สาวน้อยร้อยเลข ตอน ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

by Hiroshi Yuki  /  แปลโดย บดินทร์ พรวิลาวัณย์

392 หน้า ราคา 300 บาท

กลับมาพบกันอีกครั้ง !!  กับนิยายภาคต่อในซีรีส์ “สาวน้อยร้อยเลข” ...ซึ่งหลายคนประทับใจเล่มแรก "สาวน้อยร้อยเลข ตอน ลำดับและเลขอนุกรม" มาแล้ว 

สาวน้อยร้อยเลข เล่ม 2 นี้มีชื่อตอนว่า “ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์” (โอ้วว... แค่ชื่อตอนก็ดูอลังการแล้ว)

เชื่อว่าหลายคนน่าจะเคยได้ยินชื่อทฤษฎีบทในตำนานนี้มาบ้าง แต่ขอเท้าความเพื่อรื้อฟื้นความทรงจำกันหน่อยแล้วกัน...

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ (Fermat's Last Theorem) มีจุดเริ่มต้นมาจากข้อความของปิแยร์ เดอ แฟร์มาต์ (Pierre de Fermat) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสที่เขียนข้อความทิ้งไว้ตรงขอบหนังสือเล่มหนึ่งที่เขากำลังศึกษาอยู่ในตอนนั้น ซึ่งเป็นหนังสือเกี่ยวกับสมการไดโอแฟนไทน์ หรือสมการพหุนามที่มีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็ม 

(อ๊ะ... อย่าเพิ่งตกใจ ชื่ออาจจะฟังดูยาก แต่เรื่องพวกนี้แม้แต่เด็ก ม.ต้น ก็เรียนแล้ว แค่ไม่ได้เจาะจงเรียนเพื่อหาผลเฉลยทั่วไปอย่างที่พี่ ๆ มหาลัยเขาเรียนกันเท่านั้นเอง)

สิ่งที่แฟร์มาต์เขียนไว้มีใจความว่า...

“ไม่มี n ที่มากกว่า 2 ที่ทำให้สมการ xⁿ + yⁿ = zⁿ เป็นจริง

...ข้าพเจ้าค้นพบบทพิสูจน์อันน่าอัศจรรย์

 แต่ที่ว่างตรงนี้แคบเกินกว่าจะบันทึกลงไป”

ในที่นี้ x, y, z และ n คือจำนวนเต็มบวก สมการนี้ดู ๆ ไปหน้าตาก็คล้ายกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส a² + b² = c² ที่เคยเรียนเลยใช่ไหม ซึ่งหมายความว่าถ้า n เป็น 2 สมการด้านบนนี้ก็เป็นจริง และเป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส

แต่ที่แฟร์มาต์บอกไว้คือ กรณีที่ n เป็น 3 ขึ้นไป จะไม่มี xⁿ + yⁿ = zⁿ นั่นเอง

เห็นไหม...ความหมายของทฤษฎีบทนี้ก็ไม่มีอะไรยาก แต่ที่กลายเป็นปริศนาท้าทายนักคณิตศาสตร์เรื่อยมา เพราะแม้จะเป็นผลบวกของ จำนวนเต็ม^{จำนวนเต็ม} แต่การอธิบายสมการนี้กลับไม่สามารถทำได้โดยอาศัยเพียงคุณสมบัติของจำนวนเต็ม จนผ่านมาหลายยุคหลายสมัย ผ่านการพิสูจน์โดยนักคณิตศาสตร์ชั้นยอดมาแล้วหลายคน ก็ยังเป็นได้เพียงบทพิสูจน์เฉพาะบางกรณีเท่านั้น

แล้วในที่สุด จากข้อความที่แฟร์มาต์เขียนทิ้งไว้ในศตวรรษที่ 17 จนล่วงเข้าสู่ศตวรรษที่ 20 จึงมีผู้ไขปริศนาข้อนี้ได้สำเร็จ เขาก็คือ แอนดรูว์ ไวลส์ (Andrew Wiles) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ผู้เติมเต็มจิ๊กซอว์ตัวสุดท้ายของการไขความลับในทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

ที่ต้องกินเวลาพิสูจน์นานถึงกว่า 3 ศตวรรษครึ่งนี้ ขอบอกก่อนว่าไม่ใช่เพราะนักคณิตศาสตร์สมัยก่อนไม่เก่ง แต่เป็นเพราะหลักการและทฤษฎีทางคณิตศาสตร์สมัยนั้นไม่เอื้อให้ทำได้ ต้องรอเวลาบ่มเพาะจนพัฒนาการทางคณิตศาสตร์ก้าวหน้ามาเป็นคณิตศาสตร์แขนงใหม่ จากยุคทฤษฎีจำนวนเบื้องต้นมาเป็นยุคทฤษฎีจำนวนเชิงเรขาคณิตแล้วนั่นเอง แนวทางการคลี่คลายปริศนาข้อนี้จึงค่อย ๆ ปรากฏโฉมให้เห็น แต่ถึงกระนั้น บทพิสูจน์ของไวลส์ก็ยังมีความหนานับร้อยหน้า และเป็นเรื่องยากที่คนทั่วไปจะเข้าใจ

ในการเดินทาง จุดหมายอาจสำคัญก็จริง แต่สิ่งที่ได้เรียนรู้ระหว่างนั้นสำคัญยิ่งกว่า...

สำหรับใน “สาวน้อยร้อยเลข” เล่ม 2 นี้ เราไม่ได้จะมาพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์อย่างเอาเป็นเอาตายหรือจะทำความเข้าใจให้ได้ทั้งหมด แต่ที่เราจะเรียนรู้กันในเล่มนี้คือ ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น อย่างเรื่องการหารลงตัว ตัวคูณร่วมน้อย ตัวหารร่วมมาก จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ และจำนวนพีทาโกรัส

แล้วไต่ระดับขึ้นไปเรื่อย ๆ เป็นเรื่องจำนวนเชิงซ้อน จำนวนเต็มเกาส์เซียน การพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง เลขคณิตมอดุลาร์ สมการของออยเลอร์ (สมการที่สวยงามที่สุด) ไปถึงกรุป-ริง-สนาม และเส้นโค้งเชิงวงรีอย่างคร่าว ๆ เพื่อให้เห็นภาพรวมจนนำไปสู่บทสรุปของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ในตอนท้าย

แน่นอน บางเรื่องอาจเป็นเรื่องยาก อย่างกรุป-ริง-สนาม และเส้นโค้งเชิงวงรี แต่เราก็มีคุณมิรุกะ ผู้ซึ่งสามารถอธิบายเรื่องยากให้เข้าใจง่ายขึ้นเสมอ อีกทั้งคราวนี้ยังมีน้องใหม่ที่จะมาอยู่เป็นเพื่อนให้คุณรู้สึกอุ่นใจมากขึ้น นั่นก็คือ “ยูริ” สาวน้อยชั้น ม.2 ซึ่งเป็นลูกพี่ลูกน้องของ “ผม” เธอจะมาร่วมฟังการแก้ปัญหาแปลก ๆ จากอาจารย์มุราคิด้วยอีกคน ถึงจะเข้าใจบ้างไม่เข้าใจบ้าง แต่ความรู้ระดับ ม.ต้น อย่างยูริก็พอจะไขปริศนาได้หลายเปลาะเลยทีเดียว

แล้วคุณล่ะ...  จะไม่ลองมาท้าทายกับทฤษฎีบทสุดหินที่เคยคิดว่าไกลสุดเอื้อมนี้ดูหน่อยหรือ ?!?

...แม้อาจไปได้ไม่ถึงจุดหมายปลายทาง แต่หมุดหมายสำคัญที่จะทำให้เข้าใกล้ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ล้วนอยู่ในนี้หมดแล้ว...

ดูตัวอย่างเนื้อหาได้ที่นี่

ดูสารบัญได้ที่นี่