โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 40°
พิสูจน์
(1) ∠ACB = 100° และ ∠APB = 130° (=> ∆ABP เป็น ∆มุมป้าน)
(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABP แนบใน => ...
จุด O อยู่ใต้ AB
AO = BO = OP
∠AOP = 2(∠ABP) และ ∠BOP = 2(∠BAP) <=> ∠AOP = 40° และ ∠BOP = 60°
∵ AO = BO <=> ∆ABO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O (= 100°) เป็นมุมยอด <=> ∠BAO = ∠ABO = 40°
∵ BO = OP และ ∠BOP = 60° => ∆BOP เป็น ∆ด้านเท่า => BO = BP
(3) กำหนดจุด Q เป็นภาพสะท้อนของจุด O ผ่าน AB => ∆ABQ ≅ ∆ABO => ...
BQ = BO <=> BQ = BP
∠BAQ = ∠BAO <=> ∠BAQ = 40°
∠ABQ = ∠ABO <=> ∠ABQ = 40° <=> ∠CBQ = 10°
∠AQB = ∠AOB <=> ∠AQB = 100° <=> ∠AQB = ∠ACB <=> ☐ABQC สามารถแนบในวงกลมได้ <=> ∠BCQ = ∠BAQ <=> ∠BCQ = 40°
สังเกตว่า ∆BCP ≅ ∆BCQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BP = BQ, ∠CBP = ∠CBQ, BC = BC) => ∠BCP = ∠BCQ <=> x = 40° Q.E.D.