยิบสุ่มขึ้นมาหนึ่งกล่องนะ ให้เปิดฝากดูเหรียญได้หนึ่งเหรียญ สมมติว่าเปิดแล้วเจอเหรียญทอง (G) ก็หมายความว่ากล่องที่เราสุ่มหยิบขึ้นมานั้นอาจจะเป็นกล่อง GG หรือ GS ก็ได้ ฉะนั้นโอกาสที่กล่อง ๆ นี้จะเป็น GS ก็เท่ากับ 1/2 หรือถ้าเปิดฝาแล้วพบเหรียญเงิน (S) กล่องนั้นก็อาจจะเป็น SS หรือ GS ก็ได้เท่า ๆ กัน ฉะนั้นโอกาสที่จะเป็นกล่อง GS ก็เท่ากับ 1/2 เนื่องจากเหรียญแรกที่เราเห็น ยังไงถ้าไม่เป็น G ก็ต้องเป็น S และไม่ว่าจะเป็นอะไรมันก็นำไปสู่ข้อสรุปว่าโอกาสที่กล่องที่หยิบขึ้นมาเป็น GS เท่ากับ 1/2 ตกลงโอกาสที่เราสุ่มหยิบขึ้นมาหนึ่งกล่องแล้วได้กล่อง GS จะเป็น 1/3 หรือ 1/2 กันแน่?



พาราด็อกซ์นี้เป็นพาราด็อกซ์พื้นฐานในทฤษฎีความน่าจะเป็นโดย Joseph Bertrand (1822-1900) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสตีพิมพ์ครั้งแรกใน Calcul des probabilities (1889) ตรรกะที่ผิดพลาดในข้อโต้แย้งดังกล่าวอยู่ที่ ถ้าเหรียญแรกในกล่องที่เลือกเป็น G โอกาสที่อีกเหรียญหนึ่งในกล่องนั้นเป็น G เท่ากับ S นั้นผิด เพราะที่จริงแล้วโอกาสเป็น S น้อยกว่า G เนื่องจากโอกาสที่พบเหรียญทองเหรียญแรกในกล่อง GG มีสูงกว่า GS ถึง 2 เท่า (กล่อง GG เจอแน่ แต่ถ้าเป็นกล่อง GS เจอ 50-50) เช่นเดียวกับโอกาสพบเหรียญเงินเหรียญแรกในกล่อง SS มีสูงกว่า GS ถึง 2 เท่า ตรงนี้แหละครับที่ Bertrand ชี้ให้เห็นว่าการให้เหตุผลดังกล่าวในข้อโต้แย้งนั้นผิดพลาด

คราวนี้เราลองมาคำนวณโดยใช้ทฤษฎีของเบย์สกัน ให้ A = เหตุการณ์ที่เลือกได้กล่อง GS และ B = เหตุการณ์ที่เปิดเหรียญแรกแล้วพบเหรียญ G เบย์สบอกว่า P(A|B) = P(A)P(B|A)/P(B) ลองแทนค่า P(A) = 1/3, P(B) = 1/2 และ P(B|A) คือ เหตุการณ์ที่เปิดเหรียญแรกออกมาเป็น G เมื่อเลือกได้กล่อง GS เท่ากับ 1/2 ฉะนั้นโอกาสที่จะได้กล่อง GS ถึงแม้ว่าเมื่อเราเปิดเจอเหรียญ G ก็ยังเท่ากับ P(A|B) = P(A)P(B|A)/P(B) = (1/3)(1/2)/(1/2) = 1/3 เหมือนเดิม




Create Date : 06 มิถุนายน 2552
Last Update : 6 มิถุนายน 2552 23:03:08 น. 0 comments
Counter : 1484 Pageviews.

ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
  *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.