======================================
❁ ท ร ง พ ร ะ เ จ ริ ญ ❁
======================================
โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 6°
พิสูจน์ 1
(1) ∵ ∠BAC = ∠ABC ⇔ ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด ⇔ BC = AC ⇔ BC = BP
(2) ต่อ AC ออกไปยังจุด Q โดยที่ AQ = AB
จะเห็นว่า ∆APQ ≅ ∆ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AP = AP, ∠PAQ = ∠BAP, AQ = AB) ⇒ PQ = BP
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠AQP = ∠ABP ⇔ ∠AQP = 2x
(3) พิจารณา ☐ABPQ จะได้ว่า ∠BPQ (มุมใหญ่) = 360° - 10x ⇔ ∠BPQ (มุมเล็ก) = 10x
สังเกตว่า BC = BP และ ∠CBP = 2(∠CQP) ⇒ จุด B เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆CPQ แนบใน ⇒ BP = BQ
∴ BP = BQ = PQ ⇔ ∆BPQ เป็น ∆ด้านเท่า ⇒ ∠BPQ = 60° ⇔ 10x = 60° ⇔ x = 6° Q.E.D.
พิสูจน์ 2 (โดยคุณ Angel Lazo HK)
(1) ∵ ∠BAC = ∠ABC ⇔ ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด ⇔ BC = AC ⇔ BC = BP ⇔ ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 4x) เป็นมุมยอด ⇔ ∠BCP (= ∠BPC) = 90° - 2x
(2) กำหนดจุด Q บน AB ที่ทำให้ PQ ⊥ AB และกำหนดจุด R บน AC ที่ทำให้ PR ⊥ AC
จะเห็นว่า ∆APR ≅ ∆APQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ด (∠ARP = ∠AQP, ∠PAR = ∠PAQ, AP = AP) ⇒ PR = PQ
(3) กำหนดจุด S บน CP ที่ทำให้ BS ⊥ CP ⇒ BS เป็นส่วนสูงของ ∆BCP ⇒ CS = PS และ ∠PBS (= ∠CBS) = (∠CBP)/2 = 2x
จะเห็นว่า ∆BPS ≅ ∆BPQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ด (∠BSP = ∠BQP, ∠PBS = ∠PBQ, BP = BP) ⇒ PS = PQ ⇔ CS = PQ
(4) สังเกตว่า ∆CPR เป็น ∆มุมฉาก ที่มี ∠R เป็นมุมฉาก และ CP = 2‧PR ⇒ ∠PCR = 30°
พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180° ⇔ 6x + 6x + (120° - 2x) = 180° ⇔ x = 6° Q.E.D.