จงพิสูจน์ว่า x = 30°

(1) พิจารณา ☐ABPC จะได้ว่า ∠BPC (มุมใหญ่) = 360° - 110°   ⇔   ∠BPC (มุมเล็ก) = 110°

(2) กำหนดจุด Q เป็นภาพสะท้อนของจุด P ผ่าน AB   ⇒   ∆ABQ ≅ ∆ABP   ⇒   AQ = AP, BQ = BP, ∠BAQ = ∠BAP = 10° และ ∠ABQ = ∠ABP = 30°

∵ BP = BQ และ ∠PBQ = 60°   ⇒   ∆BPQ เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   BP = PQ

(3) กำหนดจุด R บน AC ที่ทำให้ AR = AP

จะเห็นว่า ∆APR ≅ ∆APQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AP = AQ, ∠PAR = ∠PAQ, AR = AP)   ⇒   PR = PQ   ⇔   PR = BP

∵ AP = AR   ⇔   ∆APR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 20°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ARP (= ∠APR) = 80°

(4) กำหนดจุด S บน AR ที่ทำให้ PS = PR (= BP)   ⇔   ∆PRS เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   ∠PSR = ∠PRS   ⇔   ∠PSR = 80°

พิจารณา ∆CPS จะได้ว่า ∠CPS = 50°   ⇔   ∠CPS = ∠PCS   ⇔   ∆CPS เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠S เป็นมุมยอด   ⇔   CS = PS

(5) กำหนดจุด T ทางด้านขวาของ CP ที่ทำให้ CT = PT = CP   ⇔   ∆CPT เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   ∠CPT = ∠CTP = 60°

จะเห็นว่า ∆PST ≅ ∆CST ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (PS = CS, PT = CT, ST = ST)   ⇒   ∠PTS (= ∠CTS) = (∠CTP)/2 = 30°

(6) สังเกตว่า ∆BCP ≅ ∆PST ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BP = PS, ∠BPC = ∠SPT, CP = PT)   ⇒   ∠BCP = ∠PTS   ⇔   x = 30°   Q.E.D.

พิสูจน์ 2 (Angel Lazo HK)

(1) พิจารณา ☐ABPC จะได้ว่า ∠BPC (มุมใหญ่) = 360° - 110°   ⇔   ∠BPC (มุมเล็ก) = 110°

ให้ BP = L

(2) กำหนดจุด Q บน AB ที่ทำให้ PQ = L   ⇔   PQ = BP   ⇔   ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BQP = ∠PBQ   ⇔   ∠BQP = 30°   ⇔   ∠APQ = 20°

(3) กำหนดจุด R บน AP ที่ทำให้ QR = L   ⇔   QR = PQ   ⇔   ∆PQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   ⇔   ∠PRQ = ∠QPR   ⇔   ∠PRQ = 20°   ⇔   ∠AQR = 10°   ⇔   ∠AQR = ∠QAR   ⇔   ∆AQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด   ⇔   AR = QR   ⇒   AR = L

พิจารณา ∆PQR จะได้ว่า ∠PQR = 140°

(4) กำหนดจุด S บน AC ที่ทำให้ RS = L   ⇔   RS = AR   ⇔   ∆ARS เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ASR = ∠RAS   ⇔   ∠ASR = 20°   ⇔   ∠PRS = 40°

(5) ∵ QR = RS และ ∠QRS = 60°   ⇒   ∆QRS เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   ∠RQS = 60°   ⇔   ∠PQS = 80°

นอกจากนั้น ยังได้ว่า QS = QR (= L)   ⇔   QS = PQ   ⇔   ∆PQS เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q (= 80°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠QPS (= ∠PSQ) = 50°   ⇔   ∠APS = 30°   ⇔   ∠CSP = 50°   ⇔   ∠CSP = ∠PCS   ⇔   ∆CPS เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   CP = PS

พิจารณา ∆PRS จะได้ว่า ∠PSR = 110°

(6) สังเกตว่า ∆BCP ≅ ∆PRS ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BP = RS, ∠BPC = ∠PSR, CP = PS)   ⇒   ∠BCP = ∠RPS   ⇔   x = 30°   Q.E.D.