โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 30°
พิสูจน์
(1) ∠ACB = 120° - 2α และ ∠ADB = 60° - α
(2) ต่อ DA ออกไปยังจุด P โดยที่ AP = AC ⇒ ∠BAP = 60°
จะเห็นว่า ∆ABP ≅ ∆ABC ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AB = AB, ∠BAP = ∠BAC, AP = AC) ⇒ BP = BC
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠APB = ∠ACB ⇔ ∠APB = 120° - 2α
(3) ต่อ DP ออกไปยังจุด Q ที่ทำให้ ∠BQD = 60° - α ⇔ ∠BQD = ∠BDQ ⇔ ∆BDQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด ⇔ BD = BQ
พิจารณา ∆BPQ จะได้ว่า ∠PBQ = 60° - α และ ∠BPQ = 60° + 2α
∵ ∠PBQ = ∠BQP ⇔ ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด ⇔ PQ = BP ⇔ PQ = BC
(4) กำหนดจุด R ทางด้านขวาของ PQ ที่ทำให้ PR = QR = PQ (= BC) ⇔ ∆PQR เป็น ∆ด้านเท่า ⇒ ∠QPR = 60° และ ∠PQR = 60° ⇔ ∠BPR = 2α และ ∠BQR = α
∵ BP = PR ⇔ ∆BPR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P (= 2α) เป็นมุมยอด ⇔ ∠PBR (= ∠BRP) = 90° - α ⇔ ∠QBR = 30°
(5) สังเกตว่า ∆BCD ≅ ∆BQR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BC = QR, ∠CBD = ∠BQR, BD = BQ) ⇒ ∠BDC = ∠QBR ⇔ x = 30° Q.E.D.