======================================
❁ ท ร ง พ ร ะ เ จ ริ ญ ❁
======================================
โจทย์
จงพิสูจน์ว่า sin20° + sin40° = sin80° โดยใช้วิธีทางเรขาคณิต
พิสูจน์
(1) สร้าง ∆ABC โดยที่ AB = BC = L และ ∠B = 80°
∴ ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 80°) เป็นมุมยอด ⇔ ∠BAC = ∠ACB = 50°
(2) สร้าง ∆CDE โดยที่ CD = DE = L, ∠D = 40° และจุด E อยู่บนส่วนต่อขยายของ AC
∴ ∆CDE เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 40°) เป็นมุมยอด ⇔ ∠DCE = ∠CED = 70°
(3) พิจารณาจุด C จะได้ว่า ∠BCD = 60°
∵ BC = CD (= L) และ ∠BCD = 60° ⇒ ∆BCD เป็น ∆ด้านเท่า ⇒ BD = L และ ∠CBD = ∠BDC = 60°
(4) กำหนดจุด F ใต้ BD ที่ทำให้ ☐ABDF เป็น ☐ขนมเปียกปูน ⇒ AF = DF = L, ∠BAF = 40° (⇔ ∠EAF = 10°) และ ∠BDF = 40° (⇔ ∠CDF = 20°)
(5) สังเกตว่า DE = DF (= L) และ ∠EDF = 60° ⇒ ∆DEF เป็น ∆ด้านเท่า ⇒ EF = L ⇔ EF = AF ⇔ ∆AEF เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠F เป็นมุมยอด
พิจารณา ∆ABC ซึ่งเป็น ∆หน้าจั่ว เมื่อลากส่วนสูง BH จะได้ว่า ∆ABH และ ∆BCH เป็น ∆มุมฉาก ที่เท่ากันทุกประการ
โดยนิยามของ cosine ใน ∆มุมฉาก จะได้ AH = CH = Lcos50° ⇒ AC = 2Lcos50°
ในทำนองเดียวกัน สำหรับ ∆CDE และ ∆AEF จะได้ CE = 2Lcos70° และ AE = 2Lcos10° ตามลำดับ
∵ AC + CE = AE ⇔ 2Lcos50° + 2Lcos70° = 2Lcos10° ⇔ cos70° + cos50° = cos10° ⇔ sin20° + sin40° = sin80° Q.E.D.
ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [
