จงพิสูจน์ว่า x = 6°

(1) ∵ ∠BAC = ∠ABC   ⇔   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   ⇔   BC = AC   ⇔   BC = BP

(2) ต่อ AC ออกไปยังจุด Q โดยที่ AQ = AB

จะเห็นว่า ∆APQ ≅ ∆ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AP = AP, ∠PAQ = ∠BAP, AQ = AB)   ⇒   PQ = BP

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠AQP = ∠ABP   ⇔   ∠AQP = 2x

(3) พิจารณา ☐ABPQ จะได้ว่า ∠BPQ (มุมใหญ่) = 360° - 10x   ⇔   ∠BPQ (มุมเล็ก) = 10x 

สังเกตว่า BC = BP และ ∠CBP = 2(∠CQP)   ⇒   จุด B เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆CPQ แนบใน   ⇒   BP = BQ

∴ BP = BQ = PQ   ⇔   ∆BPQ เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   ∠BPQ = 60°   ⇔   10x = 60°   ⇔   x = 6°   Q.E.D.

พิสูจน์ 2 (โดยคุณ Angel Lazo HK)

(1) ∵ ∠BAC = ∠ABC   ⇔   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   ⇔   BC = AC   ⇔   BC = BP   ⇔   ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 4x) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BCP (= ∠BPC) = 90° - 2x

(2) กำหนดจุด Q บน AB ที่ทำให้ PQ ⊥ AB และกำหนดจุด R บน AC ที่ทำให้ PR ⊥ AC

จะเห็นว่า ∆APR ≅ ∆APQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ด (∠ARP = ∠AQP, ∠PAR = ∠PAQ, AP = AP)   ⇒   PR = PQ

(3) กำหนดจุด S บน CP ที่ทำให้ BS ⊥ CP   ⇒   BS เป็นส่วนสูงของ ∆BCP   ⇒   CS = PS และ ∠PBS (= ∠CBS) = (∠CBP)/2 = 2x

จะเห็นว่า ∆BPS ≅ ∆BPQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ด (∠BSP = ∠BQP, ∠PBS = ∠PBQ, BP = BP)   ⇒   PS = PQ   ⇔   CS = PQ

(4) สังเกตว่า ∆CPR เป็น ∆มุมฉาก ที่มี ∠R เป็นมุมฉาก และ CP = 2‧PR   ⇒   ∠PCR = 30°

พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°   ⇔   6x + 6x + (120° - 2x) = 180°   ⇔   x = 6°   Q.E.D.