creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 
Sometimes when you lose, you win

คำพูดของแอนนี่ (Annabella Sciorra) ที่บอกกับคริส (Robin Williams) หลังจากคริสตื่นขึ้นมาแล้วพบว่าตัวเองกลับมาอยู่บนสวรรค์แทนที่จะสูญเสียตัวตนติดอยู่ในนรกหลังจากพยายามช่วยฟื้นคืนความทรงจำให้กับแอนนี่ เป็นหนังที่ผมชอบมากเรื่องหนึ่งครับ What Dreams May Come จากนิยายของ Richard Matheson (อีกหลายเรื่องที่ทำเป็นหนัง อย่าง I Am Legend, A Stir of Echoes ฯลฯ)


คำพูดนี้ทำให้นึกถึง paradox ข้อหนึ่ง (ซึ่งอันที่จริงมันไม่ใช่พาราด็อกซ์) ในทางฟิสิกส์ คณิตศาสตร์ ที่ว่าด้วย lose และ win เป็นไปได้หรือไม่ เมื่อเราเล่น losing game แล้วเรา win!


พิจารณาเกม A ถ้า e = 0 เห็นชัดว่าเป็นเกมยุติธรรมใช่มั้ยครับ ถ้าชนะคุณได้ 1 บาท แพ้เสีย 1 บาท แต่พอ e > 0 แม้ค่าน้อย ๆ ก็เป็นเกมที่ไม่ยุติธรรมแล้วล่ะ โอกาสแพ้ของคุณมากกว่าโอกาสชนะ เป็น losing game ดูเกม B บ้าง ซับซ้อนกว่านิดหน่อย คือ มีเหรียญ 2 เหรียญ เรียกว่า เหรียญนำโชค กับ เหรียญซวย ละกัน เหรียญนำโชคให้โอกาสชนะ 3/4 - e โอกาสแพ้ 1/4 + e ที่ e ค่าน้อย ๆ ก็ตามชื่อของมันแหละครับ "นำโชค" ถ้าคุณได้ทอยเหรียญนี้ คุณก็มีโอกาสชนะสูงกว่าโอกาสแพ้ ส่วนเหรียญซวยนั้นค่อนข้างซวยจริง ๆ เพราะให้โอกาสแพ้ถึง 9/10 + e คราวนี้เราจะได้โยนเหรียญไหนขึ้นอยู่กับทุนที่เรามีอยู่ตอนนี้ว่าหาร 3 ลงตัวหรือไม่ ถ้าหาร 3 ลงตัว ใช้เหรียญซวย แต่ถ้าหาร 3 ไม่ลงตัวใช้เหรียญนำโชค เกม B อาจจะมองยากกว่าเกม A ว่ามันเป็น losing game ที่ e > 0 และที่ e = 0 เกม B ของเราก็เป็น fair game ตรงนี้เราจะพิจารณาง่าย ๆ ที่ e = 0 เราสร้าง state ของเกม B ได้ 3 states คือ state ของผลลัพธ์จากการ mod เงินทุนด้วย 3 (ดูรูปประกอบ) ถ้า state วิ่งทวนเข็ม แปลว่า "เราชนะ" ถูกมั้ยครับ เราได้เงินเพิ่ม 1 บาท แต่ถ้า state วิ่งตามเข็ม แปลว่า "เราแพ้" เสีย 1 บาท ตัวเลขกำกับทิศทางคือโอกาสที่จะเปลี่ยน state


ถึงตรงนี้ต้องระวังนิดนึงครับ เราจะคำนวณโอกาสชนะของเกม B ที่ e = 0 โดยบอกว่าเท่ากับ (3/4)(2/3) + (1/10)(1/3) = 8/15 (กลายเป็น winning game ไป) เนื่องจากเห็นว่าโดยเฉลี่ยแล้วเราใช้เหรียญซวย 1 ใน 3 ครั้ง และเหรียญนำโชค 2 ใน 3 ครั้งไม่ได้ เพราะจริง ๆ มันไม่ใช่ครับ สังเกตดี ๆ โดยไม่ต้องอาศัยความรู้อะไรมากนักเราจะเห็นว่าเกมนี้มีการแกว่งสลับระหว่าง state "0" กับ "2" บ่อย และเมื่อคำนวณว่า state ไหนมีสัดส่วนการแวะเยี่ยมเยียนเท่าไร เราพบว่าเหรียญซวยมีการใช้ 5/13 และเหรียญนำโชคมีการใช้ 8/13 ดังนั้นโอกาสชนะของเกม B ที่ e = 0 เท่ากับ (3/4)(8/13) + (1/10)(5/13) = 0.5 นั่นคือที่ e = 0 เกม B ของเราเป็น fair game จึงเห็นชัดว่าที่ e > 0 เกม B ก็เป็น losing game เช่นเดียวกับเกม A

เรามีเกมที่เป็น losing game สองเกม การเล่นเกมใดเกมหนึ่งในสองเกมนี้จะให้ค่าคาดหมายของกำไรที่ได้ติดลบ แต่จากการจำลองการเล่น 2 เกมนี้สลับกันแบบเป็นคาบหรือสุ่ม ผลที่ได้กลับเพิ่มกำไร ดังกราฟ (ตัวเลข [x,y] หมายถึงเล่นเกม A จำนวน x ครั้งต่อด้วย B จำนวน y ครั้งแล้วสลับกันไปเรื่อย ๆ) ที่ e = 0.005


เกิดอะไรขึ้น? มีคำอธิบายง่าย ๆ ครับ เกม A เข้าไปแทรกแซงเกม B ทำให้ความถี่ในการเยี่ยม state ของเกม B เปลี่ยน เราเห็นอยู่แล้วว่าเกม B นั้นเอื้อต่อการเป็น winning game เพราะ 2 ใน 3 states ของมันใช้เหรียญนำโชค แต่ที่มันเป็น losing game เพราะเกม B ถูกออกแบบให้มีการแวะ state ของเหรียญนำโชคไม่ถี่พอที่จะสู้กับความซวย (ซึ่งมีอยู่มาก) ของเหรียญซวย สมมติว่าเราสุ่มเล่นเกม A กับ B ด้วยโอกาส 0.5 (คิดที่ e = 0 ก่อนก็ได้ครับ ง่ายดี) จาก state "0" ไปยัง "1" และ "2" จะไม่ใช่ด้วยโอกาส 1/10 และ 9/10 ตามลำดับอีกต่อไป แต่เป็น 6/20 และ 14/20 (เนื่องจากมันมีโอกาส 1/2 เท่ากันที่จะไปทั้ง "1" และ "2" ถ้าเราได้เล่นเกม A) (ตรงนี้คิดเหมือนเดิมนั่นแหละครับ ถ้าคุณอยากคำนวณตามก็แค่ปรับตัวเลข 1/4 3/4 1/10 9/10 เป็น 3/8 5/8 6/20 และ 14/20 ตามลำดับ) เมื่อคำนวณโอกาสชนะ เราได้ (464/709)(5/8) + (245/709)(6/20) = 0.5127 ว้าว! เห็นอะไรมั้ยครับ เราสามารถปรับค่า e ที่ไม่มากเกินไปที่ยังทำให้ทั้งเกม A และ B เป็น losing ขณะการผสมกันของ A และ B เป็น winning แบบนี้ไม่ผิดจากคำ Sometimes when you lose, you win. กระมัง

ตัวอย่างเกมนี้มีชื่อเรียกว่าพาราด็อกซ์ของ Parrondo


Create Date : 15 ตุลาคม 2553
Last Update : 15 ตุลาคม 2553 17:58:20 น. 0 comments
Counter : 1915 Pageviews.

ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
  *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.