จงพิสูจน์ว่า x = 18°

พิสูจน์ (โดยคุณ skytin)

(1) ∵ AC = AD = CD   <=>   ∆ACD เป็น ∆ด้านเท่า   <=>   ∠CAD = ∠ACD = ∠ADC = 60°

∵ ∠ADC = 60° และ ∠ADB = 6°   =>   ∠BDC = 54°

(2) สร้างรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า PQRST ขึ้นมา แล้วสร้าง ∆ด้านเท่า PTX และ ∆ด้านเท่า RSY โดยให้จุด X และจุด Y อยู่นอกรูปห้าเหลี่ยม

จะได้ว่า PX = TX = ST = SY, ∠TSY = ∠STX = 168° และ ∠PXT = ∠RYS = 60°

∵ SY = TX และ ∠TSY = ∠STX   =>   ☐STXY เป็น ☐คางหมูหน้าจั่ว ที่มี ST และ XY เป็นด้านคู่ขนาน   =>   ST // XY   <=>   ∠TSY + ∠SYX = 180°   <=>   ∠TSY + 168° = 180°   <=>   ∠TSY = 12°

∵ ST = SY   <=>   ∆STY เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠S (= 168°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠SYT (= ∠STY) = 6°   <=>   ∠TYX = 6°

สังเกตว่า PY เป็นเส้นสมมาตรของรูปหกเหลี่ยม PQRYST   =>   ∠PYS = (∠RYS)/2 = 30°  <=>   ∠PYX = 18°

(3) สร้าง ∆ด้านเท่า XYZ ขึ้นมา โดยให้จุด S อยู่ภายในสามเหลี่ยม

จะได้ว่า XY = XZ และ ∠YXZ = ∠XYZ = ∠XZY = 60°

∵ ∠XYZ = 60° และ ∠TYX = 6°   =>   ∠TYZ = 54°

∵ ∠YXZ = 60°   <=>   ∠YXZ = ∠PXT   <=>   ∠TXY + ∠TXZ = ∠PXY + ∠TXY   <=>   ∠TXZ = ∠PXY

(4) สังเกตว่า ∆TXZ ≅ ∆PXY ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (TX = PX, ∠TXZ = ∠PXY, XZ = XY)   =>   ∠TZX = ∠PYX   <=>   ∠TZX = 18°

(5) สร้างวงกลมล้อมรอบ ∆TXZ แล้วต่อ YT ออกไปพบเส้นรอบวงที่จุด W   =>   ☐TXWZ สามารถแนบในวงกลมได้   <=>   ∠TWX = ∠TZX   <=>   ∠TWX = 18°

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠WZX = ∠WTX   <=>   ∠WZX = ∠TXY + ∠TYX = 18°

(6) สังเกตว่า... 

     • ∆ACD ~ ∆XYZ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ม (∠CAD = ∠YXZ, ∠ACD = ∠XZY, ∠ADC = ∠XYZ)   =>   AC/XZ = AD/XY = CD/YZ = k (ค่าคงที่)

     • ∆ABD ~ ∆WXY ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ม (∠BAD = ∠WXY, ∠ABD = ∠YWX, ∠ADB = ∠WYX)   =>   BD/WY = AD/XY   <=>   BD/WY = k

     • ∆BCD ~ ∆WYZ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BD/WY = k, ∠BDC = ∠WYZ, CD/YZ = k)   =>   ∠BCD = ∠WZY   <=>   60° + x = 60° + 18°   <=>   x = 18°   Q.E.D.