creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 
วิธีที่อาร์คิมิดีสใช้คำนวณพื้นที่ของวงกลม

วิธีที่อาร์คิมิดิสใช้ในการหาพื้นที่ของวงกลมถูกเขียนในความเรียงชื่อ Measurement of a Circle ราว 225 ปีก่อนคริสตกาล อาศัยพื้นฐานความรู้ก่อนหน้าจากยุคลิด 2-3 ข้อร่วมกับการให้เหตุผลที่เดี๋ยวคุณจะเห็นว่ายอดเยี่ยมจริง ๆ ครับ สิ่งที่นักคณิตศาสตร์กรีกรู้กันอยู่ก่อนแล้วเกี่ยวกับวงกลมคือสัดส่วนระหว่างเส้นรอบวง (C) ต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง (D) ของวงกลมเป็นค่าคงที่ (นั่นคือค่า π ไงครับ แต่สมัยนั้นยังไม่มีใครเรียกว่าพาย) อันนี้เป็นความสัมพันธ์ของปริมาณ 1 มิติ (เส้นต่อเส้น) ใน Elements ของยุคลิด Proposition XII.2 ยังพูดถึงความสัมพันธ์ของปริมาณ 2 มิติ (พื้นที่ต่อพื้นที่) ยุคลิดบอกว่าอัตราส่วนของพื้นที่วงกลมวงหนึ่งต่อวงกลมอีกวงหนึ่งเท่ากับอัตราส่วนของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมวงนั้นต่อพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของอีกวงหนึ่ง

พูดใหม่นะครับ ถ้าวงกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง D มีพื้นที่ A ยุคลิดบอกว่า A/D2 เป็นค่าคงที่ (แหงล่ะ 0.25π เด็ก ม.ต้น สมัยนี้รู้ทุกคน) การพิสูจน์พื้นที่วงกลมของยุคลิดใช้ตรรกะที่เราเรียกว่า double reductio ad absurdum ถ้ามีความเป็นไปได้ 3 ทาง ในเมื่อไม่ใช่ทางที่ 1 และไม่ใช่ทางที่ 2 ฉะนั้นย่อมต้องเป็นทางที่ 3

พื้นฐานที่สำคัญอีกประการคือ พื้นที่รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า เท่ากับ hQ/2 เมื่อ h คือระยะห่างที่ลากจากจุดกึ่งกลางรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าไปตั้งฉากกับด้านของมัน และ Q คือ ความยาวรอบรูป พิสูจน์ไม่ยากครับ สมมติว่าเรามีรูป n เหลี่ยมด้านเท่าที่ยาวด้านละ b ดังรูป


พื้นที่รูป n เหลี่ยมด้านเท่า เท่ากับ ผลรวมพื้นที่สามเหลี่ยม (สีฟ้า) n รูป เท่ากับ nhb/2 และ nb = Q ดังนั้นพื้นที่รูป n เหลี่ยมด้านเท่าเท่ากับ hQ/2

คราวนี้สมมติว่าเรามีวงกลมหนึ่งวง แล้วยัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ใหญ่ที่สุดลงไปในวงกลม ใครก็รู้ว่าพื้นที่สี่เหลี่ยมเล็กกว่าพื้นที่วงกลม ถ้าเปลี่ยนสี่เหลี่ยมเป็นแปดเหลี่ยมด้านเท่า พื้นที่ของแปดเหลี่ยมก็จะเข้าใกล้พื้นที่วงกลมมากขึ้น ถ้าเปลี่ยนเป็นสิบหกเหลี่ยมด้านเท่า พื้นที่ของสิบหกเหลี่ยมที่อยู่ในวงกลมก็จะใกล้พื้นที่วงกลมยิ่งขึ้นไปอีก ประเด็นสำคัญอยู่ตรงนี้ครับ เราสามารถทำให้ส่วนต่างของพื้นที่วงกลมกับพื้นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าน้อยกว่าค่าอะไรก็ได้ที่เราต้องการด้วยการเพิ่มจำนวนด้านขึ้นเรื่อย ๆ

เอาล่ะ อาร์คิมิดีสพร้อมสำหรับคำนวณพื้นที่วงกลมแล้วครับ proposition แรกใน Measurement of a Circle อาร์คิมิดีสอ้างว่า "พื้นที่ของวงกลมเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งยาวเท่ากับรัศมีของวงกลมและด้านประกอบมุมฉากอีกด้านยาวเท่ากับเส้นรอบวง"


พูดว่า อาร์คิมิดีสอ้าง A = T ตรงนี้น่าทึ่งมาก อาร์คิมิดีสมีปริมาณคือ พื้นที่สองตัว A กับ T และมีความเป็นไปได้ 3 ทาง ก. A > T ข. A < T และ ค. A = T หลักการ double reductio ad absurdum บอกว่าถ้าเราตัดตัวเลือก (โดยการพิสูจน์ให้เห็นว่ามันผิด) ทิ้งได้ 2 ตัวเลือก เท่ากับเราได้พิสูจน์ว่าตัวเลือกที่เหลือคือตัวเลือกที่ถูกต้อง

สมมติว่า A > T

A - T เป็นค่าบวกค่าหนึ่ง และอาร์คิมิดีสรู้ว่าเขาสามารถสร้างรูป n เหลี่ยมด้านเท่า (สมมติว่ามีพื้นที่ B) ยัดใส่วงกลมพื้นที่ A ที่ A - B < A - T ได้ ฉะนั้น T < B และ B = hQ/2 ซึ่งแน่นอนว่า Q < C และ h < r ดังนั้นที่กล่าวว่า T < B หรือ rC/2 < hQ/2 จึงไม่อาจเป็นจริง



สมมติว่า A < T

T - A เป็นค่าบวกค่าหนึ่ง คราวนี้อาร์คิมิดีสจับวงกลมพื้นที่ A นี้ยัดใส่ให้สัมผัสในรูป n เหลี่ยมด้านเท่าบ้าง (สมมติว่ามีพื้นที่ B) และอาร์คิมิดีสสามารถเพิ่มเหลี่ยมเพื่อทำให้ B - A < T - A ได้ หรือ B < T เช่นเคยครับ B = hQ/2 ที่ h = r (เพราะวงกลมสัมผัสกับด้านของรูปเหลี่ยมด้านเท่า) และ Q > C ดังนั้น B = hQ/2 ไม่อาจน้อยกว่า T = rC/2



นั่นหมายความว่าพื้นที่ของวงกลมไม่ใหญ่กว่าและเล็กกว่าพื้นที่สามเหลี่ยม หรือ A = T = rC/2 และ C = πD = 2πr ดังนั้น A = r(2πr)/2 = πr2


Create Date : 07 พฤษภาคม 2553
Last Update : 7 พฤษภาคม 2553 23:08:21 น. 0 comments
Counter : 2832 Pageviews.

ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
  *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.