กำหนดให้ BE = AC + CE

จงพิสูจน์ว่า x = 45°

ให้ AC = a และ CE = b   ⇒   BE = a + b

(1) ∵ ∆ABC เป็น ∆มุมฉาก และจุด D เป็นจุดกึ่งกลางด้านตรงข้ามมุมฉาก (AB)   ⇒   AD = BD = CD

∵ AD = CD   ⇔   ∆ACD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด

∵ BD = CD   ⇔   ∆BCD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด

(2) กำหนดจุด P บน AC ที่ทำให้ DP ⊥ AC   ⇒   DP เป็นส่วนสูงของ ∆ACD   ⇒   CP (= AP) = AC/2 = a/2

(3) กำหนดจุด Q บน BC ที่ทำให้ DQ ⊥ BC   ⇒   DQ เป็นส่วนสูงของ ∆BCD   ⇒   CQ (= BQ) = BC/2 = a/2 + b   ⇔   EQ = a/2

(4) พิจารณา ☐CPDQ จะเห็นว่า ∠C = ∠P = ∠Q = 90°   ⇒   ☐CPDQ เป็น ☐มุมฉาก   ⇒   DQ = CP   ⇔   DQ = a/2   ⇔   DQ = EQ   ⇔   ∆DEQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q (= 90°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠DEQ (= ∠EDQ) = x = 45°   Q.E.D.