จงพิสูจน์ว่า x = 10°

(1) พิจารณา ☐ACBP จะได้ว่า ∠APB (มุมใหญ่) = 360° - 150°   ⇔   ∠APB (มุมเล็ก) = 150°

(2) กำหนดจุด Q บน BC ที่ทำให้ CQ = AC

จะเห็นว่า ∆CPQ ≅ ∆ACP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (CP = CP, ∠PCQ = ∠ACP, CQ = AC)   ⇒   PQ = AP

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠CQP = ∠CAP   ⇔   ∠CQP = 20°   ⇔   ∠BPQ = 10°   ⇔   ∠BPQ = ∠PBQ   ⇔   ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   ⇔   BQ = PQ   ⇔   BQ = AP

(3) ต่อ PQ ออกไปยังจุด R โดยที่ BR = BP   ⇔   ∆BPR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BRP = ∠BPR   ⇔   ∠BRP = 10°   ⇔   ∠PBR = 160°   ⇔   ∠QBR = 150°

(4) สังเกตว่า ∆ABP ≅ ∆BQR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AP = BQ, ∠APB = ∠QBR, BP = BR)   ⇒   ∠ABP = ∠BRQ   ⇔   x = 10°   Q.E.D.

ให้ α = 20°, β = 10° และ γ = 60°   ⇒   α + β + γ = 90°

พิจารณา ∆ABC จะเห็นว่า มีจุด P เป็นจุดภายในที่ทำให้ ∠CAP = α, ∠CBP = β, ∠ACP = γ และ ∠BCP = γ   ⇒   ∠ABP = β (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์)   ⇔   x = 10°   Q.E.D.