@ Kira Look @ = Hotnew
Group Blog
 
All blogs
 

สรุป...สูตรคณิตศาสตร์

//www.sf.ac.th/student/math/


.ร.ม. และ ค.ร.น.
การหา ห.ร.ม.
1. แยกตัวประกอบของแต่ละจำนวน
2. ตรวจดูเฉพาะตัวที่เหมือนกันทุกบรรทัด แล้วชักมาตัวเดียว แล้วคูณกัน
ตัวอย่าง หา ห.ร.ม. ของ 24, 36, 43
24 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3
36 = 2 x 2 x 3 x 3
43 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3
ดังนั้น ห.ร.ม. คือ 2 x 2 x 3 = 12
การหา ค.ร.น.
1. แยกตัวประกอบของแต่ละจำนวน
2. พิจารณาตัวที่เหมือนกันเอามาตัวเดียว ตัวที่ต่างกันหมดเอามาทุกตัวแล้วนำมาคูณกัน
ตัวอย่าง หา ค.ร.น. ของ
6, 12, 24
6 = 3 x 2
12 = 3 x 2 x 2
24 = 3 x 2 x 2 x 2
เอาตัวกรอบซึ่งมีเลข 3, 2, 2 ส่วนนอกนั้นเอามาทุกตัวคือ 2 แล้วนำมาคูณกัน จะได้
3 x 2 x 2 x 2 = 24 ความสัมพันธ์ระหว่าง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. 1. ถ้า a, b เป็นจำนวนเต็มบวก และ c
เป็น ห.ร.ม. ของ a, b จะได้ว่า ค.ร.น. ของ a และ b เท่ากับ ab หรือท่องว่า ห.ร.ม. x ค.ร.น. = เลข 2
จำนวนนั้นคูณกัน
ตัวอย่างจำนวนนับสองจำนวนมีผลคูณเท่ากับ 80 และมี ห.ร.ม.เท่ากับ 2 จงหา ค.ร.น.ของจำนวนทั้งสอง วิธีทำ ห.ร.ม. x ค.ร.น. =เลข 2 จำนวนคูณกัน 2 x ค.ร.น. = 80

การบวกและการลบ

การบวก
ก. 10 + 8 = (+10) + (+8) = 18
ข. (-7) + (-5) = - 7 - 5 = -12
ค. - 5 + 8 = (-5) + (+8) = 3
ง. - 4 + (-7) = - 11
จ. 8 + (-6) = 8 - 6 = 2
การลบ
ก. 11 - 8 = (+11) - (+8) = 3
ข. -7 - (-8) = - 7 + 8 = +1
ค. - 5 - (+9) = -5 - 9 = - 14
ง. - 2 - (-7) = - 2 + 7 = 5
จ. 8 - (-7) = 8 + 7 = 15
จะเห็นได้ว่า เวลาบวกเลขที่มีเครื่องหมาย ถ้าเครื่องหมายเหมือนกันก็เอาไปรวมกัน
ถ้าเครื่องหมายต่างกันก็เอาไปหักกัน จำนวนที่เหลือก็มีเครื่องหมายตามจำนวนมาก ในการลบนั้น
เราเปลี่ยนเครื่องหมายตัวลบให้เป็นตรงข้ามคือ ถ้าตัวลบเป็นจำนวนลบก็เปลี่ยนเป็นจำนวนบวก
แล้วเอาไปบวกกับตัวตั้ง ถ้าตัวลบเป็นจำนวนบวกก็เปลี่ยนเป็นจำนวนลบ
แล้วเอาไปบวกกับตัวตั้ง
จำนวนและตัวเลข
การเขียนตัวเลขแทนจำนวน จำนวน เป็นการเปรียบเทียบให้ทราบว่ามากกว่า น้อยกว่า หรือเท่ากัน (เพราะการเปรียบเทียบของแต่ละบุคคลไม่เหมือนกันขึ้นอยู่กับความรู้สึก) มนุษย์จึงคิดค้นสัญลักษณ์ขึ้นมา เพื่อใช้กำกับจำนวนที่เรียกว่า ตัวเลข ตัวเลข ที่มนุษย์คิดค้นขึ้นมานั้น แต่ละชาติแต่ละภาษาต่างก็คิดขึ้นมาใช้ ซึ่งตัวเลขบางแบบก็เลิกใช้แล้ว บางแบบก็ยังใช้ในปัจจุบัน บางแบบก็ใช้หรือเข้าใจกันแต่เฉพาะชาติของตนเอง ที่ถือว่าเป็นระบบตัวเลขสากลใช้กันทั่วโลก คือ "ระบบตัวเลขฮินดูอารบิก"





 

Create Date : 11 เมษายน 2550    
Last Update : 11 เมษายน 2550 11:46:34 น.
Counter : 496 Pageviews.  

เซต 3

การให้เหตุผลอย่างประมาณ (Approximate Reasoning)
จุดมุ่งหมายสูงสุดของตรรกะแบบคลุมเครือ คือการจัดรูปแบบพื้นฐานทฤษฎีสำหรับการให้เหตุผลเกี่ยวกับประพจน์ที่ไม่แน่นอน การให้เหตุผลเช่นนี้เรียกว่าการให้เหตุผลอย่างประมาณ (approximate reasoning) การให้เหตุผลอย่างประมาณจะคล้ายกับการให้เหตุผลในตรรกะแบบฉบับด้วยการประพจน์ชนิดเที่ยง (precise propositions) ดังนั้นการให้เหตุผลอย่างประมาณจึงเป็นตัวขยายของแคลคูลัสประพจน์แบบฉบับ (classical propositional calculus)ที่ยอมให้มีความจริงบางส่วนได้ สมมุติเรามีรูปฐานของกฎเกณฑ์ที่จะแสดงข้อมูลแบบฟัซซี กฎเหล่านี้ถูกแสดงในรูปแบบ ข้อนำ-ข้อตาม (antecedent-consequent form) หรือ รูปแบบถ้า-แล้ว (if-then form) ในรูป
ถ้า x เป็น A , แล้ว y เป็น B
เมื่อ A และ B เป็นเซตแบบคลุมเครือ
ถ้า x เป็น A’, แล้ว y เป็น B’
A’เป็นข้อนำอันใหม่ (new antecedent) และ B’ เป็นข้อตาม (consequent) ที่สามารถหาได้จาก “ถ้า x เป็น A’, แล้ว y เป็น B’ ” โดยใช้วิธีดำเนินการจัดองค์ประกอบ B’ = A’Rซึ่งการจัดองค์ประกอบที่นิยมมากที่สุด ได้แก่ การจัดองค์ประกอบแบบค่าสูงสุดและต่ำสุด (max-min composition) และการจัดองค์ประกอบแบบค่าสูงสุดและผลคูณ (max-product composition)

การส่อความแบบต่าง ๆ
มีเทคนิคสำหรับการหาความสัมพันธ์ฟัซซี Rบนฐานของ If A , Then Bหรือ R =A → Bมีการดำเนินการส่อความแบบคลุมเครือ ซึ่งสมเหตุสมผลสำหรับค่าทั้งหมดของ x และ y (∀x ∈ X,
y ∈Y) รูปแบบต่อไปนี้เป็นตัวดำเนินการส่อความที่เป็นเทคนิคต่าง ๆ สำหรับใช้หาค่าฟังก์ชันความเป็นสมาชิกของความสัมพันธ์ฟัซซี R ที่นิยามบนปริภูมิผลคูณคาร์ทีเซียน X x Y

ฟังก์ชันการส่อความแบบคลุมเครือ


ระบบกฎแบบฟัซซี
ในระบบปัญญาประดิษฐ์ (artificial intelligence) หรือเครื่องจักรอัฉริยะ (machine intelligence) มีวิธีการหลายวิธีในการที่จะแสดงองค์ความรู้ของมนุษย์ในรูปแบบต่าง ๆ เช่น ตรรกะ (logic) เฟรม (frames) โครงข่ายความหมาย (semantic nets) ภววิทยา (ontology) และกฎ (rules) ซึ่งแบบหลังสุดเป็นวิธีหนึ่งที่นิยมใช้ในระบบฟัซซี




รูปแบบกฎฟัซซี
ในระบบฟัซซีองค์ความรู้สามารถแสดงในรูปประโยค
ถ้า ข้อตั้ง (ข้อนำ) ดังนั้น ข้อยุติ (ข้อตาม)
IF premise (antecedent), THEN conclusion (consequent)
ข้อความข้างต้นเป็นที่รู้จักกันดีในนาม “รูปแบบฐานกฎถ้า-ดังนั้น” (IF-THEN rule-based form) หรือ รูปแบบนิรนัย (deductive form) ในรูปแบบการแสดงอนุมาน หากเราทราบความจริง (ข้อตั้ง ข้อสมมุติฐาน หรือข้อนำ) แล้วเราสามารถอนุมาน หรือหาข้อสรุปความจริงอีกอย่างหนึ่งที่เรียกว่าข้อยุติหรือข้อตาม การแสดงรูปแบบองค์ความรู้นี้ เรียกว่า องค์ความรู้ตื้น (shallow knowledge) ซึ่งค่อนข้างมีความเหมาะสมในบริบทของภาษา เนื่องจากเป็นการแสดงประสบการณ์ของมนุษย์และองค์ความรู้เชิงศึกษาสำนัก (heuristics) ในรูปแบบประโยคภาษามนุษย์ที่ใช้ในการสื่อสารทั่วไป แต่ไม่เป็นรูปแบบองค์ความรู้ที่ลึกล้ำ แบบที่เป็นการรู้เอง เป็นโครงสร้าง เป็นฟังก์ชัน หรือเป็นพฤติกรรมของวัตถุรอบ ๆ ตัวเรา อย่างที่เรียกว่า อุปนัย (inductive)
ระบบกฎฟัซซีเป็นสิ่งที่มีประโยชน์ในการจัดรูปแบบของระบบที่ซับซ้อนที่สามารถสังเกตได้โดยมนุษย์ เพราะระบบเหล่านี้สามารถแสดงด้วยตัวแปรภาษาในข้อนำและข้อตามของกฎได้ ตัวแปรภาษาสามารถนำแสดงเชิงธรรมชาติด้วยฟัซซีเซตและตัวเชื่อมตรรกะของเซตเหล่านั้น

โครงสร้างพื้นฐานของการประมวลผลแบบฟัซซีลอจิก
โครงสร้างพื้นฐานของการประมวลผลแบบฟัซซี ซึ่งประกอบด้วยส่วนที่สำคัญ 4 ส่วนดังนี้ ดังภาพที่ 5-1


ส่วนที่แปลงการอินพุตทั่วไปเปลี่ยนเป็นการอินพุตแบบตัวแปรฟัซซี (Fuzzification) หรือในรูปแบบเซตฟัซซีหรือเรียกว่าเป็นตัวแปรภาษา (Linguistic Variable)
ฐานความรู้ (Knowledge base) เป็นส่วนที่จัดเก็บรวบรวมข้อมูลในการควบคุมประกอบ 2 ส่วนคือ ฐานกฎ (Rule base) และฐานข้อมูล (Database)
ฐานกฎ (Rule base) ส่วนของการกำหนดวิธีการควบคุม ซึ่งได้จากผู้เชี่ยวชาญในรูปแบบของชุดข้อมูลแบบกฎของภาษา (Linguistic rule)
ฐานข้อมูล (Database) เป็นการจัดเตรียมส่วนที่จำเป็นเพื่อที่จะใช้ในการกำหนดกฎการควบคุม และการจัดการข้อมูลของตรรกศาสตร์ฟัซซี
เครื่องอนุมานหรือการตีความ (Inference Engine) เป็นส่วนที่ทำหน้าที่ตรวจสอบข้อเท็จจริงและกฎ เพื่อใช้ในการตีความหาเหตุผล เหมือนกลไกสำหรับควบคุมการใช้ความรู้ในการแก้ไขปัญหา รวมทั้งการกำหนดวิธีการของการตีความเพื่อหาคำตอบ
ส่วนที่แปลงการเอาต์พุตให้อยู่ในช่วงที่เหมาะสม (Defuzzification) เป็นการทำการแปลงข้อมูลที่อยู่ในรูปแบบฟัซซีให้เป็นค่าที่สรุปผลหรือค่าการควบคุมระบบ

ขั้นตอนการประมวลผลแบบฟัซซีลอจิก
ขั้นตอนการประมวลผลแบบฟัซซีลอจิกมีรูปแบบการทำงานเป็น 4 ส่วนจะแสดงดัง ภาพที่ 5-2

ขั้นตอนที่ 1 เป็นการแปลงการอินพุตแบบทวินัยเปลี่ยนเป็นการอินพุตแบบตัวแปรฟัซซี โดยจะสร้างฟังก์ชันความเป็นสมาชิก โดยไม่จำเป็นต้องมีลักษณะเดียวกัน ขึ้นกับคุณลักษณะของแต่ละการอินพุต (Input) และความสำคัญต่อการเอาต์พุต (Output) ที่น่าสนใจโดยฟังก์ชันจะมีลักษณะเป็นการกำหนดภาษาสามัญ เพื่อให้เป็นฟัซซีการอินพุต ดังภาพที่ 5-3



ขั้นตอนที่ 2 เป็นการสร้างความสัมพันธ์ระหว่างการอินพุตทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับเอาต์พุตที่อาศัยหลักการของการหาเหตุและผล อาจจะสร้างการเก็บข้อมูล การคาดการณ์จากการตัดสินใจของมนุษย์ หรือค่าจากการทดลอง โดยเขียนเป็นกฎการควบคุมระบบ ซึ่งจะมีลักษณะอยู่ในรูปแบบ ถ้า (If) และ (And) หรือ (Or) ซึ่งเป็นภาษาสามัญ นำกฎทั้งหมดมาประมวลผลรวมกัน เพื่อการหาตัดสินใจที่เหมาะสม ดังภาพที่ 5-4


ขั้นตอนที่ 3 เป็นการหาฟัซซีเอาต์พุต โดยการนำกฎการควบคุมที่สร้างขึ้น ในขั้นตอนที่ 2 มาประมวลผลกับฟัซซีอินพุต โดยใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ เพื่อนำค่าที่ได้ประมวลผล ดังภาพที่ 5-5


วิธีการทำเป็นค่าคลุมเครือ (Fuzzification) วิธีการที่นิยมใช้ในการตีความหาเหตุผลเลือกใช้ Max-Min method และ Max-Dot method
ขั้นตอนที่ 4 เป็นขั้นตอนสุดท้ายหรือขั้นตอนการสรุปเหตุผลฟัซซี โดยจะเปลี่ยนฟัซซีเอาต์พุตให้เป็นทวินัยเอาต์พุตตามภาพที่ 5-9 และด้วยวิธีทางคณิตศาสตร์ เช่น วิธีการหาจุดศูนย์ถ่วง (Central of Gravity) เพื่อนำค่าที่ได้มาใช้ในการตัดสินใจเพื่อควบคุมระบบในสถานการณ์นั้นๆ

วิธีการทำค่าฟัซซีให้เป็นค่าปกติ (Defuzzification) วิธีการที่เป็นเทคนิคการเลือกค่าสูงสุดหรือสรุปหาเหตุผลจากหลาย ๆ เซตมาเพียงค่าเดียว ซึ่งเป็นการใช้ค่าสูงสุดของค่าระดับการเป็นสมาชิกจากการกระทำหลายๆ แบบ และเลือกกระทำเพียงรูปแบบเดียว
วิธีการหาจุดศูนย์ถ่วง (Central of Gravity: COG) เป็นวิธีการเฉลี่ยผลที่ได้จากการตีความหาเหตุที่นิยมใช้ในปัจจุบัน ค่าที่ได้จะคำนวณจุดศูนย์ถ่วงโดยรวมจะหาได้จากการประมาณค่าจากสมการ

โดยสมการ ได้กำหนดค่าของสมการดังนี้



ชนิดของระบบกฎฟัซซี

ในการประมาณค่าฟังก์ชัน (function approximation) ระบบกฎฟัซซีที่ใช้มี 3 ชนิดใหญ่ ๆ ได้แก่ (1) รูปแบบ Madani (2) รูปแบบ Takagi-Sugeno-Kang (TSK) และ (3) รูปแบบ Standard
Additive Model (SAM) รูปแบบ Madani รวมผลการอนุมาน (inference) ของกฎ โดยวิธีการซ้อนทับ (superimposition) จากกฎหลาย ๆ ข้อ ซึ่งไม่เป็นแบบบวกกัน จึงเรียกระบบแบบนี้ว่าเป็น nonadditive rule model แต่สำหรับ TSK และ SAM มีการอนุนามแบบรวมค่าน้ำหนัก (weighted sum) จากหลาย ๆ กฎ เพื่อรวมเป็นข้อสรุปสุดท้าย จึงเรียกระบบแบบนี้ว่า additive rule model การจัดกลุ่มของระบบกฎแบบฟัซซีแสดงในภาพที่ 5-10

ระบบกฎฟัซซีของแมมดานิ (Mamdani)
ระบบกฎฟัซซีแบบ Mamdani เป็นระบบที่มีความนิยมใช้มากที่สุดระบบหนึ่งในทางปฏิบัติ เป็นระบบที่ใช้ตัวแปรภาษาทั้งในข้อตั้งและข้อตามเพื่อจัดเทียบฟังก์ชันจาก เป็น U1 ×U2 × x Un เป็น W

เมื่อ xj, j = 1, …, n, เป็นตัวประกอบที่ j ของตัวแปรอินพุต x, y เป็นตัวแปรเอาต์พุต, Aij เป็นพจน์ภาษาของข้อตั้ง (consequence linguistic term) หรือเป็นฟังก์ชันความเป็นสมาชิกของข้อตั้ง (antecedent membership function) ในกฎที่ i, i = 1, …, L, Ci เป็นพจน์ภาษาของข้อตามหรือฟังก์ชันความเป็นสมาชิกของข้อตาม (consequent membership function) ของกฎที่ i



วิธีการอนุมานแบบ Mamdani
กำหนดให้ ระบบฟัซซีแบบ Mamdani มี 2 อินพุต x1 และ x2 (antecedent) และ 1 เอาต์พุต y (consequent) ซึ่งมีกฎฟัซซีเป็น

ผลรวมเอาต์พุตหาได้ โดยการใช้วิธีการจัดองค์ประกอบแบบค่าสูงสุด-ต่ำสุด (max-min composition) และวิธีการจัดองค์ประกอบแบบค่าสูงสุด-ผลคูณ (max-product composition)
วิธีการจัดองค์ประกอบแบบค่าสูงสุด-ต่ำสุด




วิธีการจัดองค์ประกอบแบบค่าสูงสุด-ผลคูณ












ระบบกฎฟัซซีแบบ TSK (Takagi-Sugeno-Kang)
ระบบกฎฟัซซีแบบ TSK ซึ่งนำเสนอโดย Takagi และ Sugeno ในปีค.ศ. 1984 และต่อมา Sugeno และ Kang ได้วิจัยต่อมา ระบบกฎฟัซซีแบบ TSK จะอยู่ในรูป


ระบบฟัซซีแบบบวกมาตรฐาน (Standard Additive Model: SAM)
ระบบฟัซซีแบบบวกมาตรฐาน เช่น ระบบฟัซซแบบซูคาโมโต หรือ Tsukamoto’s Fuzzy System (Tsukamoto, 1979) ในระบบนี้ส่วนข้อตั้งและข้อตามจะเป็นพจน์ภาษาคล้ายกับ ระบบฟัซซีของ Mamdani แต่ส่วนของข้อตาม (consequent) ของกฎฟัซซีจะถูกแสดงเป็นฟัซซีเซตซึ่งมีฟังก์ชันสมาชิกแบบทางเดียว (monotonic membership function) ดังภาพที่ 5-17 ฟังก์ชันความเป็นสมาชิกแบบทางเดียวบางครั้งเรียกว่า shoulder function เป็นค่าอนุมานเอาต์พุตของแต่ละกฎที่เป็นค่าธรรมดาทั่วไป (crisp value) ผลเอาต์พุตทั้งหมด (ดังภาพที่ 517) สามารถคำนวณได้จากค่าเฉลี่ยน้ำหนักของเอาต์พุตจากแต่ละกฎ ดังสมการ


เนื่องจากกฎแต่ละข้อมีค่าเอาต์พุตเป็นค่าใช้งานทั่วไปแล้ว ระบบจะรวมเอาต์พุตทั้งหมดได้อย่างรวดเร็วไม่ต้องอาศัยวิธีการแปลงค่าฟัซซีเป็นค่าธรรมดา (defuzzification) ดังนั้นจึงประหยัดเวลามากขึ้น



กระบวนการหาเหตุผลแบบฟัซซี
การหาเหตุผลแบบฟัซซีทั่วไป
กำหนดให้ระบบฟัซซีหนึ่งมี n อินพุต และ 1 เอาต์พุต ประกอบด้วยกฎดังนี้

เมื่อ x = [x1, x2, …, xn]T เป็นตัวแปรอินพุต และ y เป็นตัวแปรเอาต์พุตของระบบ เป็นพจน์ภาษา (linguistic terms) ของข้อตั้ง (antecedent) เมื่อ i เป็นกฎที่ i, i = 1,…L, และ j เป็นมิติที่ j j = 1, …, n, และให้ เป็นพจน์ภาษา (linguistic terms) ของข้อตาม (antecedent) ijAiB
จากรูปประโยค IF-THEN สามารถตีความโดยแยกเป็นส่วน ๆ ซึ่งประกอบด้วย ตัวเชื่อมตรรกะ “and or ตัวอนุมาน “then” ตัวจัดองค์ประกอบ ◦ อินพุตใด ๆ สามารถสรุปผลได้จากระบบฟัซซีดังกล่าว ตัวอย่างเช่น ถ้ามีอินพุตที่ต้องการหาข้อสรุปผล

จากกฎฟัซซีข้างต้น สามารถสรุปผลได้ว่า
y = B
กฎข้อที่ i จากระบบฟัซซีนี้

มีความสัมพันธ์ฟัซซี Ri ตามสมการ

จากอินพุต สามารถสรุปหา y = B โดยหาเอาต์พุตของกฎแต่ละข้อ



จากนั้นรวม Bi′ จากกฎแต่ข้อเข้าด้วยกัน ด้วยการยูเนียน ดังสมการ

ดังนั้นฟัซซีเซตเอาต์พุต จะหาได้จาก


การหาเหตุผลแบบฟัซซีตามวิธี Mamdani
เพื่อความเข้าใจง่าย จะยกตัวอย่างกฎฟัซซี IF-THEN สองกฎที่อยู่ในรูป
Rule1: if x is A1 and y is B1 then z is C1
Rule2: if x is A2 and y is B2 then z is C2
สำหรับอินพุตใด ๆ x is x0 and y is y0 ดังนั้นผลสรุป z is C
การหาผลสรุปฟัซซีในรูปแบบ Mamdani เป็นการใช้ตัวดำเนินการค่าต่ำสุด (minimum operator) สำหรับการเชื่อมประโยคแบบ “and” และใช้ตัวดำเนินการค่าสูงสุดสำหรับการเชื่อมประโยคแบบ “or”

ระดับค่าฟัซซีของกฎแต่ละข้อในส่วนข้อตั้ง หาได้โดยการคำนวณจากสมการ

เอาต์พุตของกฎแต่ละข้อ สามารถคำนวณได้จาก

ผลรวมของเอาต์พุตฟัซซีทั้งหมดหาได้จากการยูเนียนผลลัพธ์จากแต่ละกฎ

สุดท้าย หากต้องการผลเอาต์พุตที่เป็นค่าทั่วไป สามารถหาโดยวิธีการแปลงค่าฟัซซีเป็นค่าทั่วไป (defuzzification method)








อ้างอิงจาก
ดร.พยุง มีสัจ คณะเทคโนโลยีสารสนเทศ สถาบันเทคโนโลยีพระจอมเกล้าพระนครเหนือ
//suanpalm3.kmitnb.ac.th/teacher/phayung/powerpoint.asp?pno=1






 

Create Date : 01 กันยายน 2549    
Last Update : 1 กันยายน 2549 21:32:40 น.
Counter : 300 Pageviews.  

เซต 2

การดำเนินการทางฟัซซีเซต
การดำเนินการของฟัซซีเซตมีคุณสมบัติเหมือนกับเซตโดยทั่วไป มีการดำเนินการ (operation) คือ Union Intersection และ Complement
1. ยูเนียน (Union) ของฟัซซีเซต จะเป็น OR operation ในสมการ และ ภาพที่ 2-8

2. อินเตอร์เซกชัน (Intersection) ของฟัซซีเซต จะเป็น AND operation ในสมการ และภาพที่ 2-9

3. คอมพลีเมนต์ (Complement) ของฟัซซีเซต ในสมการและภาพที่ 2-10









คุณสมบัติของเซตฟัซซี
เซตฟัซซีมีคุณสมบัติตามเซตแบบฉบับ ได้แก่


ฟังก์ชันความเป็นสมาชิก
ฟังก์ชันความเป็นสมาชิก (membership function) เป็นฟังก์ชันที่มีการกำหนดระดับความเป็นสมาชิกของตัวแปรที่ต้องการใช้งาน โดยเริ่มจากการแทนที่กับตัวแทนที่มีความไม่ชัดเจน ไม่แน่นอน และคลุมเครือ ดังนั้นส่วนที่สำคัญต่อคุณสมบัติหรือการดำเนินการของฟัซซี เพราะรูปร่างของฟังก์ชันความเป็นสมาชิกมีความสำคัญต่อกระบวนการคิดและแก้ไขปัญหา โดยฟังก์ชันความเป็นสมาชิกจะไม่สมมาตรกันหรือสมมาตรกันทุกประการก็ได้
ชนิดของฟังก์ชันความเป็นสมาชิก
ชนิดของฟังก์ชันความเป็นสมาชิกที่ใช้งานทั่วไปมีหลายชนิด แต่ในที่นี้จะกล่าวถึงเพียงบาง 6 ชนิดดังนี้
1. ฟังก์ชันสามเหลี่ยม (triangular membership function)
ฟังก์ชันสามเหลี่ยมมีทั้งหมด 3 พารามิเตอร์คือ {a, b, c}

2. ฟังก์ชันสี่เหลี่ยมคางหมู (trapezoidal membership function)
ฟังก์ชันสี่เหลี่ยมคางหมูมีทั้งหมด 4 พารามิเตอร์คือ {a, b, c, d}

3. ฟังก์ชันเกาส์เซียน (Gaussian membership function)
ฟังก์ชันเกาส์เซียนมีทั้งหมด 2 พารามิเตอร์คือ {m, σ} ซึ่ง m หมายถึงค่าเฉลี่ย และ
σ หมายถึง ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

4. ฟังก์ชันระฆังคว่ำ (Bell-shaped membership function)
ฟังก์ชันรูประฆังคว่ำมีพารามิเตอร์ทั้งหมด 3 ค่าคือ {a, b, c}

5. ฟังก์ชันตัวเอส (Smooth Membership Function)
ฟังก์ชันรูปตัวเอสมีพารามิเตอร์ทั้งหมด 2 ค่าคือ {a, b}

6. ฟังก์ชันตัวแซด (Z-membership function)
ฟังก์ชันรูปตัวเอสมีพารามิเตอร์ทั้งหมด 2 ค่าคือ {a, b}

การเลือกฟังก์ชันของความเป็นสมาชิก จะต้องเลือกตามความเหมาะสมความครอบคลุมของข้อมูลที่จะรับเข้ามา โดยสามารถที่ทับซ้อนกันเพื่อให้การดำเนินงานราบเรียบ ซึ่งมีความเป็นสมาชิกหลายค่าได้ และฟังก์ชันความเป็นสมาชิกเปลี่ยนแปลงแก้ไขให้เหมาะกับงานที่กำลังปฏิบัติงานหรือตามความต้องการ
ตัวแปรภาษา (linguistic variable)
เซตแบบฟัซซีสามารถประยุกต์ใช้ในการอธิบายค่าของตัวแปรเช่นเดียวกับเซตแบบดั้งเดิม เช่น ประโยค “อุณหภูมิในห้องเย็น” คำว่า “เย็น” เป็นคำที่ใช้แสดงปริมาณอุณหภูมิ ในทางรูปนัย สามารถเขียนได้เป็น ปริมาณอุณหภูมิ ในห้อง เย็น หรือ TemperatureQuantity is Cold ตัวแปร TemperatureQuantity เป็นตัวแปรภาษา (linguistic variable) ซึ่งเป็นแนวคิดที่สำคัญมากในตรรกะแบบฟัซซี ตัวแปรภาษาช่วยกำหนดค่าของสิ่งที่จะอธิบายทั้งในรูปคุณภาพ โดยใช้พจน์ภาษา (linguistic term) และในรูปปริมาณ โดยใช้ฟังก์ชันความเป็นสมาชิก (membership function) ซึ่งแสดงความของของเซตแบบฟัซซี พจน์ภาษาใช้สำหรับการแสดงแนวคิดและองค์ความรู้ในการสื่อสารของมนุษย์ ส่วนฟังก์ชันความเป็นสมาชิกมีประโยชน์ในการจัดการกับอินพุตที่เป็นข้อมูลเชิงตัวเลข


ตัวแปรภาษาเป็นการประกอบกัน (composition) ของตัวแปรสัญลักษณ์ (symbolic variable) และตัวแปรเชิงเลข (numerical variable) ตัวอย่างตัวแปรสัญลักษณ์ เช่น “รูปร่าง เป็น ทรงกระบอก” (Shape = Cylinder) คำว่า “รูปร่าง” เป็นตัวแปรที่บอกถึงรูปร่างของวัตถุ ตัวอย่างตัวแปรเชิงเลข เช่น “ความสูงเท่ากับ 4 ฟุต” (Height = 4') ตัวแปรเชิงเลขจะมีใช้กันในสาขางานด้านวิทยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ คณิตศาสตร์ การแพทย์ และอื่น ๆ ส่วนตัวแปรสัญลักษณ์มีความสำคัญในวิทยาการเกี่ยวกับปัญญาประดิษฐ์และการตัดสินใจ การใช้ตัวแปรภาษาเป็นการรวมตัวแปรเชิงเลขกับตัวแปรสัญลักษณ์เข้าด้วยกัน ภาพที่ 2-22 แสดงตัวอย่างเซตตัวแปรภาษาของเซตฟัซซี ได้แก่ Extremely Low, Very Low, Low, Medium, High, Very High และ Extremely High
กฎฟัซซี (fuzzy rules)
วิทยาการเกี่ยวกับฟัซซีลอจิกมีจำนวนมาก แต่ที่นิยมและการประยุกต์ใช้งานมากที่สุดเห็นจะได้แก่ กฎฟัซซีแบบถ้า-แล้ว (fuzzy if-then rule) ตัวอย่างการใช้กฎในการแยกกลุ่มดังภาพที่ 2-18 ในภาพที่ 2-19 แสดงปริภูมิรูปแบบ (pattern space) การจัดกลุ่มด้วยกฎฟัซซี




จากภาพที่ 2-23 สามารถเขียนเป็นกฎในรูปประโยคภาษาได้ดังนี้
กฎข้อ 1: ถ้า x1 มีค่า low และ x2 มีค่า low แล้ว ข้อมูล (x1, x2) เป็นกลุ่ม C1
กฎข้อ 2: ถ้า x1 มีค่า low และ x2 มีค่า high แล้ว ข้อมูล (x1, x2) เป็นกลุ่ม C2
กฎข้อ 3: ถ้า x1 มีค่า high และ x2 มีค่า low แล้ว ข้อมูล (x1, x2) เป็นกลุ่ม C3
กฎข้อ 4: ถ้า x1 มีค่า high และ x2 มีค่า high แล้ว ข้อมูล (x1, x2) เป็นกลุ่ม C4
เมื่อ x1 เป็นตัวแปรภาษาในมิติที่ 1, x2 เป็นตัวแปรภาษาในมิติที่ 2, low และ high เป็นพจน์ภาษา (linguistic terms), ข้อมูล (x1, x2) เป็นคู่ลำดับของวัตถุที่ต้องการจัดกลุ่ม และ C1, C2, C3 และ C4 เป็นกลุ่มข้อมูล 1, 2, 3 และ 4
สมมุติให้กฎข้อ l, l = 1, 2, …, L เป็นลำดับของกฎ ให้ข้อมูลเป็น x = [x1, x2, …, xn] เมื่อ n เป็นจำนวนมิติของข้อมูล ให้ Ali เป็นพจน์ภาษาในกฎข้อที่ l มิติที่ i และให้กลุ่มข้อมูลเป็น Ck, k = 1, 2, …, K รูปแบบทั่วไปของกฎฟัซซีสามารถเขียนได้ดังนี้
กฎข้อ 1: ถ้า x1 มีค่า A11 และ x2 มีค่า A12 และ และ xn มีค่า A1n แล้ว ข้อมูล x เป็นกลุ่ม C1
กฎข้อ 2: ถ้า x1 มีค่า A21 และ x2 มีค่า A22 และ และ xn มีค่า A2n แล้ว ข้อมูล x เป็นกลุ่ม C2
 กฎข้อ l: ถ้า x1 มีค่า Al1 และ x2 มีค่า Al2 และ และ xn มีค่า Aln แล้ว ข้อมูล x เป็นกลุ่ม Ck

ความสัมพันธ์แบบฟัซซี
ผลคูณคาร์ทีเซียน
เลขลำดับแบบจัดอันดับมีตัวประกอบ n ค่า ที่เขียนในรูป (a1,a2,…,an) เรียกว่า เอ็น-ทูเปิลแบบจัดอันดับ (an ordered n-tuple) ส่วนเอ็น-ทูเปิลแบบไม่จัดอันดับมีตัวประกอบ n ค่าที่ไม่จัดอันดับสำหรับเซตทวินัย (crisp set) A1,A2,…,An , เซตของ n-tuple ทั้งหมด (a1,a2,…,an) เมื่อ a1 ∈ A1 ,…, และ an ∈ An เราเรียก A1xA2 x,…,xAn ว่าผลคูณคาร์ทีเซียน (Cartesian product)ของ A1,A2,…,An ถ้า A1,A2,…,An เป็นตัวเดียวกันทั้งหมดผลคูณคาร์ทีเซียนจะเท่ากับ Axผลคูณคาร์ทีเซียนจะแตกต่างจากการคูณทางคณิตศาสตร์
ตัวอย่างที่ 3-1 กำหนดใหเ้ ซต A = {0,1}และ B = {a,b,c} จงหาผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตทั้งสองในรูปแบบต่าง ๆ
วิธีทำ
A×B={(0,a),(0,b),(0,c),(1,a),(1,b),(1,c)}
B×A={(a,0),(a,1),(b,0),(b,1),(c,0),(c,1)}
A×A=A2 ={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}
B×B= B2 ={(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)}



ความสัมพันธ์แบบฉบับ
เซตย่อย (supset) ของผลคูณคาร์ทีเซียน A1xA2 x,…,xAn เราเรียกว่าความสัมพันธ์ n-ary บน A1,A2,…,An ในกรณี n = 2 เราเรียกว่าความสัมพันธท์ วิภาค (binary relation) จาก A1 ไปยัง A2แต่ถ้า n = 3 จะเรียกว่าความสัมพันธ์ไตรภาค (ternary relation) n = 4 จะเรียกว่าความสัมพันธ์ฐานสี่(quaternary relation) และ n = 5 จะเรียกว่าความสัมพันธ์ฐานห้า (quinary relation) ต่อไปนี้เมื่อกล่าวถึงความสัมพันธ์จะหมายถึงความสัมพันธ์ทวิภาคผลคูณคาร์ทีเซียนของสองเอกภพสัมพัทธ์ X และ Y หาได้จาก
ผลคูณคาร์ทีเซียนของสองเอกภพสัมพัทธ์ X และ Y หาได้จาก
X ×Y = {(x,y)|x∈X,y∈Y}
ซึ่งเกิดเป็นคู่จัดอันดับของทุก ๆ x ∈ X และ y∈Y ทุก ๆ ตัวประกอบในเอกภพสัมพัทธ์ X ถูกทำให้
สัมพันธ์กับทุกตัวประกอบของ Y ความแข็งแรงของความสัมพันธ์ระหว่างคู่อันดับของตัวประกอบใน
แต่ละเอกภพสัมพัทธ์ถูกวัดด้วยฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ χ










การดำเนินการบนความสัมพันธ์ทวิภาค

นิยามให้ R และ S เป็นความสัมพันธ์สองชุดบนเอกภพสัมพัทธ์คาร์ทีเซียน X ×Y และให  0 เป็นเมทริกซ์ที่ไม่มีความสัมพันธ์ใด ๆ และ E เป็นเมทริกซ์ที่มีความสัมพันธ์เต็ม การดำเนินการบน
ความสัมพันธ์ทวิภาค มีดังนี้



การจัดองค์ประกอบแบบทวิภาค (composition)
ให้ R เป็นความสัมพันธ์ที่สัมพันธ์หรือจัดเทียบตัวประกอบจากเอกภพสัมพัทธ์ X ไปยังเอกภพสัมพัทธ์ Y และให้ S เป็นความสัมพันธ์ที่สัมพันธ์หรือจัดเทียบตัวอประกอบจากเอกภพสัมพัทธ์ Y ไปยังเอกภพสัมพัทธ์ Z มีการจัดองค์ประกอบ 2 รูปแบบที่นิยมใช้ ได้แก่ การจัดองค์ประกอบแบบค่าสูงสุดและต่ำสุด (max-min composition) และ การจัดองค์ประกอบแบบค่าสูงสุดและผลคูณ (maxproductหรือ max-dot composition)
การจัดองค์ประกอบแบบค่าสูงสุดและต่ำสุด

เมื่อ T เป็นความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบที่เหมือนกันในเอกภพสัมพัทธ์ X ที่มีอยู่ใน R ไปยัง
องค์ประกอบที่เหมือนกันในเอกภพสัมพัทธ์ Z ซึ่งมีอยู่ใน S




การจัดองค์ประกอบแบบค่าสูงสุดและผลคูณ

ความสัมพันธ์แบบฟัซซี
ในทำนองเดียวกันดับความสัมพันธ์ทวิภาค ความสัมพันธ์แบบฟัซซีเป็นการจัดเทียบตัว
ประกอบของเอกภพสัมพัทธ์หนึ่ง เช่น X ยังเอกภพสัมพัทธ์หนึ่ง เช่น Y ผ่านผลคูณคาร์ทีเซียนของสองเอกภพสัมพัทธ์นั้น โดยความเข้มระหว่างคู่อันดับของทั้งสองเอกภพสัมพัทธ์วัดได้โดยฟังก์ชันความเป็นสมาชิกแสดงในรูปดีกรีของความเข้มของความสัมพันธ์มีค่าระหว่าง [0, 1] นั่นคือความสัมพันธ์ฟัซซีR%เป็นการจัดเทียบจากปริภูมิคาร์ทีเซียน (Cartesian space) ace) X ×Y เป็นค่าระหว่าง [0, 1] เมื่อความเข้มของการจัดเทียบ ถูกแสดงโดยฟังก์ชันความเป็นสมาชิกภาพของความสัมพันธ์สำหรับคู่อันดับจากสองเอกภพสัมพัทธ์ หรือ μR (x,y)
การดำเนินการของความสัมพันธ์ฟัซซี


การจัดองค์ประกอบแบบฟัซซี (fuzzy composition)
ความสัมพันธ์ฟัซซีเป็นเซตแบบฟัซซีอย่างหนึ่ง เราสามารถนิยามผลคูณคาร์ทีเซียนเป็น
ความสัมพันธ์ระหว่างสองเซตขึ้นไป
สมมุติให้ A เป็นเซตแบบฟัซซีบนเอกภพสัมพัทธ์ X และ B เป็นเซตแบบฟัซซีบนเอกภพสัมพัทธ์ Y ผลคูณคาร์ทีเซียนระหว่างเซตแบบฟัซซี A และ B จะได้ผลเป็นความสัมพันธ์ฟัซซี R ซึ่งถูกบรรจุภายในปริภูมิผลคูณคาร์ทีเซียนเต็ม นั่นคือ.
A × B = R ⊂X × Y

เมื่อความสัมพันธ์ฟัซซี R มีฟังก์ชันความเป็นสมาชิก

ผลคูณคาร์ทีเซียนที่ได้นี้คำนวณคล้ายวิธีคูณไขว้ของสองเวกเตอร์ (cross product) แต่ผลคูณ
คาร์ทีเซียนจะแตกต่างจากการคูณทางคณิตศาสตร์
การจัดองค์ประกอบแบบฟัซซี สามารถทำได้ในทำนองเดียวกันกับความสัมพันธ์แบบทวิภาค
สมมุติให้ R เป็นความสัมพันธ์แบบฟัซซีบนปริภูมิคาร์ทีเซียน X Y × S เป็นความสัมพันธ์แบบฟัซซีบนปริภูมิคาร์ทีเซียน Y Z × และ T เป็นความสัมพันธ์แบบฟัซซีบนปริภูมิคาร์ทีเซียน X × Z การจัดองค์ประกอบฟัซซีแบบค่าสูงสุดและต่ำสุด (max-min composition) นิยามดังนี้

และการจัดองค์ประกอบฟัซซีแบบค่าสูงสุดและผลคูณ สามารถนิยามเป็น

โปรดสังเกตว่า ทั้งการจัดองค์ประกอบแบบทวิภาคและแบบฟัซซี ไม่สามารถสลับที่ของ R
และ S ได้ นั่นคือ


ทฤษฎีของการหาเหตุผลอย่างประมาณ
ซึ่งทฤษฎีนี้ได้นำเสนอโดย Zadeh เมื่อปี ค.ศ. 1979 โดยทฤษฎีนี้เป็นรูปแบบที่สำคัญสำหรับการให้เหตุผลจากสภาพแวดล้อมที่เกิดจากความคลุมเครือและไม่แน่นอน หัวใจหลักของทฤษฎีนี้ได้แก่ การจัดองค์ประกอบของประโยคจากการใช้เซตแบบฟัซซีเป็นตัวแปร
ตรรกศาสตร์เชิงประพจน์
ในตรรกะเชิงประพจน์ (Propositional logic) (1) ข้อความทั่วไปสามารถสร้างโดยการแสดงเป็นประโยคง่าย ๆ เป็นหน่วยเบื้องต้นเรียกว่า ประพจน์ (proposition) และ (2) การเชื่อมประพจน์กับตัวเชื่อมประโยคที่ซับซ้อน ได้แก่ “ไม่” (not), ∧ “และ” (and), “หรือ” (or), ⇒ “ส่อความ” (imply) ตัวอย่างเช่น ประโยค
If today is a weekday and the current time is rush hour, then the traffic is congested.
ถ้าวันที่เป็นวันทำงานและเวลาปัจจุบันเป็นชั่วโมงเร่งด่วนแล้วทำให้การจราจรติดขัด
สามารถแสดงด้วยการนิยามประพจน์สามประพจน์เป็น
P: today is a weekday (วันนี้เป็นวันทำงาน)
Q: the current time is during rush hour (เวลาปัจจุบันเป็นชั่วโมงเร่งด่วน)
R: the traffic is congested (การจราจรติดขัด)
ทั้งสามประพจน์สามารถเชื่อมกันด้วย “and” (และ) การส่อความ (implication) จะเป็น

P ∧ Q ⇒ R
การส่อความวัตถุ (material implication)
กำหนดให้ p = “x is in A” and q = “y is in B” เป็นประพจน์ทวินัย (crisp propositions) เมื่อ A และ B เป็นเซตทวินัย
การส่อความ p q สามารถตีความเป็น (p∨q)
p ขยายความ q (p entails q) หมายถึง จะไม่มีเหตุการณ์ที่ p เป็นจริง และ q ไม่เป็นจริง
ข้อความแบบตรรกะดั้งเดิมยอมให้มีค่าที่เป็นไปได้สองค่า คือ จริง (true) และ เท็จ (false) เนื่องจากตัวเชื่อมตรรกะถูกใช้งานเป็นสูตรย่อยหรือคู่ของสูตรย่อยซึ่งหมายความว่า ข้อความสามารถให้นิยามโดยการแสดงค่าจริงของสูตรผลลัพธ์ที่ซับซ้อนสำหรับการจัดหมู่ (combination) ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของความจริงที่เป็นสูตรย่อย ตารางความจริง (truth table) ซึ่งเป็นตัวเชื่อมตรรกะดังแสดงในตารางที่ 4-1


ตัวเชื่อมการส่อความนี้สำคัญมาก เนื่องจากเป็นพื้นฐานของกฎการส่อความแบบฟัซซี (fuzzy implication rule) การส่อความมี 2 ส่วน คือ ข้อตั้ง (premise) ซึ่งใช้คำว่า “ถ้า” (if) เป็นส่วนที่นำหน้าคำเชื่อมการส่อความ และข้อยุติ หรือข้อสรุป (conclusion) ซึ่งใช้คำว่า “แล้ว” (then) ตามหลังตัวเชื่อมส่อความ
สิ่งหนึ่งที่สำคัญมากในการสรุปความหรือการอนุมานในตรรกะเชิงประพจน์ นั่นคือ โมดัสโพเนนส์ (modus ponens) กำหนดให้การส่อความและข้อตั้งเป็นจริง โมดัสโพเนนส์สามารถทำให้เรา นิรมัยหรือชักเหตุได้ว่าข้อตามหรือพจน์หลัง (consequent) เป็นจริง

การสรุปความหรือการอนุมานในตรรกะเชิงประพจน์อีกอย่าง ได้แก่ โมดัสโทเลนส์ (modus tolens) จากการส่อความและข้อสรุปเชิงลบ เราสามารถทำการนิรมัยหรือชักเหตุได้ข้อตาม (พจน์หลัง)เป็นเชิงลบได้ดังนี้



แคลคูลัสภาคแสดงอันดับที่หนึ่ง
แคลคูลัสภาคแสดงอันดันที่หนึ่ง (fist-order predicate calculus: FOPC) ทำให้ประโยคเป็นเชิงภาษาทางการมากกว่าตรรกะเชิงประพจน์ โดยยินยอมให้มีการใช้ตัวแปรในข้อความตรรกะ ตัวแปรใน FOPC เป็นสิ่งสัมพันธ์กับตัวแบ่งปริมาณหนึ่งในสองตัว ได้แก่ ตัวแบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว (universal quantifier, ∀) และตัวแบ่งปริมาณสำหรับตัวที่มีอยู่ (existential quantifier, ∃) ตัวแรกใช้สำหรับแสดงข้อความเกี่ยวกับวัตถุที่เป็นจริงทั้งหมด ส่วนตัวหลังใช้แสดงข้อความที่เป็นจริงสำหรับวัตถุอย่างน้อยหนึ่งอย่าง
แตกต่างจากตรรกะเชิงประพจน์ FOPC ใช้ภาคแสดง (predicate) เพื่ออธิบายประโยคง่าย ๆ ภาคแสดงใช้แสดงถึงเซตของวัตถุ (เช่น ภาคแสดง นักศึกษาไอที แสดงถึงเซตของนักศึกษาไอที) หรือความสัมพันธ์ (ภาคแสดง เพื่อน แสดงสัมพันธ์ภาพระหว่างบุคคลสองคน) ภาคแสดงมีจำนวนอาร์กิวเมนต์หลายตัวซึ่งอาจเป็นตัวแปรหรือค่างคงที่ก็ได้ ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของภาคแสดงพร้อมกับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นค่าคงที่
นักศึกษาไอที(สมพงษ์): สมพงษ์เป็นนักศึกษาไอที
ITstudent(Sompong): Sompong is an IT student.

เวลาด่วน(5 โมงเย็น): ห้าโมงเย็นเป็นเวลาด่วน
RushHour(5 pm): Five o’clock in the afternoon is during rush hour.

เพื่อน(ญาดา, กิตติชัย): ญาดาและกิตติชัยเป็นเพื่อนกัน
Friend(Yada, Kittichai): Yada and Kittichai are friends.
เช่นเดียวกับตรรกะเชิงประพจน์ FOPC รวมนิพจน์เชิงตรรกะง่าย ๆ ให้เป็นนิพจน์ที่ซับซ้อนโดยการใช้ตัวเชื่อมตรรกะ ตัวอย่างเช่น ข้อความ “นักศึกษาไอทีทั้งหมดชอบศึกษาวิชาเกี่ยวกับระบบอัจฉริยะ” (All IT students like to study subjects involving intelligent systems) สามารถแสดงในระบบตรรกะแบบตรรกะภาคแสดงอันดับที่หนึ่ง ดังนี้
∀(x,y) ITstudent(x) ∧ IntelligentClass(y) Like(x, y) ⇒
เมื่อ x เป็นนักศึกษาไอที y เป็นวิชาเกี่ยวฐานข้อมูล Like เป็นภาคแสดง
กฎการอนุมานทั้งหมดในตรรกะเชิงประพจน์สามารถขยายเป็น FOPC โดยการหาตัวแทนที่เหมาะสมของตัวแปรโดยการใช้ขั้นตอนวิธีการสร้างเอกภาพ (unification algorithm) เช่น กำหนดให้ความจริงต่อไปนี้
ITstudent(Somsak)
IntelligentClass(Fuzzy)
โมดัสโพเนนส์สามารถประยุกต์ใช้โดยการแทนที่ตัวแปร x และ y ด้วย Somsak และ Fuzzy ตามลำดับ เป็น (Somsak, Fuzzy)

เมื่อ f เป็นตัวแปรที่แทนขึ้นใหม่ ตัวแปรที่เป็นตัวแทนนี้เรียกว่าตัวสร้างเอกภาพ และขั้นตอนวิธีสำหรับการหาตัวแปรเหล่านี้เรียกว่าการสร้างเอกภาพ ข้อจำกัดของตรรกะแบบฉบับ (limitations of classical logic) ก็คือไม่สามารถแสดงและให้เหตุผลเกี่ยวกับองค์ความรู้แบบไม่แน่นอนได้ ตรรกะแบบคลุมเครือมีจุดมุ่งหมายในการสร้างตรรกะแบบฉบับในการแสดงความไม่แน่นอน

ตรรกะแบบคลุมเครือ
ข้อจำกัดของแคลคูลัสเชิงประพจน์แบบฉบับคือเป็นตรรกะ 2 ค่า การประพจน์แบบตรรกฟัซซีจะเกี่ยวกับแนวคิดตรรกะหลายค่าซึ่งมีขอบเขตแบบไม่ชัด (unclear defined boundary) ข้อความเชิงภาษาเป็นตัวแสดงแนวคิดเชิงจิตพิสัยซึ่งสามารถแปลความแบบแตกต่างไปเล็กน้อยจากบุคคลแต่ละคน ซึ่งเกี่ยวกับการประพจน์เชิงคลุมเครือ โดยธรรมชาติของภาษาทั่วไปเป็นแบบคลุมเครือ นั่นคือภาษาจะเกี่ยวข้องกับพจน์ที่ไม่ชัดเจน (vague) และไม่เที่ยงตรง (imprecise) ตัวอย่างเช่น ข้อความที่แสดงเกี่ยวกับความสูงหรือน้ำหนักของบุคคล หรือการแสดงเกี่ยวกับอายุของแต่ละบุคคล เป็นต้น
ข้อความในตรรกะแบบคลุมเครือจะตีความให้เป็นจริงบางส่วนหรือเป็นเท็จบางส่วน ไม่ใช่มีเฉพาะ “จริง” หรือ “เท็จ” อย่างในตรรกะแบบฉบับเท่านั้น ค่าความเป็นจริงเป็นค่าที่อยู่ในระหว่าง “0” ถึง “1”
จุดมุ่งหมายสำคัญของตรรกะแบบฟัซซีคือการที่สามารถให้อนุมานเชิงเหตุผล ถึงแม้ว่าเงื่อนไขของกฎการส่อความจะสอดคล้องกันเพียงบางส่วน ความสามารถนี้เราเรียกว่าการให้เหตุผลอย่างประมาณ (Approximate reasoning) การให้เหตุผลอย่างประมาณสามารถทำได้สองทาง ได้แก่ 1. การแสดงความหมายของกฎการส่อความแบบคลุมเครือด้วยความสัมพันธ์แบบคลุมเครือ (Fuzzy relation) และ 2. การรับข้อสรุปอนุมานด้วยการใช้กฎการจัดองค์ประกอบ (Compositional rule) ของการอนุมานไปยังความสัมพันธ์การส่อความแบบคลุมเครือ (fuzzy implication relation)

การส่อความแบบคลุมเครือ (fuzzy implication)
สมมุติให้ x และ y เป็นตัวแปรจำนวนเต็ม 2 ตัวแปร มีค่าระหว่าง [0, 10] หากเราทราบว่า “x เป็นค่าระหว่าง 1 และ 3” แล้ว “y เป็นได้ทั้ง 7 หรือ 8” องค์ความรู้นี้สามารถแสดงในอย่างน้อยสองรูปแบบ ได้แก่ 1. การส่อความตรรกะ และ 2. การแสดงข้อความเงื่อนไขในภาษาคอมพิวเตอร์เชิงดำเนินการ ทั้งสองวิธีมีความแตกต่างกัน สมมุติว่าเราทราบว่า x มีค่าเท่ากับ 5 การแสดงส่อควารเชิงตรรกะและการแสดงข้อความเงื่อนไขเชิงดำเนินการ จะเป็นดังนี้
กฎการส่อความ (การแสดงเชิงตรรกะ)
กำหนดให้: x ∈ [1, 3] y ∈ [7, 8]
x ∈ 5
ลงความเห็น: y ไม่ทราบค่า (y ∈ [1, 10])



กฎการจัดเทียบ (การแสดงเชิงดำเนินการ)
ข้อความ: ถ้า x ∈ [1, 3] แล้ว y ∈ [7, 8] (If x ∈ [1, 3] THEN y ∈ [7, 8])
ค่าของตัวแปร: x ∈ 5
ผลการปฏิบัติ: ไม่มีปฏิกิริยา
การจัดองค์ประกอบแบบคลุมเครือ (fuzzy logic composition) เป็นข้อความที่เกี่ยวกับแนวคิดขอบเขตเชิงคลุมเครือ โดยใช้ข้อความภาษาเป็นตัวแสดงแนวคิดที่เป็นอัตวิสัยซึ่งสามารถตีความแตกต่างกันไปในแต่ละบุคคล และการส่อความเชิงคลุมเครือสามารถสรุปความได้จากหลากหลายวิธีของการจัดองค์ประกอบแบบคลุมเครือ
ค่าความเป็นจริง (truth value) ที่กำหนดให้ เป็นค่าใด ๆ ก็ได้ในข่วง [0, 1] การกำหนดค่าให้ประพจน์ (proposition) เป็นการจัดเทียบจริงจากค่าในช่วง [0, 1] เป็นค่าในเอกภพสัมพัทธ์ (universe) U ของค่าความเป็นจริง T ดังสมการ

ในทำนองเดียวกันกับตรรกะแบบฉบับ เราสามารถกำหนดประพจน์เชิงตรรกะให้กับเซตในเอกภพของสรรพสาระ (Universe of discourse) ประพจน์แบบคลุมเครือเป็นการกำหนดให้เป็นเซตแบบคลุมเครือ (fuzzy set) สมมุติให้ประพจน์ ถูกกำหนดเป็นเซตแบบคลุมเครือแล้ว ค่าความเป็นจริง หาได้จากสมการ

สมการนี้แสดงให้เห็นว่าดีกรีของความเป็นจริงสำหรับประพจน์ P : x ∈Aเท่ากับระดับค่าความเป็นสมาชิกภาพของ x ในเซตแบบฟัซซี A
ตัวเชื่อมเชิงตรรกะของการปฏิเสธหรือนิเสธ (negation) การเลือก (disjunction) การเชื่อมหรือสันธาน (conjunction) และการส่อความหรือความหมายโดยนัย (implication) จะเป็นนิยามของตรรกะเชิงคลุมเครือ สำหรับประพจน์อย่างง่ายสองประพจน์ ได้แก่ ประพจน์ P นิยามบนเซตแบบคลุมเครือ A และประพจน์ Q นิยามบนเซตแบบคลุมเครือ B ตัวเชื่อมเหล่านี้แสดงได้ดังสมการต่อไปนี้

ตัวเชื่อมการส่อความสามารถจัดรูปแบบในรูปฐานของหลักเกณฑ์หรือฐานของกฎ (rule based form) P → Q: if x is A then y is Bจะมีความหมายเทียบเคียงกับความสัมพันธ์แบบคลุมเครือ

ฟังก์ชันความเป็นสมาชิกของ R แสดงได้ด้วยสมการ




 

Create Date : 01 กันยายน 2549    
Last Update : 1 กันยายน 2549 21:29:42 น.
Counter : 402 Pageviews.  

เซต

FUZZY LOGIC
บทนำ
ฟัซซีลอจิก (fuzzy logic) ศาสตร์ด้านการคำนวณที่เข้ามามีบทบาทมากขึ้นในวงการวิจัยด้านคอมพิวเตอร์ และได้ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในงานต่าง ๆ มากมาย เช่น ด้านการแพทย์ ด้านการทหาร ด้านธุรกิจ ด้านอุตสาหกรรม เป็นต้น มีความจำเป็นอย่างยิ่งที่นักศึกษาด้านวิศวกรรมคอมพิวเตอร์ วิทยาการคอมพิวเตอร์ และเทคโนโลยีสารสนเทศ ควรจะได้ศึกษาเพื่อทำความเข้าใจในศาสตร์ฟัซซีลอจิกและโครงข่ายประสาทเทียมให้ลึกซึ้ง ทั้งนี้เพื่อนำไปประยุกต์ใช้งานด้านต่างๆซึ่งนับวันจะยิ่งมีความต้องการระบบคอมพิวเตอร์ ที่มีความสามารถในการปรับเปลี่ยนระบบได้โดยอัตโนมัติตามสภาพแวดล้อมที่เปลี่ยนไป มีการตัดสินใจแบบชาญฉลาดเยี่ยงมนุษย์ได้มากขึ้น ซึ่งมนุษย์สามารถแก้ปัญหาต่าง ๆ ที่ไม่เคยพบได้โดยอาศัยความรู้เก่าที่ได้เรียนรู้มาประยุกต์ในการแก้ปัญหาได้อย่างมีประสิทธิภาพ
ระบบฟัซซี
เป็นระบบด้านคอมพิวเตอร์ที่ทำงานโดยอาศัยฟัซซีลอจิกที่คิดค้นโดย L. A. Zadeh ในปี ค.ศ. 1965 ซึ่งเป็นผลงานวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอก ฟัซซีลอจิกเป็นตรรกะที่อยู่บนพื้นฐานความเป็นจริงที่ว่า ทุกสิ่งบนโลกแห่งความเป็นจริงไม่ใช่มีเฉพาะสิ่งมีความแน่นอนเท่านั้น แต่มีหลายสิ่งหลายเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นอย่างไม่เที่ยงและไม่แน่นอน (uncertain) อาจเป็นสิ่งที่คลุมเครือ (fuzzy) ไม่ใช่ชัดเจน (exact) ยกตัวอย่างเช่น เซตของอายุคน อาจแบ่งเป็น วัยทารก วัยเด็ก วัยรุ่น วัยกลางคน และวัยชรา จะเห็นได้ว่าในแต่ละช่วงอายุคนไม่สามารถระบุได้แน่ชัดว่าวัยทารกกับวัย เด็กแยกจากกันแน่ชัดช่วงใด วัยทารกอาจถูกตีความว่าเป็นอายุระหว่าง 0 ถึง 1 ปี บางคนอาจตีความว่าวัยทารกอยู่ในช่วงอายุ 0 ถึง 2 ปี ในทำนองเดียวกัน วัยเด็กและวัยรุ่น ก็ไม่สามารถระบุได้ชัดเจนว่าช่วงต่อของอายุควรจะอยู่ในช่วงใด อาจตีความว่าวัยเด็กมีอายุอยู่ในช่วง 1 ถึง 12 ปี หรืออาจเป็น 2 ถึง 10 ปี เป็นต้น สิ่งเหล่าเป็นตัวอย่างของความไม่แน่นอน ซึ่งเป็นลักษณะทางธรรมชาติที่เกิดขึ้นทั่วไป เซตของเหตุการณ์ที่ไม่แน่นอนเช่นนี้เรียกว่าฟัซซีเซต (fuzzy set)
จากแนวความคิดของ Zadeh เกี่ยวกับความไม่แน่นอนได้มีการขยายแนวคิดเพื่อนำไปประยุกต์ใช้ในด้านต่าง ๆ มากมายจนนับไม่ถ้วน ได้มีนักวิจัยได้คิดค้นทฤษฎีเสริมกับแนวคิดเดิมจนทำให้ฟัซซีเซตโดดเด่นในวงการคอมพิวเตอร์ ถึงแม้ว่าฟัซซีเซตจะนำเสนอจากคนอเมริกันแต่ประเทศอเมริกาก็ไม่ได้นำไปประยุกต์ใช้อย่างจริงจังในช่วงต้น ๆ แต่ประเทศญี่ปุ่นเล็งเห็นคุณค่าของศาสตร์ด้านนี้ได้เป็นผู้บุกเบิกฟัซซีเซตทางการค้า โดยได้นำไปประยุกต์ใช้ในเครื่องใช้ไฟฟ้ามากมาย เช่น เครื่องปรับอากาศ เครื่องซักผ้า หม้อหุงข้าว และอื่น ๆ อีกมากมาย ในยุคปัจจุบันประเทศสหรัฐอเมริกาได้ในความสำคัญกับศาสตร์นี้มากขึ้น โดยได้มีการทุ่มงบประมาณให้กับการวิจัยมากขึ้น และฟัซซีลอจิกถูกนำไปประยุกต์ใช้งานต่าง ๆ มากมาย ตัวอย่างเช่น ในโครงการอวกาศ NASA และโครงการด้านการทหาร
โครงข่ายประสาทเทียมแบบฟัซซี
ฟัซซีลอจิกและโครงข่ายประสาทเทียมต่างก็มีข้อดีและข้อเสียที่แตกต่างกัน ฟัซซีลอจิกมีข้อดีในเรื่องการมีเหตุผลเชิงตรรกะ โครงสร้างของระบบฟัซซีสามารถเข้าใจได้เนื่องจากสามารถตีความให้ในรูป If-Then ซึ่งสอดคล้องกับตรรกะความคิดของมนุษย์ และนอกจากนั้นฟัซซีลอจิกยังช่วยในการตัดสินใจที่คลุมเครือที่ยอมให้การตัดสินใจเป็นแบบส่วน ไม่ใช่ผิดหรือถูกเพียงสองสถานะ แต่จะเป็นดีกรีของความถูกหรือผิด ซึ่งเป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในธรรมชาติอยู่แล้ว
สำหรับข้อเสียของระบบฟัซซีก็คือ ไม่มีกระบวนการเรียนรู้ในการปรับแต่งโครงสร้างซึ่งกฎและตัวแปรต่าง ๆ ในตัวระบบเอง โครงสร้างของระบบจะถูกกำหนดโดยผู้เชี่ยวชาญในโดเมนที่กำลังพิจารณาร่วมกับนักเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ เช่น ถ้าหากต้องการสร้างระบบเพื่อการวิเคราะห์โรคมะเร็ง แพทย์ผู้เชี่ยวชาญด้านโรคมะเร็งจะต้องเป็นผู้กำหนดกฎและตัวแปรต่าง ๆ ของระบบ และนอกจากนั้นแพทย์ผู้เชี่ยวชาญต้องตรวจสอบประเมินความถูกต้องของระบบ ซึ่งบ่อยครั้งในการสร้างระบบฟัซซีอาจไม่มีผู้เชี่ยวชาญในโดเมนดังกล่าว การสร้างระบบจึงอาจไม่สัมฤทธิ์ผล การที่ระบบฟัซซีไม่มีกระบวนการเรียนรู้ด้วยตนเองจึงถือเป็นข้อด้อย แต่อย่างไรก็ตามปัจจุบันนักวิจัยได้มีการใส่กระบวนการเรียนรู้เข้าไปในระบบฟัซซีโดยอาศัยทฤษฎีการเรียนรู้ของโครงข่ายประสาทเทียม
โครงข่ายประสาทเทียมมีจุดเด่นด้านการเรียนรู้จากข้อมูล โครงข่ายประสาทเทียมมีการปรับแต่งความรู้ที่ซ่อนอยู่ภายในเครือข่ายที่มีการต่อเชื่อมโยงกันอย่างหนาแน่น มีการส่งผ่านข้อมูลที่จะประมวลผลจากอินพุตไปยังเอาต์พุตแบบขนาน การประมลผลของโครงข่ายประสาทเทียมจึงเป็นไปอย่างรวดเร็ว แต่ถึงอย่างไรก็ตาม โครงข่ายประสาทเทียมก็มีจุดด้อยในด้านการตีความหาเหตุผล โครงข่ายประสาทเทียม ไม่สามารถให้เหตุผลได้ว่าเพราะเหตุใดจึงมีข้อสรุปออกมาดังที่ปรากฏที่เอาต์พุตของโครงข่าย จุดด้อยข้อนี้เป็นที่รู้จักกันดีในนาม “black box” หรือกล่องดำ
จากข้อดีของฟัซซี ในด้านการให้เหตุผลเยี่ยงมนุษย์และข้อดีโครงข่ายประสาทเทียมด้านการเรียนรู้จากข้อมูล เมื่อนำสองศาสตร์นี้มารวมกันจะกลายเป็นโครงข่ายประสาทเทียมแบบฟัซซี ซึ่งเป็นระบบที่กระบวนการเรียนรู้ในตัวเอง และโครงสร้างของระบบสามารถตีความหมายและให้เหตุผลได้ เช่นเดียวกับระบบฟัซซี



แนวคิดพื้นฐานเกี่ยวกับฟัซซีลอจิก
พื้นฐานแนวคิดแบบฟัซซี
ตรรกะแบบฟัซซี(fuzzy logic) เป็นเครื่องมือที่ช่วยในการตัดสินใจภายในใต้ความไม่แน่นอนของข้อมูลโดยยอมให้มีความยืดหยุ่นได้ ใช้หลักเหตุผลที่คล้ายการเลียนแบบวิธีความคิดที่ซับซ้อนของมนุษย์ ฟัซซีลอจิกมีลักษณะที่พิเศษกว่าตรรกะแบบจริงเท็จ (Boolean logic) เป็นแนวคิดที่มีการต่อขยายในส่วนของความจริง(partial true) โดยค่าความจริงจะอยู่ในช่วงระหว่างจริง (completely true) กับเท็จ (completely false) ส่วนตรรกศาสตร์เดิมจะมีค่าเป็นจริงกับเท็จเท่านั้น แสดงดังภาพที่ 2-1


ความเป็นฟัซซี (fuzziness) มีชื่อเรียกว่า มัลติวาลานซ์ (multivalance) ซึ่งมีค่าที่ความเป็นสมาชิกมากกว่า 2 ค่า และแตกต่างกับไบวาลานซ์ (bivalance) ที่มีความเป็นสมาชิกเพียง 2 ค่า ฟัซซีเซต (Fuzzy set) เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่สื่อถึง “ความไม่แน่นอน (uncertainty)” สามารถที่
ไม่ใช่ เพียง 2 กรณี ซึ่งหากกำหนดว่า คนที่อ้วนคือคนที่มีน้ำหนักมากกว่า 75 กิโลกรัม คอมพิวเตอร์จะให้ผลว่าคนที่มีน้ำหนัก 74.50 กิโลกรัม ไม่จัดเป็นคนที่อ้วน จะสร้างและกำหนดรูปแบบ (modeling) ของลักษณะความไม่แน่นอนที่เป็นความคลุมเครือ ความไม่ตายตัว รวมถึงความขาดข้อมูลบางส่วน โดยทฤษฎีของฟัซซีเซตจะใช้ลักษณะความหมายตัวแปร (linguistic) มากกว่าปริมาณ (quantitative) ของตัวแปร เช่น การหาความหมายของ “คนที่อ้วน” เราไม่สามารถนิยามค่าความอ้วนที่ตรงกันและระบุเป็นหนึ่งเดียว (identical) สำหรับคนที่อ้วน นาย ก. จะให้ความหมายของ “คนอ้วน” หมายถึงคนที่มีน้ำหนักมากกว่า 70 กิโลกรัม นาย ข. ให้ความหมายว่าเป็นคนที่มีน้ำหนักมากกว่า 75 กิโลกรัม ซึ่งทั้งสองคนต่างแสดงความหมายของคำว่าคนที่อ้วนโดยเปรียบเทียบและในมุมมองของตัวเองตามน้ำหนักของตน ในการทำงานในมุมมองแบบฐานสอง (Binary sense) จะได้ผลเป็น ใช่ หรือ แต่จะเห็นว่าบุคคลนี้เป็นคนอ้วนน้ำหนักเกือบจะ 75 กิโลกรัม และถึงแม้ว่าบุคคลนี้จะมีน้ำหนัก 75 กิโลกรัม แต่หากพิจารณาจากกลุ่มคนที่มีน้ำหนักเฉลี่ย 90 กิโลกรัม บุคคลนี้ก็จะไม่จัดอยู่ในกลุ่มคนที่อ้วน แสดงให้เห็นว่า ความอ้วนไม่ได้มีลักษณะความไม่แน่นอนแบบสุ่ม จากการศึกษาปัญหาทั่ว ๆ ไปจะแสดงถึงรูปแบบลักษณะการกระจายของปัญหา
ภาพที่ 2-2 เป็นการแสดงให้เห็นว่าแนวทางในการตัดสินใจของปัญหาทั้งหมดมีเพียงส่วนน้อยที่เป็นสิ่งที่แน่นอน (certainty) ที่เหลือคือสิ่งที่ไม่แน่นอนซึ่งประกอบด้วยความไม่แน่นอนที่มีลักษณะแบบสุ่ม และความไม่แน่นอนที่มีลักษณะเป็นฟัซซี หรือคลุมเครือ ซึ่งมีมากกว่าร้อยละ 40 เพราะปัญหาส่วนมากเกี่ยวข้องกับการตัดสินใจของมนุษย์ซึ่งจะตัดสินใจตามพื้นฐานความคิดของตนเป็นหลัก

ฟัซซีจะสร้างวิธีทางคณิตศาสตร์ที่แสดงถึงความคลุมเครือ ความไม่แน่นอนของระบบที่เกี่ยวข้องกับความคิดความรู้สึกของมนุษย์ เมื่อพิจารณาส่วนประกอบต่าง ๆ ในความไม่แน่นอนเพื่อกำหนดเงื่อนไขในการตัดสินใจ (Decision making) โดยอาศัยเซตของความไม่เป็นสมาชิก (Set membership)

เซตแบบฉบับ
ในเซตแบบฉบับ (classical set) หรือเซตทวินัย (crisp set) เป็นเซตที่มีค่าความเป็นสมาชิกเป็น 0 หรือ 1 {0, 1} เท่านั้น เซตในทฤษฎีเซตแบบฉบับจะมีขอบเขตแบบแข็ง (sharp boundary) ซึ่งเป็นขอบเขตที่ตัดขาดจากกันแบบทันทีทันใด เซตแบบฉบับมีการกำหนดค่าความเป็นสมาชิกตามแนวคิดเลขฐานสอง โดยที่ตัวแปรหนึ่ง ๆ จะมีค่าความเป็นสมาชิกเพียงสองค่า คือ 0 ไม่เป็นสมาชิก และ 1 เป็นสมาชิก ตัวอย่างเช่น เซตของคู่แต่งงาน จะสามารถบอกได้ว่าอย่างแน่ชัดว่าเป็นกลุ่มผู้แต่งงานหรือไม่แต่งงาน

ภาพที่ 2-3 แสดงตัวอย่างของเซตย่อยสองเซต คือเซตของผู้ที่แต่งงานและเซตของผู้ที่ไม่แต่งงาน จะเห็นได้ว่าคนหนึ่งคนจะเป็นสมาชิกภาพได้เพียงเซตเดียวเท่านั้น แต่งงานหรือไม่แต่งงาน ในภาพที่ 2-4 แสดงฟังก์ชันความเป็นสมาชิกของเซตผู้ที่ไม่แต่งงาน จากภาพจะเห็นได้ว่า ผู้ที่แต่งงานแล้วจะมีค่าความเป็นสมาชิกในเซตของผู้ไม่แต่งงานเป็น 0 ส่วนผู้ที่ไม่แต่งงานมีค่าความเป็นสมาชิกภาพของเซตผู้ที่ไม่แต่งงานเป็น 1 ค่าความเป็นสมาชิกของทั้งสองเซตจะตัดขาดจากกันอย่างทันทีทันใด รูปแบบคณิตศาสตร์ของเซตแบบฉบับมีรูปดังนี้

เมื่อ A เป็นเซตแบบฉบับหรือเซตแบบทวินัย x เป็นสมาชิกในเซต μA เป็นค่าความเป็นสมาชิกในเซต และ μA(x) เป็นฟังก์ชันความเป็นสมาชิกในเซต A

ฟัซซีเซต
ฟัซซีเซต (Fuzzy Set) เป็นเซตที่มีขอบเขตที่ราบเรียบ ทฤษฎีฟัซซีเซตจะครอบคลุมทฤษฎีเซตแบบฉบับ โดยฟัซซีเซตยอมให้มีค่าความเป็นสมาชิกของเซตระหว่าง 0 และ 1 ในโลกแห่งความเป็นจริงเซตไม่ใช่มีเฉพาะเซตแบบฉบับเท่านั้น จะมีเซตแบบฟัซซีด้วย ฟัซซีเซตจะมีขอบเขตแบบฟัซซีไม่ใช่เปลี่ยนแปลงทันทีทันใดจากขาวเป็นดำ ตัวอย่างเช่น เซตของคู่แต่งงานที่มีความสุข จะเห็นได้ว่าสมาชิกในเซตนี้จะไม่มีเฉพาะคู่แต่งงานที่มีความสุขระดับเดียวกันหมด บางคู่จะมีความสุขมาก บางคู่มีความสุขน้อย แตกต่างกันไป การใช้เซตแบบดั้งเดิมจึงไม่เหมาะสม
ยกตัวอย่างเกี่ยวกับความอ้วน นิยามคำว่าคนอ้วนในเซตทวินัยอาจกำหนดเป็นคนที่มีน้ำหนักตั้งแต่ 70 ถึง 120 กิโลกรัม โดยนิยามแบบฟัซซีเซตอาจกำหนดเป็นคนที่มีความอ้วนประมาณ 80 กิโลกรัม ซึ่งเป็นการให้นิยามที่ไม่แสดงถึงขอบเขตที่แน่นอน

นิยามของฟัซซีเซต กำหนดให้ X เป็นเซตที่ไม่ว่าง ฟัซซีเซต A สามารถแสดงลักษณะเฉพาะได้จากฟังก์ชันความเป็นสมาชิก

เมื่อ μAสามารถตีความเป็นค่าของความเป็นสมาชิกภาพของตัวประกอบ x ในฟัซซีเซต Aสำหรับแต่ละ (อ่านว่า “x เป็นสมาชิกของ X”) ฟัซซีเซต สามารถเขียนเป็นเซตของคู่ลำดับ (tuples)

เมื่อ Aหมายถึงฟัซซีเซต Ax หมายถึงสมาชิกของเซต (set membership) μA(หมายถึง ฟังก์ชันความเป็นสมาชิก (membership function) μ (x) บางครั้งแทนด้วยA(x)X หมายถึงเอกภพ สัมพัทธ์ (universe) หรือประชากร


ถ้า X = {x1,x2,x3,...,xn}เป็นเซตจำกัด และ Aเป็นฟัซซีเซตใน X ซึ่งเป็นชนิดวิยุต (discrete) และจำกัด สัญกรณ์ (notation) ของฟัซซีเซต เขียนได้เป็น



ถ้าเอกภพสัมพัทธ์ X เป็นต่อเนื่อง (continuous) สัญกรณ์ (notation) ของฟัซซีเซต A เขียนได้เป็น
.




ทฤษฎีฟัซซีเซตสามารถแก้ปัญญาข้อจำกัดของเซตแบบดั้งเดิมได้ โดยฟัซซีเซตยอมให้มีค่าหรือดีกรีของความเป็นสมาชิก (degree of membership) ซึ่งแสดงด้วยค่าตัวเลขระหว่าง 0 และ 1 หรือเขียนเป็นสัญลักษณ์ [0, 1], โดย 0 หมายถึง ไม่เป็นสมาชิกในเซต 1 หมายถึง เป็นสมาชิกในเซต และค่าระหว่าง 0 กับ 1 เป็นสมาชิกบางส่วนในเซต การทำเช่นนี้ ทำให้เกิดความราบเรียบในการเปลี่ยนจากพื้นที่นอกเซตไปอยู่ในเซตของสมาชิกต่าง ๆ โดยมีฟังก์ชันสมาชิก (membership function) เป็นฟังก์ชันจัดเทียบ (mapping function) วัตถุในโดเมนใด ๆ ให้เป็นค่าความเป็นสมาชิกในฟัซซีเซต
ความเป็นสมาชิกสำหรับฟัซซีเซต มีจำนวนระดับความเป็นสมาชิกเป็นอนันต์ คือค่าต่อเนื่องในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1 ซึ่งครอบคลุมการกำหนดสมาชิกแบบฉบับ และเซตแบบฉบับหรือเซตทวินัย (crisp set) จะกำหนดตามดังสมการที่ (2-6)




 

Create Date : 01 กันยายน 2549    
Last Update : 1 กันยายน 2549 21:28:37 น.
Counter : 249 Pageviews.  

2

ทฤษฎีกราฟ




บทนิยามของกราฟ
กราฟ เป็นเรื่องที่สำคัญเรื่องหนึ่งในสาขาวิชาวิยุตคณิต (Discrete mathematics) กราฟในที่นี้จะกล่าวถึงความสัมพันธ์ของจุด และเส้นที่เชื่อมระหว่างจุด เช่น แผนที่ถนนเชื่อมระหว่างเมืองต่าง ๆ แผนที่แสดงเส้นทางการบิน และจากตัวอย่างการแก้ปัญหาโดยใช้จุดและเส้นเป็นแบบจำลองที่กล่าวมาข้างต้น เป็นต้น ซึ่งจะให้ความหมายดังนิยามต่อไปนี้


บทนิยาม 1 กราฟจำกัด G คือคู่อันดับ (V(G)) ประกอบไปด้วยเซตจำกัด 2 เซต
1. V(G) เป็นเซตของจุดที่ไม่เป็นเซตว่าง ถ้าu เป็นสมาชิกใน V(G) เรียก u ว่าจุด (vertex)
2. E(G) เป็นเซตของเส้น ซึ่งเส้นแต่ละเส้น คือ คู่ที่ไม่เป็นอันดับ (unordered pair) ของจุด ที่เขียนอยู่ในรูป uv เรียก uv ว่า เส้น (edge)

บทนิยาม 2
1. เส้นที่มีจุดปลายทั้งสองเป็นจุดเดียวกัน เราเรียกว่า วงวน (loop)
2. เส้นตั้งแต่สองเส้นขึ้นไปที่เชื่อมจุดคู่เดียวกัน เราเรียกว่า เส้นหลายชั้น (multiple edges)
3. กราฟที่ไม่มีเส้นหลายชั้นและไม่มีวงวน เราเรียกว่า กราฟเชิงเดียว (Simple graph)

บทนิยาม 3 กำหนดกราฟ G = (V(G), D(G)) และ v Î V(G) ระดับขั้น (degree) ของ v คือจำนวนเส้นใน E(G) ที่ตกกระทบกับจุด v เราเขียน deg(v) แทนระดับขั้นของ v
(จำนวนเส้น ใน E(G) ที่ตกกระทบกับจุด v คือ จำนวนเส้นใน E(G) ที่ออกจาก จุด v นั่นเอง)
ถ้า deg(v) เป็นจำนวนคู่ เราเรียก v ว่าจุดคู่ (even vertex)
ถ้า deg(v) เป็นจำนวนคี่ เราเรียก v ว่าจุดคี่ (odd vertex)

ทฤษฎีบท 1 ให้ G = (V(G), E(G)) แทนกราฟ โดย | V(G)| = p และ | E(G) | = q
ซึ่ง V(G) = {v1, v2, ..., vp } และ E(G) = { e1, e2, ...., eq } จะได้ว่า
P
å deg (v i ) = 2| E(G) |
i=1
บทแทรก 1 กราฟทุกกราฟจะมีจุดคี่เป็นจำนวนคู่

บทนิยาม 4 ให้ H = (V(H)), E(H)) และ G = (V(G)), E(G)) เป็นกราฟใด ๆ
1. ถ้า V(H) Ì V(G) และ E(H) Ì E(G)
เรากล่าวว่า H เป็นสับกราฟ (subgraph) ของ G
2. ถ้า H เป็นสับกราฟของ G และ V(H) = V(G)
เรากล่าวว่า H เป็นสับกราฟแผ่ทั่วถึง (spanning subgraph) ของ G
3. ถ้า V(H) = V(G) และ E(H) = E(G)
เรากล่าวว่า กราฟ H และกราฟ G เป็นกราฟเหมือนกัน (identical) เขียนแทน H = G

บทนิยาม 5 ให้ G = (V(G), E(G)) เป็นกราฟใด ๆ (หน้า 19)
1. ถ้า U เป็นเซตของจุดที่ไม่เป็นเซตว่าง และเป็นสับเซตแท้ของ V(G) แล้ว G – U เป็นสับกราฟของ G ที่ได้จากการกำจัดจุดใน U และเส้นทุกเส้นที่ตกกระทบกับจุดแต่ละจุดใน U
2. ถ้า F เป็นเซตของเส้นที่ไม่เป็นเซตว่าง และเป็นสับเซตของ E(G) แล้ว G – F คือสับกราฟของ G ที่ได้จากการกำจัดเส้นใน F โดยที่ไม่มีผลต่อจุด

บทนิยาม 6 แนวเดิน (Walk) W ในกราฟ G คือ ลำดับสลับของจุดและเส้นของกราฟ G ดังนี้
W : v0 , e1 , v1 , e2 , v2 , ....., vn-1 , en , vn
ซึ่งเส้น ei มีจุดปลาย คือ vi-1 และ vi สำหรับ 1 £ i £ n

บทนิยาม 7 ให้ v เป็นจุดใด ๆ ในกราฟ G และ W เป็นแนวเดินใน G โดยที่
W : v (ซึ่งมีความยาว = 0)
เราเรียกแนวเดิน W ที่ไม่มีเส้น (n = 0) ว่าแนวเดินชัด (trival walk)

บทนิยาม 8 ให้ u และ v เป็นจุดใด ๆ ในกราฟ G
เรากล่าวว่าแนวเดิน u – v เป็น แนวเดินปิด (closed walk) เมื่อ u = v
และ แนวเดิน u – v เป็นแนวเดินเปิด (open walk) เมื่อ u ¹ v

บทนิยาม 9
1. ถ้าเส้นในแนวเดิน u – v ไม่ซ้ำกัน เรากล่าวว่าแนวเดิน u – v เป็นรอยเดิน (trail)
2. ถ้าจุดในแนวเดิน u – v ไม่ซ้ำกัน เรากล่าวว่าแนวเดิน u – v เป็นวิถี (path)

ทฤษฎีบท 2 ให้ u และ v เป็นจุดในกราฟ G ทุก ๆ แนวเดิน u – v จะมีวิถี u – v

บทนิยาม 10
1. เราเรียกรอยเดินปิดที่ไม่ใช่แนวเดินชัดว่า วง (circuit)
2. เราเรียก วงที่มีจุดเริ่มต้น และจุดภายในไม่ซ้ำกันว่า วัฏจักร (cycle)




บทนิยาม 11 เมทริกซ์ประชิด (adjacency matrix)
ให้ V(G) = { v1 , v2 , ...., vn} เป็นเซตของจุดในกราฟ เมื่อ n = | V(G)| เมทริกซ์ประชิดของ G เขียนแทนด้วย A(G) จะเป็นเมทริกซ์มีมิติ n x n และ A(G) = [aij ] โดยที่ aij เป็นจำนวนของเส้นที่เชื่อมจุด vi และ vj
(หน้า 20)
ทฤษฎีบท 3 ให้ V(G) = { v1 , v2 , ... , vn} เป็นเซตของจุดในกราฟ G และ A = A(G) เป็นเมทริกซ์ประชิดของ G แล้วสมาชิก aij ของ Ak , k ³ 1 จะเป็นจำนวนของแนวเดิน vi – vj ที่มีความยาว k ที่แตกต่างกันใน G

บทนิยาม 12 เมทริกซ์ตกกระทบ (incidence matrix)
ให้ V(G) = { v1 , v2 , ... , vn} และ E(G) = { e1 , e2 , ... , em} เป็นเซตของจุดและเซตของเส้นในกราฟ G เมื่อ n = V(G)| และ m = | E(G)|
เมทริกซ์ตกกระทบ (incidence matrix) ของกราฟ G เขียนแทนด้วย I(G) จะเป็นเมทริกซ์มีมิติ n x m และ I(G) = [ xij ] โดยที่ xij เป็นจำนวนครั้งที่จุด vi ตกกระทบกับเส้น ej ซึ่ง xij มีค่าดังนี้
0 ถ้า vi ไม่เป็นจุดปลายของเส้น ej
xij = 1 ถ้า vi เป็นจุดปลายของเส้น ei ที่ไม่เป็นวงวน
2 ถ้า vi เป็นจุดปลายของเส้น ei ที่เป็นวงวน


บทนิยาม 13 ให้ u และ v เป็นจุดใด ๆ ในกราฟ G เรากล่าวว่า u และ v เชื่อมโยงกันได้ (connect) เมื่อมีวิถี u – v
13.1 ถ้ามีวิถีระหว่างจุดสองจุดใดๆ แล้วกราฟ G เป็นกราฟเชื่อมโยง (connected graph)
13.2 ถ้าไม่มีวิถีระหว่างจุดสองจุดใดๆ แล้วกราฟ G เป็นกราฟไม่เชื่อมโยง (disconnected graph)

บทนิยาม 14 ให้กราฟ G เป็นกราฟเชื่อมโยง และ v เป็นจุดในกราฟ G เรียก จุด v ว่า จุดตัด (cut vertex) ถ้ากราฟ G – v กลายเป็นกราฟไม่เชื่อมโยง

บทนิยาม 15 ให้กราฟ G เป็นกราฟเชื่อมโยง และ e เป็นเส้นในกราฟ G เรียก เส้น e ว่า เส้นตัด (cut edge) ถ้ากราฟ G – e กลายเป็นกราฟไม่เชื่อมโยง

บทนิยาม 16 เรากล่าวว่ากราฟ G เป็น กราฟที่มีน้ำหนัก เมื่อเส้นแต่ละเส้น e ใน G ถูกกำหนดด้วยจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ และเราเรียกจำนวนจริงดังกล่าวนี้ว่า น้ำหนักของเส้น e เขียนแทนด้วย w(e)

บทนิยาม 17 ความยาวของวิถีในกราฟที่มีน้ำหนัก G คือ ผลรวมของน้ำหนักของเส้นในวิถีนั้น

บทนิยาม 18 ให้ G เป็นกราฟเชื่อมโยงที่มีน้ำหนัก u และ v เป็นจุดยอดใน G ระยะทาง d(u, v) คือ ค่าความยาวของวิถี u – v ที่น้อยที่สุด

ทฤษฎีบท 1 (หน้า 21)
1.1 ถ้ากราฟ G มีวงวน แล้วกราฟ G ไม่เป็นต้นไม้
1.2 ถ้ากราฟ G เป็นต้นไม้ แล้วจุด 2 จุดใด ๆ ใน G เชื่อมโยงกันได้ด้วย วิถีเพียงวิถีเดียว
1.3 ถ้ากราฟ G เป็นต้นไม้ ที่มีจุด n จุด แล้ว กราฟ G จะมีจำนวนเส้น n – 1 เส้น
1.4 ถ้ากราฟ G เป็นต้นไม้ ที่มีจุด n > 1 กราฟ G จะมีจุดที่มีดีกรี 1 อย่างน้อย 2 จุด

บทนิยาม 1 ให้ G เป็นกราฟเชื่อมโยง
เรากล่าวว่า G เป็นกราฟออยเลอร์ (Eulerian graph) เมื่อ G มีรอยเดินปิดซึ่งผ่านเส้นทุกเส้นใน G และเรียกรอยเดินปิดดังกล่าวนี้ว่า รอยเดินออยเลอร์หรือ วงออยเลอร์ (Eulerian circuit)


ทฤษฎีบท 1 ให้ G เป็นกราฟเชื่อมโยง และ | E(G) | ³ 1
จะได้ว่า G เป็นกราฟออยเลอร์ ก็ต่อเมื่อ จุดทุกจุดใน G เป็นจุดคู่

บทนิยาม 2 ให้ G เป็นกราฟเชื่อมโยง เราเรียกรอยเดินเปิดใน G ว่า รอยเดินเปิดออยเลอร์ (Eulerian trail) เมื่อรอยเดินดังกล่าวนี้ผ่านเส้นทุกเส้นใน G

ทฤษฎีบท 2 ให้ G เป็นกราฟเชื่อมโยง G มีรอยเดินเปิดออยเลอร์ ก็ต่อเมื่อ G มีจุดที่เป็นจุดคี่ไม่เกิน 2 จุด ยิ่งไปกว่านั้นจุดคี่เหล่านี้จะเป็นจุดเริ่มต้นและจุดปลายของรอยเดินเปิดออยเลอร์




 

Create Date : 01 กันยายน 2549    
Last Update : 1 กันยายน 2549 21:21:49 น.
Counter : 252 Pageviews.  

1  2  

killhack
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed

ผู้ติดตามบล็อก : 1 คน [?]




Friends' blogs
[Add killhack's blog to your web]
Links
 

 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.