กำหนดให้ AB = CP และ AC = AB + BP

จงพิสูจน์ว่า x = 20°

ให้ AB = a และ BP = b   ⇒   CP = a และ AC = a + b

(1) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABP แนบใน   ⇒   ...

     • AO = BO = OP

     • ∠AOP = 2(∠ABP)   ⇔   ∠AOP = 80°

     • ∠BOP = 2(∠BAP)   ⇔   ∠BOP = 60°

∵ BO = OP และ ∠BOP = 60°   ⇒   ∆BOP เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   OP = BP   ⇔   AO = BO = b

(2) ต่อ AB ออกไปยังจุด Q โดยที่ BQ = b   ⇒   ∠PBQ = 140°

∵ BP = BQ   ⇔   ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 140°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BQP (= ∠BPQ) = 20°

สังเกตว่า ∆BPQ ≅ ∆ABO ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BP = AO, ∠PBQ = ∠AOB, BQ = BO)   ⇒   PQ = AB   ⇔   PQ = a

(3) สังเกตว่า ∆ACP ≅ ∆APQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (AC = AQ, AP = AP, CP = PQ)   ⇒   ∠CAP = ∠PAQ และ ∠ACP = ∠AQP   ⇔   ∠CAP = 30° และ ∠ACP = 20°

∵ AC = AQ และ ∠CAQ = 60°   ⇒   ∆ACQ เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   ∠ACQ = 60°   ⇔   ∠PCQ = 40°   ⇔   ∠PCQ + ∠PBQ = 180°   ⇔   ☐BPCQ สามารถแนบในวงกลมได้   ⇔   ∠BCP = ∠BQP   ⇔   x = 20°   Q.E.D.