Bloggang.com : ตะกั่ว-หนึ่งสี่ศูนย์ -

ดุลสมการเคมีด้วยการแก้ระบบสมการ

ออกตัวก่อนว่าวิธีนี้ผมคิดขึ้นมาเองนะครับ แล้วก็ชอบใช้ประจำเวลาเจอสมการแปลก ๆ ด้วย แต่จะมีคนอื่นคิดหรือสอนมาก่อนหน้านี้หรือเปล่านี่ผมคิดว่ามีแน่นอน (มั่นใจกันง่าย ๆ แบบนี้เลย!)

สมมติว่าถ้ามีสมการเคมีอยู่สักสมการนึง แล้วต้องการจะดุลสมการนี้ หลายคนคงพยายามลองพยายามเปลี่ยนตัวเลขไปเรื่อย ๆ จนกว่าจำนวนของอะตอมชนิดเดียวกันในแต่ละฝั่งของสมการจะเท่ากัน สมการบางสมการนั้นก็พอทำได้ง่าย ๆ อยู่ครับ แต่บางสมการก็ชวนปวดหัว เพราะบางธาตุก็โผล่มันแทบจะทุกสารเลยทีเดียว เปลี่ยนเลขโน้นก็กระทบ เปลี่ยนเลขนี้ก็กระทบ วันนี้ก็เลยแนะนำอีกวิธีครับ

นั่นก็คือ...

การดุลสมการด้วยการแก้ระบบสมการ

เอาเป็นว่ายกตัวอย่างเลยก็แล้วกันน่าจะเข้าใจง่ายกว่า

สมการแรก

P₄ + HNO₃ → H₃PO₄ + NO₂ + H₂O

ขั้นตอนแรก กำหนดให้บรรดาสัมประสิทธิ์ต่าง ๆ หน้าสูตรของสารเป็นตัวแปรครับ ในที่นี้จะไล่ตั้งแต่ a₁, a₂, ... ไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะครบทุกสาร

a₁P₄ + a₂HNO₃ → a₃H₃PO₄ + a₄NO₂ + a₅H₂O

ขั้นตอนที่สอง พิจารณาทีละธาตุ แล้วก็นับจำนวนอะตอมของธาตุในแต่ละฝั่ง เริ่มจาก P ก่อนแล้วกันครับ

ฝั่งซ้าย P₄ จำนวน a₁ โมล ใน 1 โมลมี P อยู่ 4 โมลอะตอม ดังนั้น ฝั่งซ้ายจะมี P อยู่ 4a₁ โมลอะตอม ส่วนฝั่งขวามี H₃PO₄ อยู่จำนวน a₃ โมล ใน 1 โมลมี P อยู่ 1 โมลอะตอม ดังนั้นฝั่งขวาก็จะมี P อยู่ a₃ โมลอะตอม ซึ่งเขียนเป็นสมการทางคณิตศาสตร์ได้ว่า 4a₁ = a₃

เมื่อทำครบทั้ง 4 ธาตุ (P H N และ O) แล้วก็จะได้ระบบสมการ 5 ตัวแปร 4 สมการแบบนี้ครับ

P	4a₁	=	a₃
H	a₂	=	3a₃ + 2a₅
N	a₂	=	a₄
O	3a₂	=	4a₃ + 2a₄ + a₅

ซึ่งแน่นอนว่าระบบสมการแบบนี้ (ที่มีจำนวนตัวแปรมากกว่าจำนวนสมการ) จะไม่มีทางได้คำตอบชุดเดียวแน่นอน เพราะอย่างที่รู้กันว่าเราสามารถเอาจำนวนใด ๆ มาคูณตลอดสมการเคมีที่ดุลแล้วได้โดยที่สมการใหม่ก็ยังคงดุลอยู่เหมือนเดิม ฉะนั้น ถ้าได้คำตอบมาแค่ชุดเดียวจากคำตอบที่มีอยู่เป็นล้าน ๆ ชุดก็ถือว่าใช้ได้แล้วครับ

และแน่นอนว่าเรามีวิธีในการเลือกชุดคำตอบที่เหมาะสมที่สุดหรือใกล้เคียงอยู่แล้ว ดูต่อไปเลยดีกว่า

ขั้นตอนที่สาม ลดทอนระบบสมการให้แก้ง่ายขึ้นด้วยการกำหนดค่าและการแทนค่า

สมการของ P อยู่ในรูปแบบ n₁a₁ = n₂a₂ โดยที่ n₁ และ n₂ เป็นจำนวน (แต่จะเป็น a₁ กับ a₃ หรือ a₅ กับ a₇ ก็ได้ครับ ไม่จำเป็นต้องเป็นแค่ a₁ กับ a₂) ส่วนสมการของ N อยู่ในรูป a₁ = a₂ จดจำรูปแบบสมการสองแบบนี้ให้ดีครับ

ถ้าเจอสมการรูปแบบเดียวกับสมการของ P ให้จับไขว้ตัวเลขเลยครับ ให้ค่าของตัวแปรนึงเท่ากับสัมประสิทธิ์ของอีกตัวแปรนึง ในกรณีนี้คือ 4a₁ = a₃ เราก็กำหนดไปเลยว่า a₁ = 1 และ a₃ = 4

ถ้าเจอสมการรูปแบบเดียวกับสมการของ N ก็ใช้สมการนี้เพื่อแทนค่าเลยครับ

ณ ขณะนี้ เรามีข้อกำหนดแล้วว่า a₁ = 1, a₃ = 4 และ a₂ = a₄ ก็จับแทนค่าไปในระบบสมการเดิมเลยครับ

P	4a₁	=	a₃
-> P'	4	=	4
H	a₂	=	3a₃ + 2a₅
-> H'	a₂	=	2a₅ + 12
N	a₂	=	a₄
-> N'	a₂	=	a₂
O	3a₂	=	4a₃ + 2a₄ + a₅
-> O'	3a₂	=	2a₂ + a₅ + 16
จัดรูป	a₂	=	a₅ + 16

จะเห็นว่าสมการ P' และ N' ในขณะนี้อยู่ในรูปของจำนวนหรือตัวแปรเดียวกันทั้งสองข้างของสมการแล้วครับ จึงไม่จำเป็นต้องพิจารณาสองสมการนี้แล้ว ฉะนั้นตอนนี้จากเดิมที่เป็นระบบสมการ 5 ตัวแปร 4 สมการ ได้ถูกลดทอนลงมาเหลือ 2 ตัวแปร 2 สมการแล้วครับ นั่นคือ

H'	a₂	=	2a₅ + 12
O'	a₂	=	a₅ + 16

ซึ่งสามารถแก้ออกมาได้ว่า a₂ = 20 และ a₅ = 4 ครับ และจาก a₂ = a₄ ก็จะได้ว่า a₄ = 20 ด้วย

สรุปคำตอบ a₁ = 1, a₂ = 20, a₃ = 4, a₄ = 20 และ a₅ = 4

ถ้ามีจำนวนใดสามารถหารตลอดสมการได้ (ซึ่งในกรณีนี้ไม่มีแล้วนอกจาก 1) ก็นำมาหารตลอดเพื่อลดทอนให้เป็นอัตราส่วนอย่างต่ำ และถ้าคำตอบบางตัวเป็นเศษส่วนก็ต้องเอาจำนวนมาคูณตลอดสมการเพื่อให้เป็นจำนวนเต็มเช่นกันครับ ซึ่งในกรณีนี้ไม่มีปัญหา

ขั้นตอนที่สี่ แทนค่าตัวแปรทั้งหมดกลับเข้าไปในสมการเคมี

จากขั้นตอนที่แล้ว a₁ = 1, a₂ = 20, a₃ = 4, a₄ = 20 และ a₅ = 4 เราก็จะได้ว่า

P₄ + 20HNO₃ → 4H₃PO₄ + 20NO₂ + 4H₂O

ขั้นตอนที่ห้า ตรวจคำตอบ

ฝั่งซ้าย (สารตั้งต้น)	ฝั่งขวา (ผลิตภัณฑ์)
P - 1 x 4 = 4 โมลอะตอม	P - 4 x 1 = 4 โมลอะตอม
H - 20 x 1 = 20 โมลอะตอม	H - 4 x 3 + 4 x 2 = 20 โมลอะตอม
N - 20 x 1 = 20 โมลอะตอม	N - 20 x 1 = 20 โมลอะตอม
O - 20 x 3 = 60 โมลอะตอม	O - 4 x 4 + 20 x 2 + 4 x 1 = 60 โมลอะตอม

เป็นอันว่าสมการนี้ดุลแล้วเรียบร้อยครับ

คราวนี้เรามาดูตัวอย่างที่สองกันบ้าง

สมการที่สอง

MnO₂ + K₂CO₃ + KNO₃ → K₂MnO₄ + KNO₂ + CO₂

ขั้นตอนแรก กำหนดตัวแปรเหมือนเดิมเลยครับ

a₁MnO₂ + a₂K₂CO₃ + a₃KNO₃ → a₄K₂MnO₄ + a₅KNO₂ + a₆CO₂

ขั้นตอนที่สอง นับจำนวนอะตอมของธาตุแต่ละชนิดในแต่ละฝั่งของสมการแล้วเขียนเป็นระบบสมการคณิตศาสตร์

Mn	a₁	=	a₄
O	2a₁ + 3a₂ + 3a₃	=	4a₄ + 2a₅ + 2a₆
K	2a₂ + a₃	=	2a₄ + a₅
C	a₂	=	a₆
N	a₃	=	a₅

ขั้นตอนที่สาม ลดทอนระบบสมการให้ง่ายขึ้น

ตอนนี้มีอยู่สามสมการที่น่าจะเอามาใช้ลดทอนได้ ได้แก่สมการ Mn (a₁ = a₄), สมการ C (a₂ = a₆) และสมการ N (a₃ = a₅) อย่างไรก็ตาม การกำหนดค่าที่เป็นจำนวนนั้นจะกำหนดได้เพียงสมการเดียวเท่านั้นเพื่อให้คำตอบที่ได้ยังคงถูกต้อง ในที่นี้จะเลือกกำหนดค่าของสมการ Mn โดยให้ a₁ = a₄ = 1 ครับ

เราจะได้ข้อกำหนด a₁ = a₄ = 1, a₂ = a₆ และ a₃ = a₅ ซึ่งเราจะเอาข้อกำหนดเหล่านี้มาแทนค่าลงไปในระบบสมการแรกครับ

Mn'	1	=	1
O'	3a₂ + 3a₃ + 2	=	2a₂ + 2a₃ + 4
จัดรูป	a₂ + a₃	=	2
K'	2a₂ + a₃	=	a₃ + 2
จัดรูป	2a₂	=	2
C'	a₂	=	a₂
N'	a₃	=	a₃

จากสมการ K' ที่จัดรูปแล้วเราจะได้ว่า 2a₂ = 2 หรือก็คือ a₂ = 1 นั่นเอง เมื่อแทนค่าลงไปในสมการ O' ที่จัดรูปแล้วก็จะได้ว่า a₃ ก็เท่ากับ 1 ด้วย นอกจากนี้ จากสมการ C ที่ว่า a₂ = a₆ และสมการ N ที่ว่า a₃ = a₅ ก็ทำให้ได้ต่อไปว่า ทั้ง a₅ และ a₆ ก็เท่ากับ 1 ด้วยเช่นกัน

สรุปคำตอบ a₁ = 1, a₂ = 1, a₃ = 1, a₄ = 1, a₅ = 1 และ a₆ = 1

ขั้นตอนที่สี่ แทนค่ากลับลงไปในระบบสมการเดิม

เราก็จะได้สมการที่ดุลแล้วก็คือ

MnO₂ + K₂CO₃ + KNO₃ → K₂MnO₄ + KNO₂ + CO₂

(ก็คือสมการโจทย์นั่นแหละ ที่จริงถ้ามีเวลาก็ลองเช็คดูก่อนดีกว่านะครับว่าสมการนั้นดุลอยู่แล้วตั้งแต่แรกหรือเปล่า)

ขั้นตอนที่ห้า ตรวจคำตอบ

ฝั่งซ้าย (สารตั้งต้น)	ฝั่งขวา (ผลิตภัณฑ์)
Mn - 1 x 1 = 1 โมลอะตอม	Mn - 1 x 1 = 1 โมลอะตอม
O - 1 x 2 + 1 x 3 + 1 x 3 = 8 โมลอะตอม	O - 1 x 4 + 1 x 2 + 1 x 2 = 8 โมลอะตอม
K - 1 x 2 + 1 x 1 = 3 โมลอะตอม	K - 1 x 2 + 1 x 1 = 3 โมลอะตอม
C - 1 x 1 = 1 โมลอะตอม	C - 1 x 1 = 1 โมลอะตอม
N - 1 x 1 = 1 โมลอะตอม	N - 1 x 1 = 1 โมลอะตอม

เป็นอันว่าสมการนี้ดุลแล้วเรียบร้อยครับ

ในบางครั้งเราอาจจะได้คำตอบที่เป็นเศษส่วน ก็อย่าเพิ่งตกใจไปครับ มาดูตัวอย่างนี้กันดีกว่า

KNO₃ + C₁₂H₂₂O₁₁ → N₂ + CO₂ + H₂O + K₂CO₃

_{ขั้นตอนแรก เหมือนเดิมครับ กำหนดตัวแปรก่อน}

a₁KNO₃ + a₂C₁₂H₂₂O₁₁ → a₃N₂ + a₄CO₂ + a₅H₂O + a₆K₂CO₃

ขั้นตอนที่สอง เขียนระบบสมการทางคณิตศาสตร์จากสมการเคมีโดยนับจำนวนโมลอะตอมธาตุแต่ละชนิด

K	a₁	=	2a₆
N	a₁	=	2a₃
O	3a₁ + 11a₂	=	2a₄ + a₅ + 3a₆
C	12a₂	=	a₄ + a₆
H	22a₂	=	2a₅

ขั้นตอนที่สาม ลดทอนระบบสมการให้ง่ายขึ้น

จากสมการ K และสมการ N เราจะได้ a₁ = 2a₆ และ a₁ = 2a₃ ดังนั้นเราสามารถสรุปต่อไปได้ว่า a₃ = a₆ ด้วยเช่นกัน นอกจากนี้ จากสมการ H เราจะได้ว่า 22a₂ = 2a₅ หรือนั่นก็คือ a₅ = 11a₂ นั่นเอง ดังนั้นเราก็จะกำหนดให้ a₅ = 11 และ a₂ = 1 ครับ

แทนค่า a₃ = a₆, a₁ = 2a₆, a₅ = 11 และ a₂ = 1 ลงไปในระบบสมการเดิมของเรา ตอนนี้เราจะได้

K'	2a₆	=	2a₆
N'	2a₆	=	2a₆
O'	6a₆ + 11	=	2a₄ + 3a₆ + 11
จัดรูป	3a₆	=	2a₄
C'	12	=	a₄ + a₆
H'	22	=	22

ทำให้ตอนนี้เราเหลือระบบสมการที่ลดทอนแล้วแค่นี้ครับ

O'	2a₄ - 3a₆	=	0
C'	a₄ + a₆	=	12

เมื่อแก้ระบบสมการนี้จะทำให้ได้ว่า a₄ = ³⁶/₅ และ a₆ = ²⁴/₅ และจากเงื่อนไขก่อนหน้านี้ที่ระบุว่า a₁ = 2a₆ และ a₃ = a₆ ก็จะทำให้ได้ว่า a₃ = ²⁴/₅ และ a₁ = ⁴⁸/₅ ครับ

สรุปคำตอบ a₁ = ⁴⁸/₅, a₂ = 1, a₃ = ²⁴/₅, a₄ = ³⁶/₅, a₅ = 11 และ a₆ = ²⁴/₅ ซึ่งจะเห็นว่ามีสัมประสิทธิ์ถึงสี่ตัวที่เป็นเศษส่วน ดังนั้นจึงต้องหาจำนวนเต็มมาคูณคำตอบทุกตัวเพื่อให้ทุกคำตอบเป็นจำนวนเต็มครับ ในที่นี้จะใช้ 5 มาคูณ (เพราะตัวส่วนเป็น 5 อยู่แล้ว) และเราก็จะได้ว่า

a₁ = 48, a₂ = 5, a₃ = 24, a₄ = 36, a₅ = 55 และ a₆ = 24 ซึ่งเป็นคำตอบที่เป็นอัตราส่วนอย่างต่ำครับ

ขั้นตอนที่สี่ แทนค่ากลับไปในสมการเคมีเดิม

เราก็จะได้ดังนี้ครับ

48KNO₃ + 5C₁₂H₂₂O₁₁ → 24N₂ + 36CO₂ + 55H₂O + 24K₂CO₃

ขั้นตอนที่ห้า ตรวจคำตอบ

ฝั่งซ้าย (สารตั้งต้น)	ฝั่งขวา (ผลิตภัณฑ์)
K - 48 x 1 = 48 โมลอะตอม	K - 24 x 2 = 48 โมลอะตอม
N - 48 x 1 = 48 โมลอะตอม	N - 24 x 2 = 48 โมลอะตอม
O - 48 x 3 + 5 x 11 = 199 โมลอะตอม	O - 36 x 2 + 55 x 1 + 24 x 3 = 199 โมลอะตอม
C - 5 x 12 = 60 โมลอะตอม	C - 36 x 1 + 24 x 1 = 60 โมลอะตอม
H - 5 x 22 = 110 โมลอะตอม	H - 55 x 2 = 110 โมลอะตอม

เป็นอันว่าสมการนี้ดุลเรียบร้อยครับ (ถึงสัมประสิทธิ์บางตัวจะปาเข้าไปประมาณ 50 ก็เถอะ)

ขอบคุณที่อ่านเนื้อหานี้นะครับ หวังว่าเทคนิคนี้จะช่วยให้ดุลสมการได้ง่ายขึ้น อย่างไรก็ตาม สิ่งที่สำคัญที่สุดในการดุลสมการหรือการแก้โจทย์ปัญหาอื่นใดก็คือสติครับ

หวังว่าคงจะได้มาเขียนอะไรแบบนี้อีก สวัสดีครับ

Create Date : 31 กรกฎาคม 2558
Last Update : 6 สิงหาคม 2558 23:30:29 น.
Counter : 3383 Pageviews.

0 comment