โจทย์
กำหนดให้ α + β + γ = 90°
จงพิสูจน์ว่า x = α และ y = β
พิสูจน์ (อิอิคุง)
(1) ∵ α + β + γ = 90° ⇔ γ = 90° - α - β
พิจารณา ☐ACBP จะได้ว่า ∠APB (มุมใหญ่) = 360° - (α + β + 2γ) ⇔ ∠APB (มุมเล็ก) = α + β + 2γ ⇔ ∠APB = 180° - α - β
(2) กำหนดจุด Q บน AC ที่ทำให้ PQ ⊥ AC และกำหนดจุด R บน BC ที่ทำให้ PR ⊥ BC
จะเห็นว่า ∆CPQ ≅ ∆CPR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ด (∠CQP = ∠CRP, ∠PCQ = ∠PCR, CP = CP) ⇒ PQ = PR
พิจารณา ∆APQ จะได้ว่า ∠APQ = 90° - α
(3) ต่อ QC ออกไปยังจุด S โดยที่ QS = BR
จะเห็นว่า ∆PQS ≅ ∆BPR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (PQ = PR, ∠PQS = ∠BRP, QS = BR) ⇒ PS = BP
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠PSQ = ∠PBR ⇔ ∠PSQ = β ⇔ ∠QPS = 90° - β
(4) สังเกตว่า ∆ABP ≅ ∆APS ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AP = AP, ∠APB = ∠APS, BP = PS) ⇒ ∠BAP = ∠PAS และ ∠ABP = ∠ASP ⇔ x = α และ y = β Q.E.D.
ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [
