จงพิสูจน์ว่า (cosθ + isinθ)^n = cos(nθ) + isin(nθ) เป็นจริง

โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม และ i เป็น หน่วยจินตภาพ


วิธีทำ ใช้วิธีอุปนัยทางคณิตศาสตร์


โดย ถ้าแทน n = 0 จะได้ว่า 1 = 1 เป็นจริง


แล้วถ้า n = k เป็นจริงแล้ว


(cosθ + isinθ)k+1 = (cosθ + isinθ)k (cosθ + isinθ)


                        = (cos(kθ) + isin(kθ))(cosθ + isinθ)


                        = cos(kθ)cosθ - sin(kθ)sinθ + i(cos(kθ)sinθ + sin(kθ)cosθ)


                        = cos((k+1)θ) + isin((k+1)θ)


n = k+1 เป็นจริงด้วย


และเรายังรู้ว่า  cosθ กับ sinθ ไม่มีทางเป็น 0 พร้อมกัน ดังนั้น cosθ + isinθ ≠ 0


เราจึงใช้ cosθ + isinθ หาร (cosθ + isinθ)k  ได้


(cosθ + isinθ)k-1 = (cosθ + isinθ)/ (cosθ + isinθ)


คูณด้วย  (cosθ - isinθ) ทั้งเศษและส่วน


= (cos(kθ) + isin(kθ))(cosθ - isinθ) / {(cosθ + isinθ)(cosθ - isinθ)}


= (cos(kθ) + isin(kθ))(cosθ - isinθ) / (cos2θ + sin2θ)


= (cos(kθ) + isin(kθ))(cosθ - isinθ)


= (cosθcos(kθ) + sinθsin(kθ)) + i(sin(kθ)cosθ - cos(kθ)sinθ)


= cos((k-1)θ) + isin((k-1)θ)


n = k-1 เป็นจริงด้วย



สรุปได้ว่า (cosθ + isinθ)n = cos(nθ) + isin(nθ) เป็นจริง  จบ



ที่มา ข้อสอบเข้า Keio University ปี 1982  




 

Create Date : 26 กันยายน 2553
0 comments
Last Update : 26 กันยายน 2553 21:16:33 น.
Counter : 293 Pageviews.

ชื่อ :
Comment :
  *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 
รหัสส่งข้อความ
กรุณายืนยันรหัสส่งข้อความ


jesus_god
Location :


[ดู Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed

ผู้ติดตามบล็อก : 1 คน [?]




Group Blog
 
 
กันยายน 2553
 
 1234
567891011
12131415161718
19202122232425
2627282930 
 
26 กันยายน 2553
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add jesus_god's blog to your web]
Links
 

 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.