creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 
non-orientable chess

เขียนโดย ศล

หลายคนเข้าใจว่าหมากรุกเป็นเกมที่ต้องมีผู้เล่น 2 คนเท่านั้น หนังสือเกี่ยวกับทฤษฎีเกม หรือตำราเศรษฐศาสตร์เบื้องต้นส่วนใหญ่ เมื่อต้องการกล่าวถึงเกมที่มีผลรวมของผลลัพธ์เป็นศูนย์ หรือ zero sum game มักจะยกตัวอย่างเกมหมากรุก มีผู้แพ้ และผู้ชนะ คนชนะได้ชัยชนะมาจากคนพ่ายแพ้ ข้อเท็จจริงประการหนึ่ง สำหรับหนทางสู่ความเชี่ยวชาญเกมหมากรุกนั้น ผู้เล่นต้องใช้ความสามารถในการจดจำรูปแบบเป็นสำคัญ ปีที่แล้ว (พ.ศ. 2549) นิตยสาร Scientific American ฉบับเดือนสิงหาคม มีคำโปรยพาดปกที่สวยงามว่า “Secrets of the EXPERT MIND” บทความโดย Philip E Ross อ้างอิงทฤษฎี Chunking จากการศึกษาของ Herbert A Simon กับ William Chase แห่งมหาวิทยาลัยคาเนกี้ เมลลอน สรุปใจความว่าเซียนหมากรุก (Grandmaster) มีรูปแบบ หรือข้อมูลข่าวสาร chunk ขนาดใหญ่ ไม่ต่ำกว่าครึ่งแสน chunks อยู่ในใจ (สมอง) การวิเคราะห์เพื่อหาหนทางที่ดีที่สุดในการเดินของเซียนหมากรุก จึงเป็นการวิเคราะห์จากรูปแบบที่เคยจดจำไว้ ร่วมกับการวิเคราะห์รายละเอียดปลีกย่อย ดังนั้นในการฝึกฝน ซักซ้อม และจดจำรูปแบบ จึงเกิดเกมหมากรุกลักษณะเป็นเกมที่เล่นได้เพียงคนเดียว! (ไม่นับรวมกรณีเล่นคนเดียวกับเครื่องจักรสมองกลนะครับ) เมื่อเป็นเกมหมากรุกที่เหลือผู้เล่นเพียงคนเดียว จึงไม่ใช่ zero sum game อย่างกรณีผู้เล่น 2 คนอีกต่อไป (เกมคนเดียวอาจมองว่าไม่เป็นเกม หรือเป็นเกมเมื่อเราเพิ่ม dummy player เข้าไปด้วยก็ได้)

Herbert Alexander Simon (พ.ศ. 2459-2544) เป็นนักวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ เศรษฐศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ และมีความสนใจหลากหลายอีกคนหนึ่งของโลก ประวัติของนักคิดท่านนี้ คุณผู้อ่านที่สนใจดูเพิ่มเติมที่ nobelprize.org

รางวัลเกียรติยศที่เขาได้รับมีมากมาย อาทิ Turing Award (ชื่อรางวัล Turing ตั้งตามชื่อของ Alan Mathison Turing นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ บิดาแห่งวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ ซึ่งรางวัลนี้เทียบเท่ากับรางวัลโนเบลสาขาการคำนวณ - Computing เลยล่ะครับ) จากสมาพันธ์เครื่องจักรกลคอมพิวเตอร์ (Association of Computing Machinery) รางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์ ปีพ.ศ. 2521 รางวัลเหรียญทองสำหรับวิทยาศาสตร์แห่งจิตวิทยาจากสถาบันจิตวิทยาอเมริกา (American Psychological Foundation) พ.ศ. 2531 คุณ Fernand Gobet สำนักวิชาจิตวิทยา มหาวิทยาลัยนอตติงแฮม เขียนประกาศมรณกรรมของ Simon ลงนิตยสาร International Computer Game Association ซึ่งสรุปผลงานตลอดทั้งชีวิต ดูเพิ่มเติมได้ที่ brunel.ac.uk


เพื่อให้ง่ายต่อการเข้าใจเรื่อง chunk เราลองเปรียบเทียบกับตัวอย่าง "Mary had a little lamb." การจำประโยคนี้ หรือจำนวน chunk ขึ้นอยู่กับความรู้ด้านกวีนิพนธ์และภาษาอังกฤษ สำหรับคนที่พูดภาษาอังกฤษเป็นภาษาแม่ จะรู้ว่าประโยคนี้เป็นเพียงส่วนหนึ่งของบทกวี (หรือเพลง) ซึ่งเป็น chunk ใหญ่ 1 chunk ส่วนคนที่รู้ภาษาอังกฤษแต่ไม่รู้จักบทกวี ประโยคนี้ 1 ประโยค ก็คือ 1 chunk ส่วนคนที่จำเป็นคำๆ โดยไม่รู้ความหมายของคำ ประโยคนี้ก็คือ 5 chunks ส่วนคนที่ไม่รู้จักคำ รู้จักแค่ตัวอักษร ประโยคนี้จะเท่ากับ 18 chunks


การเล่นคนเดียวมี 2 แบบ คือเล่นคนเดียวฝ่ายเดียว กับเล่นคนเดียวทั้ง 2 ฝ่าย (สมมติตัวเองเป็นผู้เล่นทั้งขาวและดำขับเคี่ยวกัน) การเล่นคนเดียวฝ่ายเดียวที่นิยมแพร่หลายคือการแก้ปัญหาหมากรุกกล (Chess problem) รูปที่ 1 เป็นตัวอย่างปริศนากลของ W. Atkinson (พ.ศ. 2378-2430) เจ้าของรางวัลประดิษฐ์ปริศนาชนะเลิศจากรายการ Canadian Spector ปีพ.ศ. 2423


รูปที่ 1

โจทย์คือ ฝ่ายขาวเดินก่อน และต้องทำให้ฝ่ายดำจน (แพ้) ภายใน 2 ที การแก้โจทย์ปัญหาลักษณะนี้ สำหรับผู้ที่ไม่มีทักษะหมากรุกก็สามารถทำได้ ขอเพียงรู้ข้อบังคับการเดินของตัวหมากแต่ละตัวเท่านั้น ส่วนกระบวนการคิดที่เหลือเป็นเรื่องของตรรกะล้วนๆ ลองคิดดูนะครับ

เนื้อหาบทความตอนนี้ ผมนำเสนอปริศนาหมากรุกกลข้อหนึ่ง ซึ่งทักษะที่ยอดเยี่ยมด้านหมากรุกแทบไม่มีส่วนช่วยในการแก้ปัญหา ถ้าคุณเล่นหมากรุกไม่เป็น ทำใจให้สบายแล้วอ่านต่อไปครับ ตัวหมากรุกที่เราใช้มีเพียง 3 ตัว คือ พระราชา พระราชินี และพระสังฆราช อันที่จริง ถ้าคุณเล่นหมากรุกพอเป็น หลังจากเห็นโจทย์ข้อนี้ คุณอาจจะตอบทันทีว่า “เป็นไปไม่ได้!” หรือ “ฝ่ายที่มีเพียงพระราชากับพระสังฆราช จะชนะฝ่ายที่มีพระราชากับพระราชินีได้อย่างไร?” (มันควรจะตรงกันข้ามเสียมากกว่า) สำหรับกระดานหมากรุกระนาบ 2 มิติขนาด 8x8 ช่อง ผมเห็นด้วย 100% ว่าเป็นไปไม่ได้ แต่ผู้แต่งคำถามเขาไม่ให้เราใช้กระดาน 2 มิติ กำหนดกระดาน 4 มิติแทน นี่แหละครับ ความท้าทายของโจทย์

ปริศนาหมากรุกกลข้อนี้เป็นปัญหาประจำสัปดาห์ที่ 1058 ของวิทยาลัย Macalester มี Stan Wagon เป็นผู้ดูแลคัดสรร ตั้งกระทู้ปัญหา Nonorientable Chess นำมาจากนิตยสาร The Mathematical Intelligencer Vol.28 No.2 ปีพ.ศ. 2549 ของ Timothy Chow ดังรูป


รูปที่ 2 ฝ่ายขาวเดินก่อนและรุกให้จนภายใน 1 ที

จากรูปที่ 2 ฝ่ายขาวมีตัวหมากรุก 2 ตัว คือ พระราชา (ญ8) กับพระสังฆราช (ข6) ฝ่ายดำก็มีตัวหมากรุก 2 ตัว คือ พระราชา (ฉ1) และพระราชินี (จ2) ตำราหมากรุกสากลทั่วไปให้ค่า ของตัวหมากแต่ละตัวแตกต่างกัน กล่าวคือ พระราชา มีค่าสูงสุด สูญเสียพระราชาเมื่อไรหมายถึงความพ่ายแพ้ พระราชินีมีค่า 9 แต้ม เรือ-ปราสาทมีค่า 5 แต้ม ม้า-อัศวินมีค่าเท่ากับพระสังฆราชคือ 3 แต้ม เบี้ย-ชาวนามีค่า 1 แต้ม ดังนั้นตามรูปที่ 2 ฝ่ายขาวมีแต้มน้อยกว่าฝ่ายดำถึง 6 แต้ม หากเป็นการเล่นปกติ ขาวแพ้แน่นอน! แต่โจทย์ถามว่า ถ้าเราเปลี่ยนโครงสร้างของกระดานหมากรุกจากระนาบ 2 มิติ เป็นรูปทรง Klein bottle โดยม้วนกระดานตามทิศลูกศร ฝ่ายขาว สามารถเดินเพื่อให้ชนะได้อย่างไร?

Klein Bottle ดูได้จากบทความตอนที่แล้ว //www.bloggang.com/viewdiary.php?id=zol&group=10


คำว่าค่าของตัวหมากรุกนี้ผมเข้าใจว่าเป็นอย่างเดียวกับกำลัง 2 ชนิดของตัวหมากรุกที่หม่อมเจ้าอนันตรไชย เทวกุล นิพนธ์ในตำราหมากรุกกลของท่าน คือ 1. กำลังอำนาจของตัวหมากรุก (Power of chessmen) ได้แก่ อำนาจในการเดิน ทำลาย ไล่ คุ้มกัน กับ 2. กำลังงานซ่อนเร้นภายในตัวหมากรุก (Potency of chessmen) ได้แก่ กำลังต่อต้าน-ตรึง (Opposition) กักกัน แก้ที และแปรรูปการเดิน


จากบทความตอนที่แล้ว สรุปเป็นที่แน่ชัดว่า เราไม่สามารถสร้างกระดานหมากรุกไคลน์ แล้วเรียงตัวหมากเพื่อเล่นกันจริงได้ แต่นั่นไม่ได้หมายความว่าเราไม่สามารถแก้โจทย์ปัญหาข้อนี้เพียงเพราะขาดอวกาศให้ใช้ไป 1 มิติ อาศัยจินตนาการ โจทย์ข้อนี้แก้ได้ด้วยความสัมพันธ์ของขอบที่ต่อกันเป็นพื้นผิวไคลน์ และตรรกะ

จากรูปที่ 2 เมื่อเราประกบขอบบนกับขอบล่าง เกิดรอยต่อลักษณะดังนี้


รูปที่ 13 รอบต่อขอบบน-ล่าง จากรูปที่ 2

และรอยประกบขอบด้านซ้าย-ขวา เป็นดังรูปที่ 14


รูปที่ 14 รอยต่อขอบซ้าย-ขวา จากรูปที่ 2

กระดานหมากรุกไคลน์ช่องดำ-ขาวไม่จำเป็นต้องสลับกันนะครับ รูปที่ 14 ช่องดำ ญ8 ติดกับช่องดำ ก1 ช่องขาว ญ7 ติดกับช่องขาว ก2 เป็นต้น พระราชาขาวที่ตำแหน่ง ญ8 สามารถเดินได้ 8 ช่องรอบตัว (โดยยังไม่สนใจว่าเดินไปช่องนั้นแล้วจะตายหรือไม่) คือ ญ1 ญ7 ช1 ช7 ช8 ก1 ก2 ก8 ตัวอย่างช่องเดินของพระสังฆราชขาว ข6 แสดงดังรูปที่ 15 เส้นทางเดินทิศ ก5 มีดังนี้ เริ่มต้นที่ ข6 แล้วเดินตรงไปทาง ก5 จะโผล่ที่ ญ5 ตรงไปอีก ผ่าน ช6 ฉ7 จ8 โผล่อีกทีที่ ง1 ค2 ข3 ก4 ทะลุไปที่ ญ4 ช3 ฉ2 จ1 ต่อด้วย ง8 ค7 แล้วกลับไปยังจุดพิกัดเดิม ข6 และวนต่อไปเรื่อยๆ หมายความว่า พระสังฆราช ข6 มองไปตรงๆ ในทิศ ก5 จะสามารถเห็นหลังของตัวเองได้ ถ้าพระสังฆราชคิดปลงประชนพระสังฆราชที่อยู่ข้างหน้า ทันทีที่เดินไปฆ่า จะพบว่าพระสังฆราชองค์หน้าเคลื่อนที่หนีไป เห็นหลังไวๆ ทำไม่รู้ไม่ชี้ ทิ้งห่างตัวเองอยู่ 16 ช่องเสมอ


รูปที่ 15 ช่องและทิศทางเดินของพระสังฆราชขาว ข6

จากตัวอย่างการเดินพระสังฆราช ข6 มีจุดน่าสนใจที่ผมอยากพูดถึงสักเล็กน้อย ตอนนี้เราคงตั้งข้อสังเกตได้ว่า เมื่อพระสังฆราชเริ่มต้นเดินไปข้างหน้า ยิ่งไกลจากจุดเริ่มต้นเท่าไร ก็ยิ่งใกล้จุดเริ่มต้นเท่านั้น บางคนอาจสงสัย ระยะห่างวนครบรอบเท่ากับ 16 ช่องจริงหรือ? ผมจะใช้ตรรกะล่อลวงคุณให้สับสนโดยเริ่มจากภาพพิมพ์แกะไม้ Möbius Strip II ของ M.C. Escher (อย่าหลงกลนะครับ)


รูปที่ 16 Möbius Strip II (2506)


Maurits Cornelis Escher (พ.ศ. 2441-2515) ศิลปินภาพเขียนที่ชื่นชอบการสรรสร้างภาพวาดโครงร่างที่เป็นไปไม่ได้ โดยอาศัยรูปแบบ Isometric projection และใช้ขีดจำกัดของมันสร้างความฉงนแก่ผู้เสพผลงาน ตัวอย่างภาพที่ผู้คนมักกล่าวถึงบ่อยๆ คือภาพน้ำตก (2504) – ดูรูปที่ 31 ซึ่งตกลงมาจากพื้นระดับเดียวกัน ประวัติและผลงานของ Escher คุณผู้อ่านที่สนใจค้นคว้าข้อมูลเพิ่มเติมได้ที่ //www.mcescher.com/

ภาพพิมพ์แกะไม้ (Woodcut) ภาพนี้ (รูปที่ 16) Escher ใช้แท่นพิมพ์ (Block) 3 สี คือ แดง ดำ และเทาแกมเขียว เป็นผลงานในยุครุ่งโรจน์ ปีพ.ศ. 2506

รูปที่ 31 น้ำตก


มดแดง 9 ตัวไต่ตามหลังกันไปบนผิวเมอบีอุสทั้ง 2 ด้าน ซึ่งผิวทั้ง 2 ด้านต่อเนื่องกันโดยไม่มีขอบกั้น (เกิดจากการบิดครึ่งรอบก่อนประกบกันตามรูปที่ 4) ถ้ากำหนดให้ระยะทางก่อนประกบเป็นเมอบีอุสเท่ากับ L และหากมีมดแดงหนึ่งตัวถอดวิญญาณเดินบนแถบนี้โดยทิ้งร่างไว้ ณ จุดเริ่มต้นจุดหนึ่ง เมื่อมันเดินได้ระยะทาง L มันจะพบว่าตัวเองอยู่ ณ ตำแหน่งเดิมแต่คนละฝั่งกับจุดเริ่มต้น กล่าวคือ ถ้าแถบเมอบีอุสเป็นกระจกใส มันจะเห็นร่างต้นประดุจภาพสะท้อนที่ปรากฏบนกระจกเงา และมันต้องเดินตรงต่อไปอีกเป็นระยะทาง L วิญญาณจึงกลับซ้อนทับร่างเดิม คุณลองย้อนเปรียบเทียบกับเส้นทางเดินของพระสังฆราชสิครับ มีอะไรกวนใจบ้างไหม?

จากรูปที่ 15 พระสังฆราชขาวเดินผ่าน ก5 ไป ญ5 ถ้าสมมติว่า ตอนเริ่มต้น ณ ตำแหน่ง ญ5 มีพระราชาดำครอบครองอยู่ กรณีนี้พระสังฆราชขาวสามารถปลงพระชนพระราชาดำได้หรือไม่? ในเมื่อพระสังฆราชขาวที่ผ่าน ญ5 เป็นช่องคนละด้านกับพระราชาดำ!

เอาล่ะ เราอาจคิดว่า “ไม่เห็นมีปัญหาอะไรนี่” เกมทุกเกมมนุษย์เป็นผู้กำหนดกติกาการเล่น ถ้าเรากำหนดให้ ช่อง ญ5 เดียวกัน ไม่มีความแตกต่างระหว่างด้านหน้า-ด้านหลัง หมายความว่าเรามีกระดานหมากรุก 64 ช่องเท่าเดิม และพระสังฆราชขาวสังหารพระราชาดำ ญ5 ได้ แต่ถ้าเรากำหนดให้มีความแตกต่างระหว่างด้าน กรณีที่ 1 ช่องมี 2 ด้าน เราจะได้กระดานหมากรุก 128 ช่อง พระราชาดำปลอดภัย ต่อมา ถ้าเรานำตรรกะกระดานหมากรุก 128 ช่องไปเปรียบเทียบกับภาพมดแดง 9 ตัวของ Escher โดยอ้างว่าวิญญาณมดแดงต้องเดินถึง 2 รอบเพื่อกลับไปยืนจุดเดิม แล้วพระสังฆราชขาวล่ะ จำเป็นต้องเดิน 2 รอบด้วยรึเปล่า เพื่อให้กลับไปอยู่ที่เดิม?


รูปที่ 17 เส้นทางเดินของพระสังฆราช แจกแจงจากรูปที่ 15

รูปที่ 17 แสดงเส้นทางเดินของพระสังฆราช ข6 บนกระดานที่ 1 ช่องมี 2 ด้าน หรือกระดาน 128 ช่องในทิศ ก5 คือ ก5, ญ5ล , ช6ล, ฉ7ล, จ8ล, ง1ล, ค2ล, ข3ล, ก4ล, ญ4, ช3, ฉ2, จ1, ง8, ค7 และ ข6! สุดท้ายพระสังฆราชกลับมายืน ณ จุดเดิมภายใน 16 ที หรือรอบเดียว ไม่ว่า ญ5ล (ญ5ล คือ ด้านหลังของช่อง ญ5 กรณีที่นับว่ากระดานมีพื้นผิวให้เดิน 128 ช่อง) จะเป็นช่องเดียวกันหรือคนละช่องกับ ญ5 แต่ความต่างระหว่าง ญ5 กับ ญ5ล มีผลต่อการสิ้นพระชนของพระราชาดำ ญ5 ดังนั้นเราควรแบ่งคำตอบเป็น 2 กรณี คือ ญ5ล ไม่เท่ากับ ญ5 กับ ญ5ล = ญ5 ดีมั้ยครับ?

ถ้าคุณไม่พบจุดผิดสังเกตในตรรกะที่ผมอธิบายมาตั้งแต่เรื่องมดแดง 9 ตัว จนกระทั่งถึงเดี๋ยวนี้ ผมเชื่อว่าคุณหลงกลแล้วล่ะ


รูปที่ 18 ระนาบ z = 0

ระนาบ z = 0 (พื้นที่แรเงา 2 มิติ) ดังรูปที่ 18 มี “ด้าน” หรือไม่? ถ้าคุณตอบว่า “มีสิ ด้านบนกับด้านล่างไง” นั่นหมายความว่า คุณได้อธิบายลักษณะของระนาบ z = 0 โดยใช้การมีอยู่ของอวกาศมิติที่ 3 คือ แกน z ด้านบนจึงหมายถึงอวกาศส่วนที่ z > 0 และด้านล่างหมายถึงอวกาศส่วนที่ z < 0 คุณอาจขยายความด้วยการยกตัวอย่างการยืนของวัตถุบนผิวทั้งสองด้านที่ต่างกัน ว่ามีลักษณะแตกต่างกัน เช่นถ้าคุณยืนที่จุด x = 0 และ y = 0 ด้านบน หัวจะชี้ไปทาง +z ในขณะที่ยืนจุดเดียวกันด้านล่าง หัวจะชี้ไปทาง –z ไม่ว่ายกอีกกี่ตัวอย่าง เราก็ต้องใช้มิติที่ 3 เพื่ออธิบายสิ่งที่เรียกว่าด้านของพื้นผิว เราไม่สามารถใช้ลำพังสมาชิกของพื้นผิว (x กับ y) อธิบายด้านของระนาบ z = 0 ได้ ถ้าสมมติว่าคุณเป็นสมาชิกคนหนึ่งที่อาศัยบน z = 0 โลก 2 มิติ ซึ่งไม่สามารถรับรู้ใดๆ (ด้วยประสาทสัมผัสทั้ง 5) เกี่ยวกับการมีอยู่ของมิติที่ 3 คุณก็จะไม่รู้จักคำว่า “ปริมาตร” และคุณมองเห็นเส้นตรง 1 เส้นมี 2 ด้าน คุณอาจใช้ความรู้ความสามารถประกอบเส้นตรง 4 เส้นเป็นสี่เหลี่ยม แล้วคำนวณหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมนั้นได้ โดยที่คุณไม่จำเป็นต้องมองทะลุด้านของเส้นตรงเพื่อเห็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ถึงแม้คุณจะมีเส้นโปร่งแสงมองทะลุเส้นตรงเข้าไปในสี่เหลี่ยม แต่สิ่งหนึ่งที่คุณไม่มีทางมองเห็นได้เลยคือรูปสี่เหลี่ยมที่คุณสร้างขึ้นมานั่นเอง เพราะคุณไม่สามารถมองเห็นสี่เหลี่ยมจากด้านนอกโดยที่เส้นไม่ทับกัน ในโลก 3 มิติ เราก็ไม่เคยมองเห็นวัตถุ 3 มิติทั้งหมดโดยที่พื้นผิวของวัตถุไม่ทับกัน การที่เราจะมองเห็นวัตถุ หรือรูปปริมาตรของวัตถุจริงๆ โดยที่พื้นผิวของวัตถุไม่ทับกันนั้น เราต้องมองในทิศแกนที่ 4 ซึ่งตั้งฉากกับทั้ง 3 แกนมิติที่วัตถุอาศัยอยู่เท่านั้น ในโลก 2 มิติ คุณจึงไม่รับรู้การมีด้านของระนาบ ดังนั้นคำถามว่า “ระนาบ z = 0 มีด้านหรือไม่?” จึงขึ้นอยู่กับมิติของผู้สังเกตการณ์ เช่นเดียวกับคำถาม “เส้นตรงมีด้านหรือไม่?” ในโลก 3 มิติ เราก็ตอบว่า “มีรอบด้าน หรือมีด้านเป็นอนันต์ เพราะมีระนาบจำนวนอนันต์ตัดกันเป็นเส้นตรงได้” หรืออาจจะตอบ “ไม่มีด้าน” ก็ไม่ผิดนัก คำถามเดียวกันนี้ โลก 2 มิติ ตอบว่า “มี 2 ด้าน”

เราสามารถเขียนเวกเตอร์ที่พุ่งตั้งฉากออกจากเส้นตรงได้กี่เวกเตอร์? โลก 2 มิติตอบว่า “2 เวกเตอร์ ทิศทางตรงข้ามกัน” โลก 3 มิติขึ้นไปตอบว่า “อนันต์” แล้วเราสามารถเขียนเวกเตอร์ที่พุ่งตั้งฉากออกจากพื้นผิวบนระนาบใดๆ ได้กี่เวกเตอร์? โลก 2 มิติตอบว่า “ไม่ได้ งง ไม่เข้าใจ มีแกนที่ 3 ที่ตั้งฉากกับ x y ด้วยหรือ?” โลก 3 มิติตอบว่า “2 เวกเตอร์ ทิศทางตรงข้ามกัน” โลก 4 มิติขึ้นไปตอบว่า “อนันต์” แล้วเราสามารถเขียนเวกเตอร์ให้พุ่งออกและตั้งฉากกับแกนมิติทั้ง 3 ของลูกบาศก์ใดๆ ได้กี่เวกเตอร์? โลก 2 มิติไม่ตอบ แถมย้อนถามกลับมาว่า “ลูกบาศก์คืออะไร?” โลก 3 มิติตอบว่า “ไม่ได้ งง ไม่เข้าใจ มีแกนที่ 4 ที่ตั้งฉากกับ x y z ด้วยหรือ?” โลก 4 มิติตอบว่า “2 เวกเตอร์ ทิศทางตรงข้ามกัน” โลก 5 มิติขึ้นไปตอบว่า “อนันต์”

ย้อนกลับมาที่กระดานหมากรุกไคลน์มีด้านหรือไม่? อาจถามใหม่ว่า เราสามารถเขียนเวกเตอร์ที่พุ่งตั้งฉากออกจากช่องหมากรุกช่องใดๆ บนกระดานหมากรุกไคลน์ได้กี่เวกเตอร์? เราจะตอบด้วยความเคยชินว่าพื้นผิวใดๆ ณ จุดหนึ่งๆ มีเวกเตอร์พุ่งตั้งฉากออกมาจากพื้นผิวนั้น 2 เวกเตอร์ไม่ได้ เพราะพื้นผิวที่กำลังพูดถึงอยู่นี้ไม่ใช่พื้นผิวที่อยู่ในอวกาศ 3 มิติ แต่อยู่ในอวกาศ 4 มิติ ดังนั้นมีเวกเตอร์จำนวนอนันต์ที่พุ่งตั้งฉากออกมาจากมัน ถ้าเราดูรูปที่ 17 พระสังฆราชเดินจาก ก5 ไป ญ5 ในอวกาศ 4 มิติ มันไม่ได้มีเพียง ญ5ล เท่านั้น แต่มี ญ5 อื่นๆ อีกอนันต์ด้าน เนื่องจากเราไม่สามารถเล่นหมากรุกบนกระดานอนันต์ช่องได้ ดังนั้นกระดานหมากรุกไคลน์ที่สามารถเล่นได้จึงมีเพียง 64 ช่องเท่าเดิม กล่าวคือ เราไม่ให้ความสำคัญของด้านจำนวนอนันต์ด้าน ณ ช่องหนึ่งๆ ว่าเป็นตำแหน่งที่แตกต่างกัน และปฐมเหตุของความเข้าใจเรื่องระนาบแบ่งด้านออกเป็น 2 ด้าน เพราะมีเวกเตอร์ 2 ตัวที่พุ่งตั้งฉากออกไปจากมัน เกิดจากตัวเราซึ่งคุ้นเคยและอาศัยใช้สอยอยู่ในอวกาศ 3 มิติ

สรุป กระดานหมากรุกไคลน์ที่เราเล่นได้มี 64 ช่อง การแก้โจทย์ปัญหาข้อนี้ทำได้ง่ายๆ โดยพิจารณาเขตอิทธิพลของตัวหมากรุกแต่ละตัว


รูปที่ 20 เขตอิทธิพลของพระราชินีดำ จ2

พื้นที่แรเงาในรูปที่ 20 แสดงเขตอิทธิพลของพระราชินีดำ จ2 คงเห็นความอำมหิตนะครับ ดังนั้นพื้นที่ที่เหลือให้พระราชาขาว ญ8 เดินได้จึงมีเพียง 3 ช่องดังรูปที่ 21


รูปที่ 21 ช่องที่พระราชาขาว ญ8 สามารถเดินได้

การรุกพระราชาดำ ฉ1 เพื่อทำให้จน คือการรุกแล้วไม่ว่าพระราชาดำ ฉ1 จะหนีไปที่ใดก็ไม่อาจรอดพ้นความตาย หนทางหนีของพระราชาดำ ฉ1 แสดงดังรูปที่ 22


รูปที่ 22 ช่องทางหนีของพระราชาดำ ฉ1

ตำแหน่ง ช1 และ ช8 พระราชาดำไม่สามารถเดินไปได้เพราะเป็นเขตอิทธิพลของพระราชาขาว และตัวหมากรุกเพียงตัวเดียวที่สามารถเดินเพื่อรุกพระราชาดำได้คือพระสังฆราชขาว รูปที่ 23 แสดงช่องที่พระสังฆราชขาวสามารถเดินได้ แต่พระสังฆราชต้องไม่เผลอตกในช่องที่เป็นเขตอิทธิพลของพระราชินีดำ ดังนั้นเหลือที่ว่างให้พระสังฆราชลอบสังหารพระราชาเพียง 8 ช่อง ดังรูปที่ 24


รูปที่ 23 ช่องเดินของพระสังฆราชขาว


รูปที่ 24 8 ช่องที่พระสังฆราชสามารถลอบสังหารพระราชา

เริ่มต้นทดลองเลื่อนพระสังฆราชไปที่ ก5


รูปที่ 25 เดินพระสังฆราช ข6 ไป ก5

เดินพระสังฆราชจาก ข6 ไป ก5 สามารถปลงพระชนพระราชาได้ดังรูปที่ 25 ครับ ถ้าเราสังเกตรูปนี้ เราจะพบว่าเมื่อนำพระสังฆราชวางช่องที่เส้นทางเดินตัดกัน จะให้เส้นทางเดินเดียวกันเสมอ พระสังฆราช ก4 ก5 จ1 และ จ8 จึงมีเส้นทางเดินร่วมกัน ดังนั้น ถ้า ก5 ฆ่าพระราชาได้ ก4 ก็ต้องฆ่าได้เช่นกัน ส่วน จ1 และ จ8 เกือบฆ่าได้ครับ ถ้าไม่ถูกพระราชินีฆ่าตายเสียก่อน

ถ้าเดินพระสังฆราช ข6 ไป ช3


รูปที่ 26 เดินพระสังฆราช ข6 ไป ช3

จากรูปที่ 26 เดินพระสังฆราชไป ช3 หรือ ช6 ให้เส้นทางเดินเดียวกัน และไม่สามารถสังหารพระราชาดำได้ ลองเดินจาก ข6 ไป ง4 เส้นทางแสดงดังรูปที่ 27


รูปที่ 27 เดินพระสังฆราช ข6 ไป ง4

จุดตัดเส้นทางในรูปที่ 27 บอกเราว่า เดินพระสังฆราชไป ง4 ง5 หรือ ญ1 ให้ค่าเท่ากัน คือพระราชาดำ ฉ1 อยู่รอดปลอดภัย ตอนนี้เราได้ทดลองเดินพระสังฆราช 7 ตำแหน่งแล้วนะครับ ก4, ก5, ช3, ช6, ง4, ง5 และ ญ7 พบว่ามี ก4 กับ ก5 เท่านั้นที่สามารถรุกจน เรายังเหลืออีก 1 ตำแหน่งจากรูปที่ 24 คือ ข3 ยกให้เป็นการบ้านคุณผู้อ่านสักข้อก็แล้วกัน

คิดกันเล่นๆ ถ้าโลกกระดานหมากรุกนี้ ตัวละครไม่เคยเดินข้ามขอบ 1 8 ก ญ เลย ก็ไม่ผิดอะไรจากหมากรุกทั่วไป ตัวละครคงใช้ชีวิตตามปกติด้วยความเข้าใจว่าก้าวข้ามขอบไม่ได้ และเข้าใจว่าโลกของเขามี 2 มิติ อยู่มาวันหนึ่ง ชาวนาไม่ยอมโปรโมตที่ ก8 แต่เดินทะลุต่อไป ก1 เขาอาจจะเอะใจ เกิดความสงสัย คุณคิดว่าความสงสัยของชาวนาสามารถทำให้เขาค้นพบข้อเท็จจริงว่าโลก 2 มิติ ที่คุ้นเคยนั้นลอยอยู่ในอวกาศ 4 มิติได้ไหมครับ?







บทความนี้ตีพิมพ์ใน MY MATH




Create Date : 01 สิงหาคม 2550
Last Update : 11 พฤศจิกายน 2550 22:30:41 น. 3 comments
Counter : 2381 Pageviews.

 
สุดยอดครับ

สนุกมากๆ เลย


โดย: กายแก้ว วันที่: 18 สิงหาคม 2550 เวลา:20:03:11 น.  

 
น่าสนใจดีครับ ขอแอดกไปติดในบล็อคนะครับ


โดย: นายแจม วันที่: 26 มกราคม 2551 เวลา:20:06:38 น.  

 
งงงงงงง ชิ๊กเป๋งเลย.... ทุกครั้งที่เราจะกินข้าว เราจำเป็นต้องนึกถึง สสารและอวกาศด้วยเหรอเนี่ย...


โดย: หมอตำแย วันที่: 21 เมษายน 2551 เวลา:16:40:51 น.  

ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
  *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.