อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical induction)


กาแฟแก้วที่หนึ่งมีรสขม
กาแฟแก้วที่สองมีรสขม
กาแฟแก้วที่สามมีรสขม
...
กาแฟแก้วที่ร้อยมีรสขม
สรุปกาแฟทุกแก้วมีรสขม

เราคงอาจแน่ใจว่าทุกเลขคู่หารด้วยสองลงตัว แต่เราไม่เคยลองมันทุกจำนวน คนอื่นๆก็คงไม่เช่นกัน ดังนั้นแล้วเราจะมั่นใจได้อย่างไรว่าในตัวเลขเยอะมากๆที่เป็นเลขคู่หารด้วยสองแล้วจะลงตัวทั้งๆที่ไม่เคยมีใครเคยทำ ?

mathematical induction
อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์เป็นวิธีการที่มีพลังในการแสดงให้เห็นว่าลำดับของประพจน์ P1, P2, P3,... เป็นจริงทั้งหมด ซึ่งถูกรู้จักโดย เดอมอร์กอง (Augustus De Morgan) ในทศวรรษ 1830 ซึ่งเป็นคนทำเรื่องนี้ที่รู้จักกันมากว่าร้อยปีให้เป็นแบบแผน เทคนิคเฉพาะนี้ (อย่าสับสนกับอุปนัยทางวิทยาศาสตร์) ถูกใช้บ่อยมากในการพิสูจน์ประพจน์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนทั้งหมด เป็นประโยชน์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีกราฟ ทฤษฎีจำนวน และเรื่องพื้นฐานทางวิทยาการคอมพิวเตอร์


ตัวอย่างเช่นให้คิดถึงการบวกกันของจำนวนคี่ เช่น การบวกกันของจำนวนคี่สามตัวแรก 1+3+5 เท่ากับ 9 ในขณะที่สี่ตัวคือ 1+3+5+7 เท่ากับ 16 ตอนนี้ 9 เท่ากับ 3*3 = 3^2 และ 16 = 4*4 = 4^2 ดังนั้นมันเป็นไปได้หรือไม่ว่าการบวกกันของเลขคี่ n ลำดับแรก จะเท่ากับ n^2


ถ้าเราลองสุ่มค่าของ n เช่น n = 7 เราก็จะพบผลรวมของเจ็ดจำนวนแรกคือ 1+3+5+7+9+11+13 = 49 ซึ่งก็คือ 7^2 แต่รูปแบบนี้จะถูกต้องทั้งหมดกับทุกค่าของ n ไหม เราจะมั่นใจได้อย่างไรเมื่อเราไม่สามารถตรวจสอบทุกกรณีของจำนวนที่มีอย่างไม่จำกัดได้


นี่คือที่ซึ่งอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มาเกี่ยวข้อง คิดง่ายๆก็คือการพิสูจน์แบบโดมิโน อุปมาดังแถวของโดมิโนที่ตั้งอยู่ ถ้าโดมิโนตัวหนึ่งล้มมันจะไปล้มอีกตัวหนึ่ง ถ้าเราจะให้ทุกตัวล้มสิ่งที่ต้องทำคือให้ตัวที่หนึ่งล้ม การประยุกต์การคิดแบบนี้ไปยังปัญหาของเลขคี่ ประพจน์ Pn กล่าวว่า "ผลรวมของเลขคี่ n จำนวนแรกบวกกันจะเท่ากับ n^2" อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์สร้างโซ่ปฎิกิริยา ที่ซึ่ง P1, P2 ,P3,... เป็นจริงทั้งหมด ประพจน์ P1 เป็นจริง เพราะ 1=1^2 ต่อไป P2 เป็นจริงเพราะ 1+3 = 1^2 + 3 = 2^2 P3 เป็นจริงเพราะ 1+3+5 = 2^2 + 5 = 3^2 แลพ P4 เป็นจริงเพราะ 1+3+5+7 = 3^2 + 7 = 4^2 เราใช้ผลลัพธ์ของอันหนึ่งไปใช้กับอันถัดไป กระบวกการนี้ทำเป็นแบบแผนได้เป็น กระบวนวิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์


แปลและเรียบเรียงข้อมูลจาก
//en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_induction
และ
50 Mathematical Ideas You Really Need to Know ในซีรี่หนังสือ 50 Ideas You Really Need to Know
โดย Tony Crilly