creatio ex nihilo
ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 59 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 

เรขาคณิตที่ Al-Khowârizmî ใช้แก้สมการควอดราติก



ทางซ้ายเป็นภาพหน้าหนังสือ Al-jabr w'al muqâbala ปี 1342 ของ Al-Khowârizmî เฉลยวิธีหาค่าตัวแปรของสมการควอดราติก x2 + 10x = 39 โดยใช้ความรู้เรขาคณิต เขาสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสพื้นที่ x2 (ดูรูปทางขวา) หนึ่งรูป ประกอบกับสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง x ยาว 5 สองรูป ทำให้พื้นที่สี่เหลี่ยมทั้งสามรูป (ส่วนที่แรเงา) เท่ากับ x2 + 10x เท่ากับ 39 หรือพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่เท่ากับ 25 + 39 = 64 นั่นคือ ด้านของสี่เหลี่ยมใหญ่เท่ากับ 8 แสดงว่า 5 + x = 8 หรือ x = 3



อีกสักตัวอย่าง คราวนี้แก้สมการควอดราติก x2 + 21 = 10x เริ่มต้น เขาสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสพื้นที่ x2 แล้วสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง x ยาวเท่าไหร่ไม่รู้รูปหนึ่งซึ่งมีพื้นที่เท่ากับ 21 มาประกบกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส x2 รูปแรก ทำให้เขาได้รูปสี่เหลื่ยมผืนผ้าที่ใหญ่ขึ้นซึ่งมีความยาว 10 (เพราะพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมทั้ง 2 รูปที่เขาสร้าง รวมกันเท่ากับ 10x) ต่อมาเขาแบ่งครึ่งรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปใหญ่นั้น ได้สี่เหลี่ยม A ซึ่งอยู่ระหว่างจัตุรัสอันแรกกับเส้นแบ่งครึ่ง แล้วสร้าง B ซึ่งมีขนาดเท่ากับ A แต่หมุนมัน 90 องศาดังรูป ทำให้ความสูงของรูปทรงตอนนี้เท่ากับ 5 (เพราะด้านกว้างหรือส่วนที่เป็นฐานของ A มีความยาวน้อยกว่า 5 อยู่ x) ถ้าเติมจัตุรัสแรเงาเข้มลงไปเพื่อสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ เราจะได้พื้นที่ของจัตุรัสเข้มเท่ากับ 4 เพราะ พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่เท่ากับ 25 และพื้นที่แรงเงาสีอ่อนเท่ากับ 21 ทำให้เรารู้ว่าด้านของจัตุรัสเข้มเท่ากับ 2 และ x = 3 (ใช้รูปที่คล้าย ๆ กันนี้ Al-Khowârizmî แสดงว่าอีกคำตอบหนึ่งคือ 7)

ที่มา: Analysis by Its History ของ E. Hairer กับ G. Wanner




 

Create Date : 08 กรกฎาคม 2557    
Last Update : 8 กรกฎาคม 2557 20:00:05 น.  

โคมไฟของทอมสัน

[ถือว่าใครก็ตามที่อ่านข้อความหลังจากนี้รู้จักพาราด็อกซ์ของซีโน]

ว่าด้วยพาราด็อกซ์ของซีโน มีตอนหนึ่งรัสเซลเห็นว่า เป็นไปได้ในเชิงตรรกะนะฮะที่เราสามารถทำงานบางอย่างจำนวนอนันต์ครั้งเสร็จในช่วงเวลาที่จำกัด แกให้จินตนาการถึงกรณีบางคนที่ทำงานบางอย่างแล้วมีทักษะเพิ่มขึ้น ทำให้ช่วงเวลาทำงานนั้นลดลง สมมติว่าครั้งแรกใช้เวลาทำงาน 1 นาที ครั้งที่ 2 ใช้เวลาลดลงครึ่งหนึ่ง เหลือ 1/2 นาที ครั้งที่ 3 ลดลงจากครั้งที่ 2 ครึ่งหนึ่ง เหลือ 1/4 นาที รัสเซลบอกว่า แม้ทางกายภาพจะเป็นไปไม่ได้ (medically impossible) แต่ในทางตรรกะแล้วเป็นไปได้ (logically possible) ที่คนผู้นี้จะทำงานดังกล่าวต่อเนื่องกันอนันต์ครั้งเสร็จใน 2 นาที

ต่อมา ทอมสัน (1954) แย้งโดยใช้ตัวอย่างงานคือการเปิด/ปิดโคมไฟ สมมติว่าโคมไฟเริ่มต้นที่สถานะปิด ครั้งแรกใช้เวลาเปิด 1 นาที ครั้งที่ 2 ใช้เวลาปิด 1/2 นาที ครั้งที่ 3 ใช้เวลาเปิด 1/4 นาที ทีนี้ทอมสันว่า ถ้าว่าตามสูตรของรัสเซลคือเขาทำงานจำนวนอนันต์ครั้งเสร็จตอนสิ้นเวลาที่ 2 นาทีพอดี ถามว่าพอสิ้น 2 นาทีแล้วโคมไฟเปิดหรือปิด? ทอมสันบอกว่าเราไม่สามารถตอบคำถามนี้ได้ (เพราะอะไร, ลองคิด) แต่ยังไงซะโคมไฟจะต้องอยู่ในสถานะใดสถานะหนึ่ง ไม่เปิดก็ต้องปิด ฉะนั้นเกิดข้อขัดแย้ง ตรรกะของรัสเซลมีปัญหา แกว่างั้น

สมมติสถานะเริ่มต้นของโคมไฟคือ L ทำงานครั้งแรก สถานะเปลี่ยนเป็น L1 ทำงานครั้งที่สอง สถานะเปลี่ยนเป็น L2 เช่นนี้เรื่อย ๆ และมีสถานะขณะที่สิ้นนาทีที่ 2 ทันทีคือ L* (แน่นอน คำว่าทันทีที่สิ้นนาทีที่ 2 เป็นคำที่เข้าใจยากมาก, แกล้งว่าเข้าใจ) เรารู้ว่า Lx เมื่อ x เป็นจำนวนคี่คือโคมไฟเปิด, เมื่อ x เป็นจำนวนคู่คือโคมไฟปิด คำถามชวนคิดสนุก ๆ คือ การที่เราไม่รู้ว่า Lx เมื่อ x เป็นอนันต์นั้นเปิดหรือปิด เพียงพอที่จะทำให้เราบอกอะไรเกี่ยวกับ L* ได้มั้ยครับ

คำถามว่าสถานะสุดท้ายของโคมไฟของทอมสันนี้ จะว่าไป มาในฟอร์มเดียวกับอนุกรมของคุณพระลุยจิ กุยโด กรานดี ที่ถามว่า

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... (ad infinitum) เท่ากับเท่าไร

สมมติเท่ากับ S

S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

S = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0 รึเปล่า

หรือว่า

S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...) = 1 - ((1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ...) = 1 - 0 = 1 รึเปล่า

หรือว่า

S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...) = 1 - S

2S = 1

S = 1/2 รึเปล่า

หรือว่า 0 = 1 = 1/2

ถ้า 1 = 1/2 แล้ว 1 = 2

รัสเซลเคยพูด ถ้า 1 = 2 แล้วแกก็คือโป๊ป แกกับโป๊ปเป็นคนเดียวกัน

(เป็นไงล่ะ เราพากลับไปหารัสเซลจนได้ :))




 

Create Date : 20 กุมภาพันธ์ 2557    
Last Update : 20 กุมภาพันธ์ 2557 19:12:09 น.  

เฉลยโจทย์เชสของ Smullyan 3 ข้อบน fb

โจทย์ทั้ง 3 ข้อมาจาก หนังสือของ Smullyan เรื่อง The Chess Mysteries of Sherlock Holmes

1. [31 มกราคม 2557] จากรูป คิงขาวกับควีนขาวอยู่ที่เดิมตลอดในช่วงการเดิน 5 ทีสุดท้ายก่อนที่จะมาเป็นรูปนี้ และในช่วงดังกล่าว ไม่มีหมากตัวใดถูกกินเลย คำถามคือ ตาล่าสุดก่อนที่จะมาเป็นรูปนี้นี่ตัวไหนเดิน และเดินจากไหนไปไหน



ถ้าควีนกับคิงขาวไม่เดินมา 5 ที แสดงว่า บิชอบก็ต้องเดิน 5 ที เพราะฝ่ายขาวมีอยู่ 3 ตัว แต่ถ้าบิชอบเดิน 5 ที และคิงดำไม่เดินเลย จะเป็นไปไม่ได้ เพราะเบี้ยดำเดินมากสุดได้แค่ 3 ทีจากตำแหน่งเริ่มต้น เป็นไปไม่ได้ที่ขาวจะเดิน 5 ที ขณะที่ดำเดิน 3 ที ฉะนั้น ไม่ใช่กรณีที่บิชอบขาวเดิน 5 ทีแน่ และไม่ใช่กรณีที่คิงดำไม่เดิน เพราะคิงดำต้องเดินอย่างน้อย 1 ที ซึ่งน่าจะทำให้เหลือความเป็นไปได้เดียวคือ เดิมบิชอบขาวตัวนั้นเป็นเบี้ยที่เคยอยู่ตำแหน่งที่บังควีนขาว แล้วเบี้ยขาวตัวดังกล่าวเดินเพื่อเปิดรุกคิงดำ (ทำให้คิงดำเดิน 1 ที) แล้วไปโปรโมทเป็นบิชอบบนช่องสีดำ ฉะนั้น ตำแหน่งเมื่อ 5 ทีที่แล้วคือ เบี้ยดำอยู่ตำแหน่งเริ่มต้น, คิงดำอยู่ g8, ไม่มีบิชอบขาว แต่มีเบี้ยขาวอยู่ d5 เหตุการณ์หลังจากนี้ก็มีได้แค่ทางเดียวครับ

1. d6+ Kh8, 2. d7 a6, 3. d8(B) a5, 4. Bg5 a4, 5. Bh6

คำตอบข้อนี้คือ บิชอบเดินจาก g5 ไป h6

2. [1 กุมภาพันธ์ 2557] ถ้าเราเห็นแค่รูปนี้ และรู้ว่าฝ่ายดำกับฝ่ายขาวมีตำแหน่งเริ่มต้นที่ด้านไหน (ดำบน ขาวล่าง ตามรูปมาตรฐาน) เราสามารถสรุปได้มั้ยครับว่าเบี้ยขาวตัวที่วางคร่อม 4 ช่องตัวนั้น ตำแหน่งจริง ๆ ของมันคือตำแหน่งไหน c4, c5, d4 หรือ d5

ไม่น่าจะได้

แต่ถ้าสมมติคุณเจอคนคนหนึ่ง และรู้ว่าคนนั้นเป็นผู้เล่นเกมนี้ คุณไม่รู้ว่าเขาเล่นดำหรือขาว คุณถามเขาว่า "สุดท้ายแล้วคุณชนะเกมนี้รึเปล่า" เขาตอบว่า "ผมชนะ"

ทันใดนั้น คุณรู้ทันทีว่าตำแหน่งของเบี้ยขาวคืออะไร (คุณรู้ใช่มั้ยฮะ)

รูปนี้เป็นตัวอย่างประโยคเด็ดประโยคหนึ่งของ Smullyan "it sometimes happens that to know the past, one must first know the future" (ตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้ ดู logical positivism as ridiculous!)



จากรูป ถ้าตาต่อไปฝ่ายขาวเดิน ไม่ว่าเบี้ยขาวตัวปัญหานั้นจะอยู่ตำแหน่งไหนก็ตาม และไม่ว่า ขาวจะเดินเบี้ยตัวที่เป็นปัญหาหรือคิงก็ตาม ผลลัพธ์คือเสมอ เพราะฝ่ายดำไม่มีที่ให้เดิน แต่เพราะเรารู้ว่าผลลัพธ์ของเกมไม่ใช่เสมอกัน ฉะนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าตาต่อไปฝ่ายดำเดิน และฝ่ายดำมีตัวที่สามารถเดินได้อยู่ตัวเดียวคือเบี้ยดำ ฉะนั้น เบี้ยขาวจะต้องอยู่ที่ c4 และถูกเดินมาจาก c2 แล้วดำใช้ en passant กินเบี้ยขาว

3. [3 กุมภาพันธ์ 2557] มีคนใช้ชุดหมากรุกหน้าตาประหลาด ๆ เล่นเกมค้างอยู่ ซึ่งคุณก็เดาได้ไม่ยากว่าช้างนั่นคือเรือ นอกนั้นหน้าตาเหมือนเดิม สีที่ใช้ก็แปลก คือสีเขียว (บน) กับสีแดง (ล่าง)

คำถามง่าย ๆ คุณคิดว่าสีไหนเป็นฝ่ายเดินก่อนครับ



ตำแหน่งเริ่มต้นของม้าบนกระดานหมากรุกของแต่ละฝ่ายจะยืนบนช่องคนละสีกัน และการเดินม้าแต่ละครั้งจะเป็นการเปลี่ยนสีช่องของมัน ฉะนั้น ถ้าเราเห็นว่า ม้าของฝ่ายเรายืนบนช่องสีเดียวกัน เราสามารถสรุปได้หนึ่งอย่าง คือ ม้าของเราทั้งสองตัวรวมกันถูกเดินเป็นจำนวนคี่ที แต่ถ้าม้า 2 ตัวยืนบนช่องต่างสีกัน แปลว่า รวมกันแล้วเราเดินม้าเป็นจำนวนคู่ที จากรูป สีเขียว (ลายขีดทแยง) ม้ายืนบนช่องต่างสี เท่ากับมีการเดินเป็นจำนวนคู่ที เรือเขียวอยู่ตำแหน่งเดิมและบิชอบกับเบี้ยไม่ถูกเดิน แปลว่า เรือเขียวถูกเดินเป็นจำนวนคู่ที เราไม่รู้ตำแหน่งเริ่มต้นของคิงเขียว ฉะนั้นคิงอาจเดินเป็นจำนวนคู่หรือคี่ทีก็ได้

ทางฝั่งสีแดง (ลายจุด) ม้ายืนบนช่องสีเดียวกัน เท่ากับ เดินเป็นจำนวนคี่ที เรืออยู่บนช่องสีเดียวกันและบิชอบกับเบี้ยไม่ถูกเดิน เท่ากับ เดินเป็นจำนวนคี่ที ฉะนั้น ม้ากับเรือเดินรวมกันเป็นจำนวนคู่ที ส่วนคิงแดง เราไม่รู้ตำแหน่งเริ่มต้น จึงบอกไม่ได้

ควีนทั้ง 2 สีถูกม้ากิน และเรารู้ว่ามันไม่ถูกเดิน เพราะเบี้ยไม่ถูกเดิน

ต่อมา เราเห็นว่า คิงแดงถูกรุก หมายความว่า ตาต่อไปหลังจากรูปนี้ สีแดงเป็นฝ่ายเดิน

ณ ตำแหน่งปัจจุบัน ถ้าเกมนี้สีแดงเป็นฝ่ายเดินก่อน ทั้งสองสีจะต้องเดินด้วยจำนวนทีที่เท่ากัน (คู่ทั้งคู่หรือคี่ทั้งคู่) แต่ถ้าเกมนี้สีเขียวเป็นฝ่ายเดินก่อน สีเขียวจะเดินมากกว่าสีแดง 1 ที (หรือ ถ้าเขียนเดินจำนวนคู่ที แดงก็จะต้องเดินคี่ที หรือกลับกัน)

ถ้าแดงเป็นฝ่ายเดินก่อน คิงแดงจะเริ่มที่ช่องดำ และคิงเขียวเริ่มที่ช่องขาว เท่ากับคิงเขียวเดินคู่ทีขณะที่คิงแดงเดินคี่ที เกิดข้อขัดแย้ง เพราะถ้าแดงเดินก่อน จำนวนทีที่เดินของแดงกับเขียวต้องเท่ากัน ฉะนั้น เกมนี้เขียวเป็นฝ่ายเดินก่อนครับ (เช็ค: ถ้าเขียวเป็นฝ่ายเดินก่อน คิงเขียวเริ่มที่ช่องดำ แปลว่ามันเดินคี่ที ส่วนคิงแดงเดินคู่ที สอดคล้องกับ ถ้าเขียวเดินก่อน จำนวนทีที่เดินของทั้งสองฝ่ายจะต้องต่างกัน 1)




 

Create Date : 05 กุมภาพันธ์ 2557    
Last Update : 5 กุมภาพันธ์ 2557 12:12:14 น.  

เรือของธีซีอุส

เรือของธีซีอุสเป็นปัญหาปรัชญาที่น่าสนใจข้อหนึ่งเกี่ยวกับ identity ของเราในเวลา ปัญหานี้มาจากประเพณีของชาวเอเธนส์ที่จะส่งเรือไปแสวงบุญที่เกาะดีลอสเพื่อเป็นเครื่องบูชาเทพอะพอลโล่ทุกปี ตามตำนานว่าอะพอลโล่ช่วยธีซีอุสกับลูกเรือ 14 คน ประเพณีนี้ก็ทำต่อเนื่องกันมายาวนานนะครับ มันก็ต้องมีชิ้นส่วนเรือที่ชำรุดแล้วถูกเปลี่ยนตรงโน้นบ้าง ตรงนี้บ้าง เรื่อย ๆ

Plutarch เล่าว่า ปัญหาว่าเรือลำนี้ หลังจากผ่านไปหลายปี ชิ้นส่วนต่าง ๆ ค่อย ๆ ถูกเปลี่ยนจนไม่เหลือชิ้นส่วนเดิมอยู่เลยนั้น จะยังคงเป็นเรือลำเดิมอยู่มั้ย เป็นปัญหาที่นักปรัชญาเอเธนส์ถกกันอยู่แล้ว

ต่อมา Hobbes ก็ผูกเรื่อง เพิ่มปมเข้าไปอีกชั้น ฮอบส์ว่า ถ้ามีใครสักคนเก็บชิ้นส่วนเก่า ๆ ของเรือธีซีอุสไว้ทั้งหมด แล้วเอาชิ้นส่วนเหล่านั้นมาประกอบเป็นเรือ แบบนี้ เราจะพูดว่า เรือลำเดิมแยกร่างออกเป็น 2 ลำได้ไหม มันฟังดูงี่เง่ามาเลยนะ ฮอบส์ว่า (จาก De corpore, หาอ่านได้ใน The English Works of Thomas Hobbes, Vol 1 บรรณาธิการโดย Sir William Molesworth)

คุณคิดว่าไงกับปัญหาข้อนี้ครับ?



ต้นปีที่แล้ว ผมเขียนเรื่องสั้นมาก ๆ ๆ ๆ จากปัญหาเรือของธีซีอุสด้วยล่ะ ไม่มีชื่อเรื่อง 1




 

Create Date : 31 มกราคม 2557    
Last Update : 31 มกราคม 2557 10:15:21 น.  

The Jordan Curve Theorem is Nontrivial



รูปนี้เป็นรูปที่ 2 ประกอบบทความ The Jordan Curve Theorem is Nontrivial ของ Fiona Ross กับ William T. Ross และเป็นรูปที่วาดโดยผู้เขียนชื่อแรก ซึ่งวาดเพื่อใช้ในการนี้โดยเฉพาะ ชื่อรูปคือ A Thread in the Labyrinth

บทความเริ่มด้วยบทรำพันถึงครูเลขที่เวลาพูดถึง Jordan Curve Theorem ก็มักจะพูดทำนองว่า มัน trivial ด้วยความจริงของทฤษฎีบทอันนี้เป็นสิ่งที่ทิ่มแทงตา, JCT บอกว่า เส้นโค้งจอร์แดนบนระนาบจะแบ่งระนาบออกเป็น 2 ส่วน คือ ส่วนภายในที่ถูกปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง กับส่วยภายนอก (เส้นโค้งจอร์แดนคือ เส้นหนึ่งเส้นที่วดเป็นลูปปิด และไม่ตัดกันเอง) คุณครูส่วนใหญ่มักจะแสดงถึงความจริงของทฤษฎีบทนี้ด้วยการวาดวงกลมง่าย ๆ หนึ่งวงบนกระดาน แล้วชี้ในวงกลม นี่คือส่วนภายใน ชี้นอกวงกลม นี่คือส่วนภายนอก จบ ก่อนจะข้ามไปพูดถึงหัวข้ออื่นที่สำคัญต่อ

อาจมีครูบางคนที่พยายามวาดเส้นโค้งจอร์แดนให้ซับซ้อนกว่าวงกลม แล้วชี้พื้นที่หนึ่งส่วน หันไปถามนักเรียนว่า อันนี้ภายในหรือภายนอก นักเรียนก็มักตอบได้แทบจะทันที ครูบางคนอาจะแสดงวิธีพิสูจน์ที่ formal มากขึ้นหน่อย โดยการบอกว่า เริ่มจากจุดหนึ่งจุดที่ไม่อยู่บนเส้น แล้วลากเส้นตรงจากจุดนั้นออกไปนอกรูปเส้นโค้ง แล้วนับจำนวนจุดตัดของเส้นตรงดังกล่าวกับเส้นโค้ง ถ้าเป็นจำนวนคี่ ก็แสดงว่าจุดนั้นอยู่ภายใน ถ้าเป็นจำนวนคู่ จุดนั้นอยู่ภายนอก

ประเด็นของผู้เขียนมี 2 ส่วนหลัก ๆ คือ นอกจากวิธีพิสูจน์แบบตะกี้จะมีข้อผิดแล้ว ยังขาดจินตนาการเกินไป JCT ไม่ trivial ขนาดนั้น ดูตัวอย่างรูปนี้สิ (รูปนี้แหละครับ) เส้นโค้งที่เห็นเป็นเส้นโค้งจอร์แดน แต่มันไม่ง่ายเลยที่จะให้นักเรียนตอบว่าพื้นที่ไหนคือพื้นที่ภายใน ภายนอก อันนี้คือประเด็นสุนทรียะ อีกประเด็นคือเรื่องข้อผิดพลาดซึ่งจะเกิดขึ้นเมื่อ ถ้าเราใช้ฟังก์ชั่นอย่างฟังก์ชั่น Weierstrass ในการสร้างเส้นโค้งจอร์แดน (ฟังก์ชั่น Weierstrass เป็นฟังก์ชั่นต่อเนื่อง นั่นคือ เราใช้มันสร้างเส้นที่ต่อเนื่องได้ แต่ไม่มีจุดไหนบนฟังก์ชั่นนี้เลยที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ พูดภาษาชาวบ้านคือ เป็นเส้นที่ยึกยักทุกจุด) ทำให้เวลาเราลากเส้นตรงจากจุดใด ๆ ที่ไม่อยู่บนเส้นโค้งออกไปนอกรูปที่วาดด้วยเส้นโค้ง จำนวนจุดตัดอาจเป็นอนันต์ได้ จำนวนคู่ คี่ ก็ไม่ถูกนิยาม :))




 

Create Date : 30 มกราคม 2557    
Last Update : 30 มกราคม 2557 20:10:45 น.  

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.