โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 15°
พิสูจน์
พิจารณา ∆ACD จะได้ว่า ∠ACD = 135° - 2x
พิจารณา ∆BCD จะได้ว่า ∠BDC = 135° <=> ∠BCD = 45° - x => x < 45° (✱) <=> 2x < 90°
∴ ∠BAC และ ∠ABC เป็นมุมแหลม
กำหนดให้จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABC แนบใน <=> AO = BO = CO
กรณีที่ 1: ∠ACB เป็นมุมแหลม => จุด O เป็นจุดภายใน ∆ABC โดยอยู่ใน ∆BCD (ดูรูปที่ 1)
∵ จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABC แนบใน => ∠AOC = 2(∠ABC) = 2x
∵ AO = CO <=> ∆ACO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O (= 2x) เป็นมุมยอด <=> ∠ACO (= ∠CAO) = 90° - x <=> ∠DCO = x - 45° => x > 45° ซึ่งขัดแย้งกับ (✱)
∴ ∠ACB ไม่เป็นมุมแหลม
กรณีที่ 2: ∠ACB เป็นมุมฉาก => จุด O กับจุด D เป็นจุดเดียวกัน => AD = BD = CD
พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180° <=> 2x + x + 90° = 180° <=> x = 30° => ∠ABC = 30° และ ∠BCD = 15°
∵ BD = CD <=> ∆BCD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด <=> ∠CBD = ∠BCD => 30° = 15° ซึ่งเป็นไปไม่ได้
∴ ∠ACB ไม่เป็นมุมฉาก
กรณีที่ 3: ∠ACB เป็นมุมป้าน => จุด O เป็นจุดภายนอก ∆ABC (ดูรูปที่ 2)
∵ จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABC แนบใน => ∠AOC = 2(∠ABC) = 2x และ ∠BOC = 2(∠BAC) = 4x
∵ AO = CO <=> ∆ACO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O (= 2x) เป็นมุมยอด <=> ∠ACO (= ∠CAO) = 90° - x <=> ∠DCO = 45° - x
∵ AO = BO <=> ∆ABO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O เป็นมุมยอด
∵ AD = BD <=> DO เป็นส่วนสูงของ ∆ABO <=> ∠ADO = 90° <=> ∠CDO = 135°
สังเกตว่า ∆BCD ≅ ∆CDO ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠BCD = ∠DCO, CD = CD, ∠BDC = ∠CDO) => BC = CO
∴ BC = BO = CO <=> ∆BCO เป็น ∆ด้านเท่า => ∠BOC = 60° <=> 4x = 60° <=> x = 15° Q.E.D.
ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [
