จงพิสูจน์ว่า x = 10°

ให้ AD = L

(1) ∠ACB = 100° และ ∠ADB = 40°

(2) กำหนดจุด P เป็นภาพสะท้อนของจุด D ผ่าน AB   ⇒   ∆ABP ≅ ∆ABD   ⇒   BP = BD, ∠ABP = ∠ABD = 30° และ ∠APB = ∠ADB = 40°

∵ BD = BP และ ∠DBP = 60°   ⇒   ∆BDP เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   BD = DP

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BDP = ∠BPD = 60°   ⇔   ∠ADP = ∠APD = 20°

(3) กำหนดจุด Q บน AC ที่ทำให้ DQ = L   ⇔   DQ = AD   ⇔   ∆ADQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   ⇔   ∠AQD = ∠DAQ   ⇔   ∠AQD = 80°   ⇔   ∠ADQ = 20°   ⇔   ∠BDQ = 20°

(4) สังเกตว่า ∆BDQ ≅ ∆ADP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BD = DP, ∠BDQ = ∠ADP, DQ = AD)   ⇒   ∠DBQ = ∠APD   ⇔   ∠DBQ = 20°   ⇔   ∠DBQ = ∠BDQ   ⇔   ∆BDQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   ⇔   BQ = DQ   ⇔   BQ = L

พิจารณา ∆BCQ จะได้ว่า ∠BQC = 40°

(5) พิจารณา ∆ABC จะเห็นว่า ∠A = 30°, ∠C = 100° และมีจุด Q บน AC ที่ทำให้ ∠BQC = 40°   ⇒   AC = BQ (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์ในโจทย์ 1-1)   ⇔   AC = L   ⇔   AC = AD   ⇔   ∆ACD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 80°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ADC (= ∠ACD) = 50°   ⇔   ∠BDC = x = 10°   Q.E.D.

(1) ∠ACB = 100° และ ∠ADB = 40°

(2) กำหนดจุด P เป็นจุดตัดระหว่าง AC และ BD

∵ ∠BAP = ∠ABP   ⇔   ∆ABP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   AP = BP

(3) กำหนดจุด Q บน AD ที่ทำให้ PQ = AP   ⇔   ∆APQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   ∠AQP = ∠PAQ   ⇔   ∠AQP = 80°   ⇒   ∠APQ = 20° และ ∠DPQ = 40°

∵ ∠PDQ = ∠DPQ   ⇔   ∆DPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   ⇔   DQ = PQ   ⇔   DQ = AP

(4) กำหนดจุด R บน PQ ที่ทำให้ AR = AQ   ⇔   ∆AQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ARQ = ∠AQR   ⇔   ∠ARQ = 80°   ⇔   ∠ARP = 100°

สังเกตว่า ∆BCP ≅ ∆APR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ด (∠BCP = ∠ARP, ∠CBP = ∠APR, BP = AP)   ⇒   CP = AR   ⇔   CP = AQ

(5) ∵ AP = DQ และ CP = AQ   ⇒   AP + CP = DQ + AQ   ⇔   AC = AD   ⇔   ∆ACD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 80°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ADC (= ∠ACD) = 50°   ⇔   ∠BDC = x = 10°   Q.E.D.