โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 6°
พิสูจน์ (โดย คุณ Didy Ricra Osorio)
(1) ∠BDC = 3x
(2) กำหนดจุด P บน AC ที่ทำให้ DP = AD <=> ∆ADP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด <=> ∠APD = ∠DAP <=> ∠APD = 2x <=> ∠CDP = x
(3) กำหนดจุด Q ใต้ AB ที่ทำให้ ∠DAQ = x และ ∠AQD = x <=> ∆ADQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด <=> AD = DQ
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BDQ = 2x
สังเกตว่า ∆ADQ ≅ ∆CDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ด (∠AQD = ∠DCP, ∠DAQ = ∠CDP, AD = DP) => AQ = CD
สังเกตว่า ∆BDQ ≅ ∆ACD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BD = AC, ∠BDQ = ∠CAD, DQ = AD) => BQ = CD และ ∠DBQ (= ∠ACD) = x
(4) สังเกตว่า ∆ACQ ≅ ∆BCD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = BD, ∠CAQ = ∠BDC, AQ = CD) => ∠ACQ (= ∠CBD) = 5x <=> ∠DCQ = 4x
นอกจากนั้น ยังได้ว่า CQ = BC <=> ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด <=> ∠BQC = ∠CBQ <=> ∠BQC = 6x
(5) กำหนดจุด R ใต้ CD ที่ทำให้ ∠DCR = 6x และ ∠CDR = 6x <=> ∠QCR = 2x และ ∠QDR = x
สังเกตว่า ∆CDR ≅ ∆BCQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠DCR = ∠CBQ, CD = BQ, ∠CDR= ∠BQC) => CR = BC และ DR = CQ (= BC) => CQ = CR = DR
(6) พิจารณา ∆CDR จะได้ว่า ∠DCR + ∠CDR + ∠CRD = 180° <=> 6x + 6x + (120° - 2x) = 180° <=> x = 6° Q.E.D.