จงพิสูจน์ว่า x = 30°

ให้ AP = L

(1) ต่อ AB ออกไปยังจุด Q โดยที่ PQ = L   ⇒   ∠CBQ = 140°

∵ AP = PQ   ⇔   ∆APQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   ∠AQP = ∠PAQ   ⇔   ∠AQP = 10°

(2) ต่อ AC ออกไปยังจุด R โดยที่ PR = L   ⇒   ∠BCR = 70°

∵ AP = PR   ⇔   ∆APR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ARP = ∠PAR   ⇔   ∠ARP = 20°

พิจารณา ∆CPR จะได้ว่า ∠CPR = 80°   ⇔   ∠CPR = ∠PCR   ⇔   ∆CPR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด   ⇔   CR = PR   ⇔   CR = L

(3) พิจารณา ☐AQPR จะได้ว่า ∠QPR (มุมใหญ่) = 360° - 60°   ⇔   ∠QPR (มุมเล็ก) = 60°

∵ PQ = PR และ ∠QPR = 60°   ⇒   ∆PQR เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   QR = L และ ∠PQR = ∠PRQ = 60°

∵ CR = QR   ⇔   ∆CQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R (= 80°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠QCR = ∠CQR = 50°   ⇔   ∠BCQ = ∠BQC = 20°   ⇔   ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 140°) เป็นมุมยอด   ⇔   BC = BQ

(4) สังเกตว่า ∆BQR ≅ ∆BCR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BQ = BC, BR = BR, QR = CR)   ⇒   ∠BRQ (= ∠BRC) = (∠CRQ)/2 = 40°   ⇔   ∠BRP = 20°

พิจารณา ∆BQR จะได้ว่า ∠QBR = 70° (⇔ ∠ABR = 110°)   ⇔   ∠QBR = ∠BQR   ⇔   ∆BQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด   ⇔   BR = QR   ⇔   BR = L

∵ BR = PR   ⇔   ∆BPR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R (= 20°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠PBR (= ∠BPR) = 80°   ⇔   ∠ABP = x = 30°   Q.E.D.