Bloggang.com : สมภพ เจ้าเก่า :

วิธีพิสูจน์กฏของปีธากอรัส โดยประธานาธิปดีสหรัฐฯ ท่านหนึ่ง

เราๆท่านคงเคยเรียนกฏของปีธากอรัสกันมาแล้ว เพื่ออยากจะหาว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก (c) มีความยาวเท่าไร ถ้าโจทย์ให้แต่ a กับ b มาเท่านั้น

ง่ายๆ ก็เข้าสูตรเลย a^2 + b^2 = c^2
เรียบร้อยแล้วเราก็จะได้ c ออกมา………..

แต่ครั้นจะสงสัยว่า ทำไมได้ออกมาเป๊ะอย่างงั้น มีอะไรแฝงในสูตรการยกกำลังสองนั่น ทำไมได้ตรงกับด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ก็ยังคงมีคำอธิบายต่อไปอีกว่า

ถ้าหากว่าตีเส้นทั้งสามด้านออกไปเป็นรูปสี่เหลี่ยมจตุรัส แล้วพื้นที่ๆเกิดจากด้าน a และ b บวกกันจะได้เท่ากับพื้นที่ๆเกิดจากด้าน c

ซึ่งนี่เป็นสิ่งที่ปีทากอรัสคิดขึ้น จึงเป็นที่มาของด้านทั้งสามยกกำลังสอง เพราะสูตรหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจตุรัส ก็คือ ด้านยกกำลังสองนั่นเอง ได้ออกมาเป็นสูตรดังกล่าวให้เราใช้กัน

แต่นี่ก็ยังไม่ใช่คำตอบของปัญหาที่ว่า ทำไมจึงได้ออกมาอย่างงั้น เหตุใดพื้นที่ a บวกด้วยพื้นที่ b จึงได้ออกมาเท่ากับพื่นที่ c อย่างพอดีเป๊ะ ต้องกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป๊ะเท่านั้นใช่ไหมถึงจะใช้สูตรนี้ได้เป๊ะ ไม่มีคราดเคลื่อนซักนิดเลยหรือ? ไม่ว่าด้านทั้งสามจะยาวเท่าไรก็ตาม

หรือถ้าไม่มีสูตรของปีทากอรัส จะมีวิธีอื่นในการหาความยาว c ได้เป๊ะเหมือนกันหรือไม่ โดยวิธีนั้นมีเหตุผลที่สามารถมองเห็นได้ในตัวเอง ไม่ได้มาด้วยความบังเอิญเหมือนการสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเข้าไป และหากมีวิธีอื่น ก็จะได้ช่วยพิสูจน์กฏปีทากอรัสได้อีกทาง

ก็มีความคิดของประธานาธิบดีสหรัฐท่านหนึ่ง ซึ่งผมก็ลืมไปแล้วว่าชื่ออะไร ได้คิดเอาไว้วิธีหนึ่ง เชื่อหรือไม่ว่า สามารถใช้วิธีหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่เราเคยเรียนกันตอนประถม มาพิสูจน์ได้?

เริ่มกันเลย
ด้วยการนำรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปนั้นมาสองรูป แต่อีกรูปหนึ่งจับหมุนทวนเข็มไป 90 องศา แล้วเอามาต่อกันดังรูป แถมเส้นน้ำเงินเข้าอีกหน่อย จะได้รูปสี่เหลี่ยมคางหมูออกมา แต่นแต้นนนนนนน

และเชื่อไหมว่า เส้น c ทั้งสองเส้นนั้นจะตั้งฉากกันเสมอ ไม่ว่ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะเป็นสัดส่วนใดก็ตาม สาเหตุเพราะว่า “รูปสามเหลี่ยมอีกรูปจับหมุนทวนเข็มไป 90 องศา” ดังนั้น a กับ a ฉากกัน b กับ b ก็ตั้งฉากกัน สุดท้าย c กับ c ก็ต้องตั้งฉากกันอย่างหนีไม่พ้น

ต่อไปเราก็มาหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมคางหมูกันน่ะ สูตรว่าอย่างไรบ้าง
พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู = สูง * ผลบวกของด้านคู่ขนานหารสอง (ผลบวกของด้านคู่ขนานหารสอง ก็คือค่าเฉลี่ยของด้านคู่ขนานนั่นเอง)
ซึ่งสำหรับที่มาของสูตรหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู ผมคงไม่บรรยายน่ะครับ เพราะเชื่อว่าผู้ที่เข้ามาอ่านส่วนใหญ่คงคิดได้เองแล้วว่าเพราะอะไร

จากรูป สูงก็คือ a+b ใช่ไหมเอ่ย (แนวนอน)
ด้านคู่ขนานก็คือ a กับ b อีกเช่นกัน (แนวตั้ง)

ได้พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมคางหมูรูปนี้คือ = (a+b)*(a+b)/2

จากนั้น ก็ลบออกด้วยพื้นที่รูปสามเหลี่ยมมุมฉากทั้งสองรูป ก็พื้นที่รูปสามเหลี่ยมมุมฉากคือ a*b/2 เมื่อมีสองรูปก็คูณสอง เหลือแต่ a*b เฉยๆ

เอาไปลบกับสูตรข้างบนก็เป็น ((a+b)*(a+b)/2) – (a*b) ก็จะได้พื้นที่รูปสามเหลี่ยมสีฟ้าใช่ป่าว

เอาหละ ดูดีๆ เส้น c ทั้งสองยาวเท่ากัน แถมตั้งฉากกันด้วยใช่ป่าว ถ้าเอามาคูณกันก็จะได้พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเต็มๆออกมา แต่ในรูปซึ่งเราหาพื้นที่มาได้ด้วยวิธีอื่น มันมีพื้นที่เพียงครึ่งหนึ่งเท่านั้น ดังนั้นต้องเอามาคูณสองเพื่อให้ได้พื้นที่เต็มๆออกมา (กระผมนี้บ้าวงเล็บจัง)
(((a+b)*(a+b)/2) – (a*b))*2

ด้านของรูปสี่เหลี่ยมจตุรัส ยกกำลังสอง ได้เท่ากับพื้นที่ใช่ป่าว

เมื่อเราได้พื้นที่แล้ว เอามาถอดราก ก็จะได้ความยาวด้านนั่นเอง ซึ่งความยาวด้าน ก็คือ c นั่นเองงงงงงงงงงงงงง
sqrt ((((a+b)*(a+b)/2) – (a*b))*2)
แฮกๆๆๆๆๆ เหนื่อยไหมท่านผู้ชม - - สูตรดั่งเดิมเค้าสั้นดีอยู่แล้วไปหาต่อซะยืดยาววววววววว

เนื่องจากชั้นเชิงการย่อสมการของผมนั้นแย่นัก จึงต้องฝากท่านผู้อ่านให้ช่วยๆกันว่า

c = sqrt ((((a+b)*(a+b)/2) – (a*b))*2)
c = sqrt (a^2+b^2)

หรือไม่

Create Date : 08 มกราคม 2550

9 comments

Last Update : 10 มกราคม 2550 18:12:34 น.

Counter : 8921 Pageviews.