จงพิสูจน์ว่า x = 10°

พิสูจน์ (โดยคุณ Javi Master Jans)

(1) ∠ACB = 60° และ ∠ADB = 40°

∵ ∠BAD = ∠ABD   ⇔   ∆ABD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   ⇔   AD = BD

(2) กำหนดจุด P บน AB ที่ทำให้ CP = BC   ⇔   ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BPC = ∠CBP   ⇔   ∠BPC = 80°   ⇒   ∠ACP = 40° และ ∠APC = 100°

∵ ∠CAP = ∠ACP   ⇔   ∆ACP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   AP = CP   ⇔   AP = BC

(3) กำหนดจุด Q เหนือ AP ที่ทำให้ AQ = PQ = AP (= BC)   ⇒   ∆APQ เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   ∠PAQ = 60° และ ∠APQ = 60°   ⇔   ∠DAQ = 10° และ ∠CPQ = 40°

∵ CP = PQ   ⇔   ∆CPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P (= 40°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠PCQ = ∠CQP = 70°

(4) สังเกตว่า ∆ADQ ≅ ∆BCD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = BD, ∠DAQ = ∠CBD, AQ = BC)   ⇒   ∠ADQ = ∠BDC   ⇔   ∠ADQ = x   ⇔   ∠BDQ = 40° - x

นอกจากนั้น ยังได้ว่า DQ = CD   ⇔   ∆CDQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 40°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠DCQ = ∠CQD = 70°

(5) สังเกตว่า ∆CDQ ≅ ∆CPQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠DCQ = ∠PCQ, CQ = CQ, ∠CQD = ∠CQP)   ⇒   CD = CP   ⇔   CD = BC   ⇔   ∆BCD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BDC = ∠CBD   ⇔   x = 10°   Q.E.D.