ปริศนาอัศวินเปลี่ยนฝั่ง

จากกระทู้ http://www.pantip.com/cafe/wahkor/topic/X4828234/X4828234.html

ปริศนาอัศวินเปลี่ยนฝั่ง (Switch the knights)

เดือนธันวาคม ปีพุทธศักราช 2522 นิตยสาร Scientific American ได้ตั้งปริศนาท้าทายสมองผู้อ่าน

กระดานหมากรุกขนาด 3x4
มี อัศวินดำ 3 อัศวินขาว 3
ดังรูปข้างล่างนี้

ถ้าต้องการให้อัศวินดำและอัศวินขาว สลับตำแหน่งกัน ต้องขยับหมากเดินน้อยที่สุดกี่ที

(อย่าตอบว่าหมุนกระดาน 180 องศามานะครับ ---น่ารักเกินไป)


จากคุณ : ศล - [ 27 ต.ค. 49 13:37:29 ]



ความคิดเห็นที่ 1

สรุปความจาก Across the Board โดย John J. Watkins สำนักพิมพ์ Princeton Univerity Press

ว่ากันว่าปริศนากระดานหมากรุกเริ่มตั้งแต่ปี 1512 รู้จักกันในนาม Guarini's Problem
กระดานหมากรุกขนาด 3x3
มีอัศวินดำ 2 อัศวินขาว 2
ถ้าต้องการสลับตำแหน่งขาวกับดำ ต้องเดินทั้งหมดกี่ครั้ง

(ลองทำดูได้ครับ ง่าย)



จากคุณ : ศล - [ 27 ต.ค. 49 13:38:25 ]



ความคิดเห็นที่ 2

โจทย์ข้อนี้สามารถนำกราฟมาช่วยได้ครับ
และเปลี่ยนให้ปริศนาหมากรุก กลายเป็นปัญหาคณิตศาสตร์

รูปด้านล่างทางซ้ายมือ
เราลากเส้นเชื่อมโยงจุดที่อัศวินสามารถเดินได้เข้าด้วยกัน
อาจจะดูเป็นรูปซับซ้อน
แต่เมื่อเราคลี่มันออกมา จะเป็นดังรูปขวามือ

ได้กราฟ 1 วง
จากกราฟเห็นชัดเจนว่า
ในการเคลื่อนย้ายอัศวินนั้นเราไม่มีทางเลือกเลย
ถ้าไม่หมุนทวนเข็มนาฬิกา ก็ต้องหมุนตามเข็มนาฬิกา
จนกว่าอัศวินทั้ง 2 ฝ่ายจะสลับตำแหน่งกัน

กราฟแก้ปัญหาหมากรุกข้อนี้ได้อย่างสวยงาม!


จากคุณ : ศล - [ 27 ต.ค. 49 13:39:10 ]



ความคิดเห็นที่ 7

ใช้แนวทางเดียวกับ #2 ครับ
แทนช่องแต่ละช่อง ด้วย A, B, C, ..., L
อัศวินดำอยู่ที่ช่อง A, B, C
อัศวินขาวอยู่ที่ช่อง J, K, L
ลากเส้นเชื่อมช่องที่เดินถึงกันได้ ตามรูปซ้าย
แล้วนำมาเขียนใหม่ให้ดูง่ายขึ้น โดยยังคงการเชื่อมโยงไว้เหมือนเดิม ตามรูปขวา


จากคุณ : Duke! - [ 27 ต.ค. 49 21:59:52 ]



ความคิดเห็นที่ 8

จากนั้น ก็เดินตามลูกศรในรูปข้างล่าง
(เดินตามลำดับลูกศรด้วยนะครับ)

ถ้ายึดระบบอ้างอิงตามรูปใน #7 ขวา ก็จะได้ว่า
ขั้นที่ 1 อัศวินดำที่อยู่ช่อง C เดินจาก C -> D -> I
ขั้นที่ 2 อัศวินขาวที่อยู่ช่อง K เดินจาก K -> D -> C
ขั้นที่ 3 อัศวินดำที่อยู่ช่อง A เดินจาก A -> F -> K
ขั้นที่ 4 อัศวินขาวที่อยู่ช่อง L เดินจาก L -> G -> F -> A
...
ทำไปจนถึงขั้นที่ 8 ก็จะได้อัศวินดำมาแทนที่อัศวินขาว อัศวินขาวไปแทนที่อัศวินดำ

รวมแล้ว ต้องเดิน 16 ครั้ง ซึ่งเป็นจำนวนการเดินที่น้อยที่สุดเท่าที่จะทำได้แล้ว
ถ้าถามว่าพิสูจน์ยังไง ก็ขอตอบว่า พิสูจน์ด้วยโปรแกรมคอมพิวเตอร์ครับ อิอิ


จากคุณ : Duke! - [ 27 ต.ค. 49 22:24:44 ]




 

Create Date : 28 ตุลาคม 2549    
Last Update : 28 ตุลาคม 2549 1:43:07 น.
Counter : 498 Pageviews.  

โจทย์คณิตฯ จากนิตยสาร Quantum ของสมาคมครูวิทยาศาสตร์สหรัฐฯ (NSTA)







เฉลย

สร้าง Vector ขึ้นมา 4 อัน ได้แก่
A(x, sqrt(1-x2))
B(y, sqrt(4-y2))
C(z, sqrt(9-z2))
D(t, sqrt(16-t2))

|A|, |B|, |C|, |D| เท่ากับ 1, 2, 3, 4 ตามลำดับ
ดังนั้น |A| + |B| + |C| + |D| = 10
จากกฎอสมการรูปสามเหลี่ยม จะได้
|A+B+C+D| <= |A| + |B| + |C| + |D|
|A+B+C+D| <= 10

แต่จากโจทย์ |A+B+C+D| = sqrt(82 + 62) = 10
ดังนั้น A, B, C, D จึงต้องเรียงตัวเป็นเส้นตรงเดียวกัน

เนื่องจาก A, B, C, D เรียงตัวเป็นเส้นตรงเดียวกัน จึงทำมุมกับแกน X เป็นขนาดเท่ากัน
ก็แก้หาค่า x, y, z, t ได้โดยง่าย




 

Create Date : 28 ตุลาคม 2549    
Last Update : 28 ตุลาคม 2549 1:29:20 น.
Counter : 573 Pageviews.  

Truel

Truel เป็นปัญหาในทฤษฎีเกม (Game theory - คณิตศาสตร์สาขาหนึ่ง ศึกษาเกี่ยวกับกลยุทธ์ของผู้เล่นที่ต่างก็ต้องการให้ตนเองได้ผลลัพธ์สูงสุด มีการนำมาประยุกต์ใช้ในวิชาเศรษฐศาสตร์อย่างมากมาย) ว่าด้วยการดวลปืนของคน 3 คน ปัญหาที่ว่าเป็นอย่างไร? เชิญอ่านได้ครับ


สมมติว่ามีคน 3 คน ได้แก่ นายดำ นายเทา และนายขาว


นายดำ ยิงปืนแม่น 1/3 (ยิง 3 นัดจะเข้าเป้าสัก 1 นัด)
นายเทา ยิงปืนแม่น 2/3
นายขาว ยิงปืนแม่น 3/3 (เข้าเป้าทุกนัด ถ้านายขาวยิงใคร คนนั้นก็ต้องตายแน่นอน)

เพื่อความยุติธรรม เราจึงให้ นายดำยิงก่อน โดยจะเลือกยิงนายเทาหรือนายขาวก็ได้
จากนั้นจะให้นายเทาเลือกยิงต่อ (ถ้านายเทายังมีชีวิตอยู่)
และสุดท้ายจะให้นายขาวยิง (ถ้านายขาวยังมีชีวิตอยู่)
ถ้ายังเหลือคนรอดชีวิตมากกว่า 1 คน ก็จะวนกลับไปให้นายดำเป็นผู้ยิงใหม่
ผู้รอดชีวิตคนสุดท้ายเป็นผู้ชนะ

คำถามคือ นายดำ ควรยิงใครก่อนดีจึงจะมีโอกาสรอดมากที่สุด?

สังเกตว่า เรื่องความแค้นนั้นไม่มีผล (เช่น คุณบังอาจยิงผม ฉะนั้น ผมต้องยิงคุณกลับ!) เพราะสุดท้าย ก็ต้องมีผู้รอดชีวิตเพียงคนเดียว ต่างฝ่ายจึงต้องใช้กลยุทธ์ให้ตัวเองมีโอกาสรอดมากที่สุด มากกว่าจะดูเรื่องบุญคุณ


ลองคิดกันดูครับ คิดออกแล้วก็เลื่อนลงไปดูเฉลยกันเลย












เฉลย

เราจะมาดูกันว่า นายดำ ควรเลือกยิงนายเทาหรือยิงนายขาวก่อนดี?

ถ้ายิงนายเทาก่อน
- ยิงพลาด โอกาสรอด x
- ยิงถูก (และโดนนายขาวยิงกลับ) ไม่มีโอกาสรอด

ถ้ายิงนายขาวก่อน
- ยิงพลาด โอกาสรอด x
- ยิงถูก (และโดนนายเทายิงกลับ) ยังมีโอกาสรอด

เปรียบเทียบทั้งสองกรณี
- กรณีที่ยิงพลาด จะมีโอกาสรอดเท่ากับ x เท่ากัน
- กรณีที่ยิงถูก นายดำที่เลือกยิงนายเทา จะต้องตายแน่นอน แต่นายดำที่เลือกยิงนายขาว จะมีโอกาสรอดบ้าง

ดังนั้น ยิงนายขาว จึงดีกว่ายิงนายเทา




มีวิธีที่ดีกว่านี้อีกไหม?

มีครับ! บางท่านอาจจะงงว่า ถ้าไม่ยิงนายดำและไม่ยิงนายขาว แล้วจะให้ยิงอะไร? (ยิงคนตั้งคำถามหรือไง) คำตอบคือ ยิงอากาศ (ก็คือไม่ต้องยิงอะไรเลยนั่นแหละ)

อย่าเพิ่งสงสัยว่า มีโอกาสยิงได้ทั้งที ทำไมถึงไม่ยิง แล้วมันจะดีกว่า การยิงนายขาวได้ยังไง

มาดูวิธีคิดกันครับ


ถ้ายิงนายขาวก่อน
- ยิงพลาด โอกาสรอด x
- ยิงถูก ก็จะต้องดวลตัวต่อตัวกับนายเทา โดยที่นายเทาเป็นฝ่ายเริ่มก่อน ให้โอกาสรอด y

ถ้าไม่ยิงใครเลย
- โอกาสรอด x


ระหว่าง x กับ y อะไรดีกว่ากัน?


พิจารณาสถานการณ์ x
ถ้านายเทาเป็นฝ่ายยิง นายเทาจะยิงนายขาวเสมอ เพราะนายขาวแม่นปืนที่สุด
และหากนายขาวเป็นฝ่ายยิง นายขาวจะยิงนายเทาเสมอ เพราะนายเทาแม่นปืนกว่านายดำ
ดังนั้น เทากับขาว จึงฆ่ากันเอง โดยที่นายดำไม่เกี่ยวข้อง
สุดท้าย จึงเป็นการดวลตัวต่อตัวระหว่าง นายดำกับใครสักคน โดยที่นายดำได้เป็นฝ่ายเริ่มยิงก่อน

- หากนายดำต้องดวลกับนายเทา นายดำเป็นฝ่ายเริ่มยิงก่อน ดังนั้น โอกาสรอดมากกว่า y
- หากนายดำต้องดวลกับนายขาว ถ้านายดำยิงพลาด นายดำก็จะต้องตาย โอกาสรอดจึงเท่ากับ 1/3
ซึ่งมากกว่า y เพราะ y คือ การดวลระหว่างนายดำกับนายเทาโดยนายเทาเริ่มยิงก่อน โอกาสที่นายดำจะรอดจากการถูกนายเทายิงครั้งแรกเท่ากับ 1/3 ถ้านายดำยิงพลาด นายเทาก็จะได้ยิงอีก ดังนั้น โอกาสที่นายดำจะรอดจึงน้อยกว่า 1/3

เห็นได้ว่า สถานการณ์ x ดีกว่าสถานการณ์ y

การไม่ยิงใครเลยจึงเป็นวิธีที่ดีที่สุด


บทสรุป

Truel เป็นปัญหาที่จำลองมาจากสถานการณ์ระหว่าง คน 3 คน หรือกลุ่ม 3 กลุ่มที่มีความขัดแย้งกัน โดยแต่ละฝ่ายไม่สามารถอาศัยร่วมกันแบบพึ่งพากันได้เพราะมีการขัดผลประโยชน์กันและกัน จึงต้องมีการกำจัดให้เหลือผู้รอดเพียงหนึ่งเดียว ในปัจจุบันเราจะพบเรื่องแบบนี้อยู่ทั่วไป

กลยุทธ์ที่ดีที่สุดสำหรับฝ่ายที่อ่อนแอกว่าก็คือ ให้ฝ่ายที่แข็งแรงกว่าต่อสู้กันเอง แต่วิธีนี้ก็ไม่สามารถใช้ได้เสมอไป เพราะในสถานการณ์จริงมีความซับซ้อนมากกว่าและอาจไม่เป็นไปตามเงื่อนไข เช่น ไม่มีการกำหนดว่าใครเป็นฝ่ายเริ่มก่อน และอาจมีการร่วมมือกันก็เป็นได้ Truel จึงเป็นปัญหาที่น่าสนใจปัญหาหนึ่งครับ

ที่มา : จากหนังสือ Fermat's Last Theorem - Simon Singh




 

Create Date : 02 กันยายน 2549    
Last Update : 28 ตุลาคม 2549 1:52:40 น.
Counter : 196 Pageviews.  

15 Puzzle

เมื่อวานไปอ่านหนังสือที่ KinoKuniya บน Siam Paragon เจอหนังสือเล่มหนึ่งเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ มีกล่าวถึงปัญหา 15 Puzzle ไว้น่าสนใจทีเดียวครับ

เกม 15 Puzzle คือเกมที่ประกอบด้วย tile จำนวน 15 ชิ้น แต่ละชิ้นจะมีเลขตั้งแต่ 1-15 เขียนอยู่ วางอยู่บนตารางขนาด 4x4 มันจึงเหลือช่องว่าง 1 ช่อง ดังรูป

1234
5678
9101112
131415 


ในตอนเริ่มเกม tile เหล่านี้จะไม่ได้เรียงกันดังรูปแรก อาจจะเรียงกันมั่วๆแบบนี้

1234
5678
9 1012
13141115


เป้าหมายของเกม คือ เลื่อน tile ให้กลับไปเป็นดังรูปแรก โดยจะต้องเลื่อน tile ชิ้นที่ติดอยู่กับช่องว่างได้เท่านั้น เช่น สมมติว่าเราจะเลื่อน tile เลข 10

1234
5678
9 1012
13141115


ก็จะได้เป็น

1234
5678
910 12
13141115


เชื่อว่าหลายๆท่านคงเคยเล่นกันมาแล้ว ท่านอาจจะลองสลับเลขมั่วๆดู แล้วลองเล่นดูว่าจะชนะได้หรือไม่ ยิ่งเล่นมากๆ ก็จะยิ่งเห็นแนวทางของเกม



เรื่องมีอยู่ว่า นาย Sam Loyd เป็นคนที่ชอบเล่น puzzle นี้มาก เขาได้เจอปัญหาหนึ่งที่คิดเท่าไหร่ก็คิดไม่ออก! ปัญหาที่ว่าเป็นดังนี้ ถ้าสถานะเริ่มต้นของเกมเป็นแบบรูปข้างล่าง (สังเกตเลข 14 กับ 15 อยู่สลับตำแหน่งกัน) จะมีวิธีสลับให้ไปเป็นสถานะที่เลขเรียงกันได้หรือไม่?

1234
5678
9101112
131514 



เขาท้าผู้คนว่า ถ้าใครสามารถแก้ปัญหานี้ได้ เขาจะให้เงิน $1000 เพราะเขานั่งคิดนอนคิดมาหลายวันแล้วก็คิดไม่ออก ปรากฏว่ามีคนส่งจดหมายมาหาเขาว่าแก้ได้แล้วมากมาย แต่หลังจากที่ได้อ่านจดหมายเหล่านั้นก็พบว่าล้วนเป็นวิธีที่ผิดพลาด หรือไม่ก็โกงทั้งสิ้น (เช่น แอบยก tile ออกมานอกตารางมากลับกัน)

และแล้วเขาก็พบว่าปัญหาที่ว่านี่ ไม่มีทางแก้ได้ อะไรทำให้เขามั่นใจเช่นนี้ ท่านผู้อ่านลองพิสูจน์เองไหมครับ อย่าเพิ่งลงไปดูเฉลยข้างล่าง : )




บทพิสูจน์

Sam Loyd ใช้วิธีพิสูจน์อย่างไร แนวคิดของการพิสูจน์เป็นอย่างนี้ครับ

Loyd ใช้วิธีการหาคุณสมบัติของคำตอบ

สมมติว่า มีของอยู่ในกล่องใบหนึ่งที่ปิดมิดชิด เราไม่รู้ว่าของในกล่องนั้นคืออะไร แต่เราสามารถรู้น้ำหนักของของชิ้นนั้นได้ด้วยการชั่งน้ำหนัก รู้ความแข็งแรงได้ ด้วยการเขย่ากล่อง และรู้คุณสมบัติได้อีกหลายๆอย่าง โดยที่ไม่จำเป็นต้องเห็น

เช่นเดียวกัน สมมติว่าคำตอบมันมีจริง
เขาไม่รู้หรอกว่าคำตอบมันหน้าตาเป็นอย่างไร แต่เขาใช้เทคนิคบางอย่างเพื่อหาว่าคำตอบมันมีคุณสมบัติอย่างไร และก็พบว่าคุณสมบัติที่หาได้มันขัดแย้งกันเอง ดังนั้น จึงสรุปได้ว่า คำตอบไม่มีอยู่จริง

เราจะไปดูสมบัติของ 15 Puzzle กัน
สมบัติแรกของมันคือ Inversion
และสมบัติที่สองคือ ช่องว่างบนตารางหมากฮอส


Inversion

Inversion หรือการผกผัน ก็คือ คู่ของตัวเลขที่วางอยู่ผิดลำดับ เช่น

สมมติว่าเราต้องการเรียงตัวเลขจากน้อยไปมาก

พิจารณาลำดับต่อไปนี้
1, 2, 3, 5, 4, 6, 7, 8, 9, 10
จะพบว่า ลำดับนี้ไม่ได้เรียงจากน้อยไปมากอย่างแท้จริง เพราะ 5 กับ 4 วางผิดตำแหน่ง ที่ถูกคือ 4 มาก่อน 5 ดังนั้น (5, 4) จึงถือเป็น Inversion หนึ่ง

มาดูตัวอย่างต่อไป
2, 1, 4, 3, 5
Inversion ได้แก่ (2, 1), (4, 3)

10, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Inversion ได้แก่ (10, 1), (10, 2), (10, 3), …, (10, 9)

1, 4, 3, 2, 5
Inversion ได้แก่ (4, 3), (4, 2), (3, 2)

4, 3, 2, 1
Inversion ได้แก่ (4, 3), (4, 2), (4, 1), (3, 2), (3, 1), (2, 1)

1, 2, 3, 4
ลำดับนี้ไม่มี Inversion เลย เพราะเรียงกันอย่างถูกต้องทุกตัว

แล้วจะนับ Inversion ของตารางกันยังไง?

เราจะเขียนลำดับของตัวเลขแทนตาราง โดยไล่จากซ้ายไปขวาลงมาทีละแถว
และจะให้ช่องว่างของตารางเป็นหมายเลข 16
เช่น



61539
1410713
411112
8 25


ก็เขียนแทนด้วย
6, 15, 3, 9, 14, 10, 7, 13, 4, 1, 11, 12, 8, 16, 2, 5
จากนั้นจึงนับ Inversion ของลำดับที่ได้


ดังนั้น

1234
5678
9101112
131514 


จึงเขียนแทนด้วย
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 14, 16
จะพบว่าตารางนี้มี Inversion อยู่ 1 อัน ก็คือ (15, 14)


มีสมบัติที่น่าสนใจอยู่อันหนึ่งว่า
ถ้าเริ่มต้นตารางมีจำนวน Inversion เป็นจำนวนคู่แล้ว
หลังจากเราเลื่อน tile ไปชิ้นหนึ่ง Inversion ก็จะกลายเป็นจำนวนคี่
และในทางกลับกัน ถ้า Inversion เป็นจำนวนคี่ หลังเลื่อน tile ไปชิ้นหนึ่ง Inversion ก็จะกลายเป็นจำนวนคู่
(ตรงนี้ลองพิสูจน์เองดูครับ : ) ไม่ยาก )


เช่น เริ่มต้นเป็น
1234
5678
9101112
131415 

(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 มีจำนวน Inversion = 0 เป็นจำนวนคู่)

ลองเลื่อนชิ้น 12 ลงมา ได้เป็น

1234
5678
91011 
13141512


(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 13, 14, 15, 12 มี Inversion ได้แก่
(16, 13), (16, 14), (16, 15), (16, 12), (13, 12), (14, 12), (15, 12)
จำนวน Inversion = 7 เป็นจำนวนคี่)


ดังนั้น ลำดับของจำนวน Inversion ก็จะเป็นคู่กับคี่สลับกันไปเสมอ กล่าวคือ คี่ -> คู่ -> คี่ -> คู่ -> …

ถ้าเริ่มต้นเป็น 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 14, 16 (Inversion=1 เป็นคี่) จะทำให้เป็น 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 (Inversion=0 เป็นคู่) ก็จะต้องเลื่อน tile เป็นจำนวนคี่ครั้งแน่นอน ใช่ไหมครับ? : )

ดังนั้น เราก็รู้แล้วล่ะว่าถ้าคำตอบมันมีอยู่จริง คำตอบนั้นก็จะต้องมีการเลื่อน tile เป็นจำนวนคี่แน่ๆ อาจจะเป็น 1 ครั้ง, 3 ครั้ง, 5 ครั้ง, 7 ครั้ง, ... ก็ว่ากันไป แต่ถ้าใครบอกว่าเลื่อนเป็นจำนวนคู่ได้ก็แสดงว่าโม้แน่นอน


ตารางหมากฮอส

เอาล่ะ มาดูอีกประเด็นหนึ่ง คราวนี้มาระบายตารางให้เหมือนตารางหมากฮอส ด้วยการระบายสีดำ-ขาว สลับกัน

1234
5678
9101112
131415 


สังเกตว่า ช่องว่างตอนนี้อยู่บน ช่องสีดำ
ถ้าเราเลื่อน tile ช่องว่างก็จะไปอยู่บนสีขาว
เลื่อนต่อไปเรื่อยๆ ช่องว่างจะอยู่บนสีดำกับสีขาวสลับกัน

แต่ปัญหาของ Sam Loyd ช่องว่างอยู่บนช่องสีดำทั้งคู่
ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่า ถ้าคำตอบมีอยู่จริง มันจะต้องเลื่อนเป็นจำนวนคู่ครั้งแน่นอน


บทสรุป

จากสมบัติ Inversion พบว่าคำตอบต้องเลื่อน tile เป็นจำนวนคี่
แต่จากการใช้ตารางหมากฮอส พบว่าคำตอบต้องเลื่อน tile เป็นจำนวนคู่
ดังนั้น จึงสรุปได้ว่า ไม่มีคำตอบนั่นเอง

Sam Loyd ก็ไม่ต้องจ่าย $1000 ให้ใคร : D




 

Create Date : 08 สิงหาคม 2549    
Last Update : 28 ตุลาคม 2549 1:56:55 น.
Counter : 1609 Pageviews.  

เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต

เคยสงสัยกันไหมครับว่าทำไม เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต? บางคนอาจให้คำตอบว่า "จากนิยามของสับเซต: A เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวใน A เป็นสมาชิกของ B แต่เซตว่างไม่มีสมาชิก มันจึงเป็นสับเซตของทุกเซต" ซึ่งก็ถูก แต่อาจฟังดูงงๆ เราจะมาดูวิธีพิสูจน์อีกแบบหนึ่งครับ


ก่อนอื่น เราจะสมมติว่าประโยคที่เรากำลังพิสูจน์นั้นไม่จริง

สมมติว่า เซตว่างไม่เป็นสับเซตของทุกเซต
ดังนั้น จะต้องมี เซตบางเซต ที่เซตว่างไม่เป็นสับเซตของเซตนั้น
สมมติให้เซตนั้นคือเซต S

จากนิยามของสับเซต
A เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ ถ้า x เป็นสมาชิกของ A แล้ว x เป็นสมาชิกของ B

ก็จะเขียนอีกแบบได้ว่า

A ไม่เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ มี x บางตัวที่ x เป็นสมาชิกของ A และ x ไม่เป็นสมาชิกของ B

เนื่องจาก เซตว่างไม่เป็นสับเซตของเซต S
แสดงว่า "มี x บางตัว ที่ x เป็นสมาชิกของเซตว่าง และ x ไม่เป็นสมาชิกของเซต S"

เนื่องจากเซตว่างไม่มีสมาชิก ดังนั้น x ที่ว่าจึงไม่มีอยู่จริง เกิดข้อขัดแย้ง

เพราะฉะนั้น เซตว่างจึงเป็นสับเซตของทุกเซต ครับ




 

Create Date : 01 มิถุนายน 2549    
Last Update : 2 กันยายน 2549 9:23:02 น.
Counter : 3153 Pageviews.  

1  2  

Duke!
Location :


[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed

ผู้ติดตามบล็อก : 1 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add Duke!'s blog to your web]
Links
 

 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.