ดุลสมการเคมีด้วยการแก้ระบบสมการ
ออกตัวก่อนว่าวิธีนี้ผมคิดขึ้นมาเองนะครับ แล้วก็ชอบใช้ประจำเวลาเจอสมการแปลก ๆ ด้วย แต่จะมีคนอื่นคิดหรือสอนมาก่อนหน้านี้หรือเปล่านี่ผมคิดว่ามีแน่นอน (มั่นใจกันง่าย ๆ แบบนี้เลย!)

สมมติว่าถ้ามีสมการเคมีอยู่สักสมการนึง แล้วต้องการจะดุลสมการนี้ หลายคนคงพยายามลองพยายามเปลี่ยนตัวเลขไปเรื่อย ๆ จนกว่าจำนวนของอะตอมชนิดเดียวกันในแต่ละฝั่งของสมการจะเท่ากัน สมการบางสมการนั้นก็พอทำได้ง่าย ๆ อยู่ครับ แต่บางสมการก็ชวนปวดหัว เพราะบางธาตุก็โผล่มันแทบจะทุกสารเลยทีเดียว เปลี่ยนเลขโน้นก็กระทบ เปลี่ยนเลขนี้ก็กระทบ วันนี้ก็เลยแนะนำอีกวิธีครับ

นั่นก็คือ...

การดุลสมการด้วยการแก้ระบบสมการ

เอาเป็นว่ายกตัวอย่างเลยก็แล้วกันน่าจะเข้าใจง่ายกว่า

สมการแรก

P4 + HNO3 → H3PO4 + NO2 + H2O

ขั้นตอนแรก กำหนดให้บรรดาสัมประสิทธิ์ต่าง ๆ หน้าสูตรของสารเป็นตัวแปรครับ ในที่นี้จะไล่ตั้งแต่ a1, a2, ... ไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะครบทุกสาร

a1P4 + a2HNO3 → a3H3PO4 + a4NO2 + a5H2O

ขั้นตอนที่สอง พิจารณาทีละธาตุ แล้วก็นับจำนวนอะตอมของธาตุในแต่ละฝั่ง เริ่มจาก P ก่อนแล้วกันครับ

ฝั่งซ้าย P4 จำนวน a1 โมล ใน 1 โมลมี P อยู่ 4 โมลอะตอม ดังนั้น ฝั่งซ้ายจะมี P อยู่ 4a1 โมลอะตอม ส่วนฝั่งขวามี H3PO4 อยู่จำนวน a3 โมล ใน 1 โมลมี P อยู่ 1 โมลอะตอม ดังนั้นฝั่งขวาก็จะมี P อยู่ a3 โมลอะตอม ซึ่งเขียนเป็นสมการทางคณิตศาสตร์ได้ว่า 4a1 = a3

เมื่อทำครบทั้ง 4 ธาตุ (P H N และ O) แล้วก็จะได้ระบบสมการ 5 ตัวแปร 4 สมการแบบนี้ครับ

P 4a1 = a3
H a2 = 3a3 + 2a5
N a2 = a4
O 3a2 = 4a3 + 2a4 + a5

ซึ่งแน่นอนว่าระบบสมการแบบนี้ (ที่มีจำนวนตัวแปรมากกว่าจำนวนสมการ) จะไม่มีทางได้คำตอบชุดเดียวแน่นอน เพราะอย่างที่รู้กันว่าเราสามารถเอาจำนวนใด ๆ มาคูณตลอดสมการเคมีที่ดุลแล้วได้โดยที่สมการใหม่ก็ยังคงดุลอยู่เหมือนเดิม ฉะนั้น ถ้าได้คำตอบมาแค่ชุดเดียวจากคำตอบที่มีอยู่เป็นล้าน ๆ ชุดก็ถือว่าใช้ได้แล้วครับ

และแน่นอนว่าเรามีวิธีในการเลือกชุดคำตอบที่เหมาะสมที่สุดหรือใกล้เคียงอยู่แล้ว ดูต่อไปเลยดีกว่า

ขั้นตอนที่สาม ลดทอนระบบสมการให้แก้ง่ายขึ้นด้วยการกำหนดค่าและการแทนค่า

สมการของ P อยู่ในรูปแบบ n1a1 = n2a2 โดยที่ n1 และ n2 เป็นจำนวน (แต่จะเป็น a1 กับ a3 หรือ a5 กับ a7 ก็ได้ครับ ไม่จำเป็นต้องเป็นแค่ a1 กับ a2) ส่วนสมการของ N อยู่ในรูป a1 = a2 จดจำรูปแบบสมการสองแบบนี้ให้ดีครับ

ถ้าเจอสมการรูปแบบเดียวกับสมการของ P ให้จับไขว้ตัวเลขเลยครับ ให้ค่าของตัวแปรนึงเท่ากับสัมประสิทธิ์ของอีกตัวแปรนึง ในกรณีนี้คือ 4a1 = a3 เราก็กำหนดไปเลยว่า a1 = 1 และ a3 = 4

ถ้าเจอสมการรูปแบบเดียวกับสมการของ N ก็ใช้สมการนี้เพื่อแทนค่าเลยครับ

ณ ขณะนี้ เรามีข้อกำหนดแล้วว่า a1 = 1, a3 = 4 และ a2 = a4 ก็จับแทนค่าไปในระบบสมการเดิมเลยครับ

P 4a1 = a3
-> P' 4 = 4
H a2 = 3a3 + 2a5
-> H' a2 = 2a5 + 12
N a2 = a4
-> N' a2 = a2
O 3a2 = 4a3 + 2a4 + a5
-> O' 3a2 = 2a2 + a5 + 16
จัดรูป a2 = a5 + 16

จะเห็นว่าสมการ P' และ N' ในขณะนี้อยู่ในรูปของจำนวนหรือตัวแปรเดียวกันทั้งสองข้างของสมการแล้วครับ จึงไม่จำเป็นต้องพิจารณาสองสมการนี้แล้ว ฉะนั้นตอนนี้จากเดิมที่เป็นระบบสมการ 5 ตัวแปร 4 สมการ ได้ถูกลดทอนลงมาเหลือ 2 ตัวแปร 2 สมการแล้วครับ นั่นคือ

H' a2 = 2a5 + 12
O' a2 = a5 + 16

ซึ่งสามารถแก้ออกมาได้ว่า a2 = 20 และ a5 = 4 ครับ และจาก a2 = a4 ก็จะได้ว่า a4 = 20 ด้วย

สรุปคำตอบ a1 = 1, a2 = 20, a3 = 4, a4 = 20 และ a5 = 4

ถ้ามีจำนวนใดสามารถหารตลอดสมการได้ (ซึ่งในกรณีนี้ไม่มีแล้วนอกจาก 1) ก็นำมาหารตลอดเพื่อลดทอนให้เป็นอัตราส่วนอย่างต่ำ และถ้าคำตอบบางตัวเป็นเศษส่วนก็ต้องเอาจำนวนมาคูณตลอดสมการเพื่อให้เป็นจำนวนเต็มเช่นกันครับ ซึ่งในกรณีนี้ไม่มีปัญหา

ขั้นตอนที่สี่ แทนค่าตัวแปรทั้งหมดกลับเข้าไปในสมการเคมี

จากขั้นตอนที่แล้ว a1 = 1, a2 = 20, a3 = 4, a4 = 20 และ a5 = 4 เราก็จะได้ว่า

P4 + 20HNO3 → 4H3PO4 + 20NO2 + 4H2O

ขั้นตอนที่ห้า ตรวจคำตอบ

ฝั่งซ้าย (สารตั้งต้น) ฝั่งขวา (ผลิตภัณฑ์)
P - 1 x 4 = 4 โมลอะตอม P - 4 x 1 = 4 โมลอะตอม
H - 20 x 1 = 20 โมลอะตอม H - 4 x 3 + 4 x 2 = 20 โมลอะตอม
N - 20 x 1 = 20 โมลอะตอม N - 20 x 1 = 20 โมลอะตอม
O - 20 x 3 = 60 โมลอะตอม O - 4 x 4 + 20 x 2 + 4 x 1 = 60 โมลอะตอม

เป็นอันว่าสมการนี้ดุลแล้วเรียบร้อยครับ

คราวนี้เรามาดูตัวอย่างที่สองกันบ้าง

สมการที่สอง

MnO2 K2CO3 KNO3 → K2MnO4 + KNO2 + CO2

ขั้นตอนแรก กำหนดตัวแปรเหมือนเดิมเลยครับ

a1MnO2 + a2K2CO3 + a3KNO3 → a4K2MnO4 + a5KNO2 + a6CO2

ขั้นตอนที่สอง นับจำนวนอะตอมของธาตุแต่ละชนิดในแต่ละฝั่งของสมการแล้วเขียนเป็นระบบสมการคณิตศาสตร์

Mn a1 = a4
O 2a1 + 3a2 + 3a3 = 4a4 + 2a5 + 2a6
K 2a2 + a3 = 2a4 + a5
C a2 = a6
N a3 = a5

ขั้นตอนที่สาม ลดทอนระบบสมการให้ง่ายขึ้น

ตอนนี้มีอยู่สามสมการที่น่าจะเอามาใช้ลดทอนได้ ได้แก่สมการ Mn (a1 = a4), สมการ C (a2 = a6) และสมการ N (a3 = a5) อย่างไรก็ตาม การกำหนดค่าที่เป็นจำนวนนั้นจะกำหนดได้เพียงสมการเดียวเท่านั้นเพื่อให้คำตอบที่ได้ยังคงถูกต้อง ในที่นี้จะเลือกกำหนดค่าของสมการ Mn โดยให้ a1 = a4 = 1 ครับ

เราจะได้ข้อกำหนด a1 = a4 = 1, a2 = a6 และ a3 = a5 ซึ่งเราจะเอาข้อกำหนดเหล่านี้มาแทนค่าลงไปในระบบสมการแรกครับ

Mn' 1 = 1
O' 3a2 + 3a3 + 2 = 2a2 + 2a3 + 4
จัดรูป a2 + a3 = 2
K' 2a2 + a3 = a3 + 2
จัดรูป 2a2 = 2
C' a2 = a2
N' a3 = a3

จากสมการ K' ที่จัดรูปแล้วเราจะได้ว่า 2a2 = 2 หรือก็คือ a2 = 1 นั่นเอง เมื่อแทนค่าลงไปในสมการ O' ที่จัดรูปแล้วก็จะได้ว่า a3 ก็เท่ากับ 1 ด้วย นอกจากนี้ จากสมการ C ที่ว่า a2 = a6 และสมการ N ที่ว่า a3 = a5 ก็ทำให้ได้ต่อไปว่า ทั้ง a5 และ a6 ก็เท่ากับ 1 ด้วยเช่นกัน

สรุปคำตอบ a1 = 1, a2 = 1, a3 = 1, a4 = 1, a5 = 1 และ a6 = 1

ขั้นตอนที่สี่ แทนค่ากลับลงไปในระบบสมการเดิม

เราก็จะได้สมการที่ดุลแล้วก็คือ

MnO2 K2CO3 KNO3 → K2MnO4 + KNO2 + CO2

(ก็คือสมการโจทย์นั่นแหละ ที่จริงถ้ามีเวลาก็ลองเช็คดูก่อนดีกว่านะครับว่าสมการนั้นดุลอยู่แล้วตั้งแต่แรกหรือเปล่า)

ขั้นตอนที่ห้า ตรวจคำตอบ

ฝั่งซ้าย (สารตั้งต้น) ฝั่งขวา (ผลิตภัณฑ์)
Mn - 1 x 1 = 1 โมลอะตอม Mn - 1 x 1 = 1 โมลอะตอม
O - 1 x 2 + 1 x 3 + 1 x 3 = 8 โมลอะตอม O - 1 x 4 + 1 x 2 + 1 x 2 = 8 โมลอะตอม
K - 1 x 2 + 1 x 1 = 3 โมลอะตอม K - 1 x 2 + 1 x 1 = 3 โมลอะตอม
C - 1 x 1 = 1 โมลอะตอม C - 1 x 1 = 1 โมลอะตอม
N - 1 x 1 = 1 โมลอะตอม N - 1 x 1 = 1 โมลอะตอม

เป็นอันว่าสมการนี้ดุลแล้วเรียบร้อยครับ

ในบางครั้งเราอาจจะได้คำตอบที่เป็นเศษส่วน ก็อย่าเพิ่งตกใจไปครับ มาดูตัวอย่างนี้กันดีกว่า

KNO3 + C12H22O11 → N2 + CO2 + H2O + K2CO3

ขั้นตอนแรก เหมือนเดิมครับ กำหนดตัวแปรก่อน

a1KNO3 + a2C12H22O11 → a3N2 + a4CO2 + a5H2O + a6K2CO3

ขั้นตอนที่สอง เขียนระบบสมการทางคณิตศาสตร์จากสมการเคมีโดยนับจำนวนโมลอะตอมธาตุแต่ละชนิด

K a1 = 2a6
N a1 = 2a3
O 3a1 + 11a2 = 2a4 + a5 + 3a6
C 12a2 = a4 + a6
H 22a2 = 2a5

ขั้นตอนที่สาม ลดทอนระบบสมการให้ง่ายขึ้น

จากสมการ K และสมการ N เราจะได้ a1 = 2a6 และ a1 = 2a3 ดังนั้นเราสามารถสรุปต่อไปได้ว่า a3 = a6 ด้วยเช่นกัน นอกจากนี้ จากสมการ H เราจะได้ว่า 22a2 = 2a5 หรือนั่นก็คือ a5 = 11a2 นั่นเอง ดังนั้นเราก็จะกำหนดให้ a5 = 11 และ a2 = 1 ครับ

แทนค่า a3 = a6, a1 = 2a6, a5 = 11 และ a2 = 1 ลงไปในระบบสมการเดิมของเรา ตอนนี้เราจะได้

K' 2a6 = 2a6
N' 2a6 = 2a6
O' 6a6 + 11 = 2a4 + 3a6 + 11
จัดรูป 3a6 = 2a4
C' 12 = a4 + a6
H' 22 = 22

ทำให้ตอนนี้เราเหลือระบบสมการที่ลดทอนแล้วแค่นี้ครับ

O' 2a4 - 3a6 = 0
C' a4 + a6 = 12

เมื่อแก้ระบบสมการนี้จะทำให้ได้ว่า a4 = 36/5 และ a6 = 24/5 และจากเงื่อนไขก่อนหน้านี้ที่ระบุว่า a1 = 2a6 และ a3 = a6 ก็จะทำให้ได้ว่า a3 = 24/5 และ a1 = 48/5 ครับ

สรุปคำตอบ a1 = 48/5, a2 = 1, a3 = 24/5, a4 = 36/5, a5 = 11 และ a6 = 24/5 ซึ่งจะเห็นว่ามีสัมประสิทธิ์ถึงสี่ตัวที่เป็นเศษส่วน ดังนั้นจึงต้องหาจำนวนเต็มมาคูณคำตอบทุกตัวเพื่อให้ทุกคำตอบเป็นจำนวนเต็มครับ ในที่นี้จะใช้ 5 มาคูณ (เพราะตัวส่วนเป็น 5 อยู่แล้ว) และเราก็จะได้ว่า

a1 = 48, a2 = 5, a3 = 24, a4 = 36, a5 = 55 และ a6 = 24 ซึ่งเป็นคำตอบที่เป็นอัตราส่วนอย่างต่ำครับ

ขั้นตอนที่สี่ แทนค่ากลับไปในสมการเคมีเดิม

เราก็จะได้ดังนี้ครับ

48KNO3 + 5C12H22O11 → 24N2 + 36CO2 + 55H2O + 24K2CO3

ขั้นตอนที่ห้า ตรวจคำตอบ

ฝั่งซ้าย (สารตั้งต้น) ฝั่งขวา (ผลิตภัณฑ์)
K - 48 x 1 = 48 โมลอะตอม K - 24 x 2 = 48 โมลอะตอม
N - 48 x 1 = 48 โมลอะตอม N - 24 x 2 = 48 โมลอะตอม
O - 48 x 3 + 5 x 11 = 199 โมลอะตอม O - 36 x 2 + 55 x 1 + 24 x 3 = 199 โมลอะตอม
C - 5 x 12 = 60 โมลอะตอม C - 36 x 1 + 24 x 1 = 60 โมลอะตอม
H - 5 x 22 = 110 โมลอะตอม H - 55 x 2 = 110 โมลอะตอม

เป็นอันว่าสมการนี้ดุลเรียบร้อยครับ (ถึงสัมประสิทธิ์บางตัวจะปาเข้าไปประมาณ 50 ก็เถอะ)

ขอบคุณที่อ่านเนื้อหานี้นะครับ หวังว่าเทคนิคนี้จะช่วยให้ดุลสมการได้ง่ายขึ้น อย่างไรก็ตาม สิ่งที่สำคัญที่สุดในการดุลสมการหรือการแก้โจทย์ปัญหาอื่นใดก็คือสติครับ

หวังว่าคงจะได้มาเขียนอะไรแบบนี้อีก สวัสดีครับ



Create Date : 31 กรกฎาคม 2558
Last Update : 6 สิงหาคม 2558 23:30:29 น.
Counter : 616 Pageviews.

0 comments
ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
 *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 

ตะกั่ว-หนึ่งสี่ศูนย์
Location :
ฉะเชิงเทรา  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 1 คน [?]



นักศึกษาเคมีที่กำลังจะกลายเป็นนักเรียนทุน สนใจเคมีพอ ๆ กับอนิเมะ ยินดีต้อนรับครับ