คณิตศาสตร์เป็นอะไรที่ ไม่ถูกกันอย่างมากมาย5555555555

สุขสันต์วันเกิดค่ะ

คิดหวังสิ่งใด
ขอให้สมหวัง
และขอให้มีแต่ความสุข
และสิ่งดี ๆ ในชีวิตค่ะ

เราก้อมะค่อยถนัดนะแต่ก้อพอรู้เรื่องอยู่บ้างอะค้า

ลำดับอนันต์ คือ ค่าของ an ที่มีโดเมนเป็นจำนวนเต็มบวก คือ a1,a2,a3...,anเมื่อ n มีค่าเพิ่มขึ้น
คือ lim an เมื่อ n เพิ่มขึ้นไมมีที่สิ้นสุด โดยที่ L มีค่าเข้าใกล้ และลำดับมีค่าเท่ากัน

ลำดับอนันต์ คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก ซึ่งโดเมน คือ n และเรนจ์ คือ an
มีพจน์ทั่วไป คือ a1 , a2 , a3 ,...,an,...
ลิมิตของลำดับ คือ การหาค่า an ของลำดับว่ามีค่าอย่างไร เมื่อ n มีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ โดยกำหนดให้ L เป็นจำนวนจริงที่ n มีค่าเข้าใกล้
ลำดับอนันต์ แบ่งเป็น
1. ลำดับลู่เข้า ( Convergent Sequence) คือ ลำดับอนันต์ที่สามารถหาลิมิตของลำดับได้
2. ลำดับลู่ออก (Divergent Sequence) คือ ลำดับอนันต์ที่ไม่สามารถหาลิมิตของลำดับได้

ลำดับอนันต์ คือ การหาลิมิตของลำดับ การหาค่า an เมื่อ n มีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ และ ค่าของ an จะมีค่าเข้าใกล้หรือ เป็นค่าคงที่เมื่อ n มีค่าไม่สิ้นสุด เป็นลำดับที่มีลิมิต เรียกว่า ลำดับลู่เข้าและเรียกลำดับที่หาลิมิตไม่ได้ เรียกว่า ลำดับลู่ออก

ลำดับ อนันต์
1.เมื่อan มีค่าเท่ากับค่าใดๆเมื่อ n เพิ่มขึ้นเรื่อยๆไม่มีที่สิ้นสุด an จะมีค่าเข้าใกล้(แนวโน้ม) ค่าใดนั้นเรียกว่า
ลิมิตของลำดับ(L) กราฟจะลู่เข้า (convergent sequence)

2.เมื่อ an มีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อยๆเมื่อn มีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อยไม่มีที่สิ้นสุดกราฟลู่ออกไม่เข้าใกล้ค่าใด (divergent sequence)
แสดงว่าไม่มีลิมิตของลำดับ

3.ลิมิตหาได้จากลำดับอนันต์เท่านั้น

ลำดับอนันต์ คือ
1.การหาค่า an
2.n จะมีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ
3.เมื่อมีค่าสิ้นสุด ลำดับลู่เข้า
4. ลำดับที่หาค่าไม่ได้ ลำดับลู่ออก

ลำดับอนันต์
(infinite sequance)
คือ จำนวนพจน์ไม่จำกัด เช่น ลำดับ 2, 4, 6, 8, .....
ลิมิตของลำดับ
(limit of a sequence)
คือ จำนวนซึ่งพจน์ที่ n ของลำดับเข้าใกล้ เมื่อ n มีค่ามากขึ้น โดยไม่มีที่สิ้นสุด
ลำดับคอนเวอร์เจนต์
(convergent sequence) คือ ลำดับอนันต์ที่มีลิมิต เช่น 1, 1/2, 1/3,..., 1/n,....เป็นลำดับคอนเวอร์เจนต์มีลิมิตเท่ากับ 0
ลำดับไดเวอร์เจนต์
(divergent sequence) คือ ลำดับอนันต์ที่ไม่มีลิมิต เช่น 1, 2, 3, 4, 5, ......

ลำดับอนันต์
(infinite sequance) คือ ลำดับที่ไม่สามารถหาค่าพจน์สุดท้ายได้ด้งสมการan=a1,a2,a4,...,an,...
แต่สามารถหาค่า an กับค่าที่ใกล้เคียงค่า L ได้ เรียกว่า ลิมิตของลำดับ(limit of a sequence)
ซึ่งในการเขียนกราฟสามารถแบ่งกราฟออกเป็น 3 กราฟ คือ
กราฟลำดับลู่ออก หมายถึง ลำดับอนันต์ที่ไม่มีลิมิตหรือหาค่าลิมิตของ an เมื่อเข้าใกล้อินฟินิตี้ไม่ได้
กราฟลำดับลู่เข้า หมายถึง ลำดับอนันต์ที่มีลิมิตหรือหาค่าลิมิตของ anเมื่อเข้าใกล้อินฟินิตี้ได้

ลำดับอนันต์ คือฟังก์ชั่นที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
นั่นคือฟังก์ชัน f = {(x, f(x) / x= 1,2,3,…..,n ,… และ ax = f(x)} คือลำดับอนันต์ f(1) , f (2) , f(3) ,......,f(n),…หรือ a 1 , a 2 , a3 ,…..,a n ,…

หาลิมิตได้จาลำดับอนันต์เท่านั้น

ลิมิต คือ ค่าหรือค่าที่ใกล้เคียงของลำดับอนันต์ กราฟลู่เข้า

ลำดับอนันต์(infinite sequence)
เป็นลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่มีจำนวนมากมายนับไม่ถ้วน ซึ่งโดเมน คือ ค่า n และ เรนจ์ คือ an ลำดับอนันต์จะหาแนวโน้มค่านั้นๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด ( อินฟินิตี้) เช่น an=a1,a2,a3,...,an,...
ลิมิตของลำดับ(limit of a Sequence) คือ
พจน์ที่ n ที่มีค่าเข้าใกล้หรือเท่ากับจำนวนจริง(L) มีเพียงค่าเดียว

ลำดับลู่เข้า(Convergent Sequence) คือ ลำดับอนันต์ที่หาลิมิต an เมื่อ n เข้าใกล้อินฟินิตี้ได้

ลำดับลู่ออก(Divergent Sequence) คือ ลำดับอนันต์ที่หาลิมิต an เมื่อ n เข้าใกล้อินฟินิตี้ไม่ได้

*ในกรณีที่ an เมื่อ n ไม่เข้าใกล้จำนวนใดจำนวนหนึ่ง จะเรียกลู่ออกนี้ว่า ลำดับแกว่งกวัด(oscillating Sequence)

ลำดับอนันต์ คือ เซตของจำนวนเต็มบวก โดยที่โดเมน คือ n และเรนจ์ คือ an มีพจน์ทั่วไป คือa1 ,a2,a3 ,...,an,...
จะมี 2 ลำดับคือ
ลำดับลู่เข้า คือลำดับอนันต์ที่หาลิมิต an เมื่อ nเข้าใกล้อินฟินิตี้
ลำดับลู่ออก คือลำดับอนันต์ที่หาลิมิต an เมื่อ n เข้าใกล้อินฟินิตี้ไม่ได้

เซต หมายความว่า กลุ่ม หมู่ ชุด ใดๆ
เรียกสิ่งที่อยู่ในเชตว่า สมาชิก เช่น เซตของนิ้วมือทั้งห้า มีสมาชิก คือ โป้ง,ชี้,นาง,กลาง,ก้อย

ตรรกศาสตร์ ว่าด้วยกฎเกณฑ์การให้เหตุ
1) การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Induction)เป็นการให้เหตุผลแบบอ้าวความจริงเพื่อไปอ้างความจริงทั่วไป เช่น เราพิสูจน์ได้ว่ามุมภายในรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งรวมกันได้ 180 องศาเราจึงสรุปว่า มุมภายในรูปสามเหลี่ยมใดๆ รวมกันได้ 180 องศา
2) การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deduction)เป็นการให้เหตุผลแบบอ้างข้อความทั่วไป ซึ่งแน่ใจไปสรุปข้อความทั่วไปที่ยังไม่แนใจ โดยอาศัยใคร่ครวญตามหลักเหตุผลเช่น เหตุ 1 สิ่งที่มีชีวิตทุกชนิด เป็นสิ่งที่ต้องตายเหตุ 2 คนเป็นสิ่งมีชีวิตข้อสรุป คนเป็นส่ิงที่ต้องตาย

เซต หมายความว่า กลุ่ม หมู่ ชุด ใดๆ
เรียกสิ่งที่อยู่ในเชตว่า สมาชิก เช่น เซตของนิ้วมือทั้งห้า มีสมาชิก คือ โป้ง,ชี้,นาง,กลาง,ก้อย

ตรรกศาสตร์
ประพจน์(proposition) คือ ข้อความหรือประโยคที่มีค่าความจริง(T)หรือเท็จ(F) อย่างใดอย่างหนึ่ง ส่วนข้อความรูป คำสั่ง คำขอร้อง คำอุทาน คำปฏิเสธ ซึ่งไม่อยู่ในรูปของประโยคบอกเล่า จะเป็นข้อความที่ไม่เป็นประพจน์ สำหรับข้อความบอกเล่าแต่มีตัวแปรอยู่ด้วย ไม่สามารถบอกว่าเป็นจริงหรือเท็จจะไม่เป็นประพจน์ เรียกว่าประโยคเปิด
การหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม ให้
p และ q เป็นประพจน์
T แทนค่าความจริงของประพจน์ที่เป็นจริง
F แทนค่าความจริงของประพจน์ที่เป็นเท็จ

เซต(Set)
เซต(Set) เป็นคำอนิยาม ไม่สามารถให้ความหมายได้ โดยทั่วไปหมายถึง
ลักษณะนามที่เราใช้เรียกกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ เช่น กลุ่มของคน สัตว์ สิ่งของ หรือสิ่งต่าง ๆที่อยู่นวมกันเป็นกลุ่ม สิ่งต่าง ๆที่อยู่ในกลุ่มเรียกว่า " สมาชิก " นิยมเขียนอักษรตัวใหญ่ (A,B,C,…) แทนชื่อของเซต

ตรรกศาสตร์
ในรูปแบบพื้นฐานที่สุด คือกระบวนการใช้เหตุผลที่สร้างข้อสรุปจากข้อสมมติพื้นฐาน ถ้าจะกล่าวให้เจาะจงกว่านั้น ตรรกศาสตร์คือการศึกษาระบบเชิงกำหนดของการใช้เหตุผล นั่นคือระบบที่ถูกเสนอขึ้นเพื่อเป็นแนวทางที่มนุษย์ (รวมไปถึง สรรพสิ่ง เครื่องจักร หรือ ระบบ ที่มีสติปัญญา) ควรจะ ใช้เหตุผล. ตรรกศาสตร์ระบุว่ารูปแบบใดของการอนุมานเป็นรูปแบบที่สมเหตุสมผล และรูปแบบใดไม่ ดั่งเดิมแล้ว ตรรกศาสตร์นั้นเป็นสาขาหนึ่งของปรัชญา แต่ปัจจุบันก็จัดได้ว่าเป็นสาขาหนึ่งในคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ การศึกษาว่ามนุษย์นั้น จริงๆ แล้ว ใช้เหตุผลได้อย่างไรมักถูกจัดให้อยู่ในสาขาวิชาอื่นๆ เช่น จิตวิทยาการรู้

เซต คือทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวกับเรื่องเซต ซึ่งใช้นำเสนอการรวบรวมวัตถุนามธรรม ทฤษฎีเซตเป็นแนวความคิดของการรวบรวมวัตถุในชีวิตประจำวัน และใช้สอนในโรงเรียนประถมศึกษาซึ่งบ่อยครั้งใช้แผนภาพเวนน์เป็นสื่อช่วยสอน ทฤษฎีเซตใช้ภาษาในการอธิบายวัตถุทางคณิตศาสตร์เป็นธรรมเนียมการสอนคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ทฤษฎีเซตเป็นหนึ่งในรากฐานทางคณิตศาสตร์ที่ยอมรับกันโดยทั่วไป เหมือนเช่นตรรกศาสตร์และแคลคูลัสภาคแสดง ซึ่งทำให้สามารถสร้างวัตถุทางคณิตศาสตร์ขึ้นมาใหม่โดยใช้ "เซต" และ "ความเป็นสมาชิกของเซต" เป็นตัวนิยาม ทฤษฎีเซตเองนั้นก็เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ และยังคงเป็นสาขาที่สำคัญอยู่สำหรับการวิจัย


ตรรกศาสตร์ ในรูปแบบพื้นฐานที่สุด คือกระบวนการใช้เหตุผลที่สร้างข้อสรุปจากข้อสมมติพื้นฐาน ถ้าจะกล่าวให้เจาะจงกว่านั้น ตรรกศาสตร์คือการศึกษาระบบเชิงกำหนดของการใช้เหตุผล นั่นคือระบบที่ถูกเสนอขึ้นเพื่อเป็นแนวทางที่มนุษย์ (รวมไปถึง สรรพสิ่ง เครื่องจักร หรือ ระบบ ที่มีสติปัญญา) ควรจะ ใช้เหตุผล. ตรรกศาสตร์ระบุว่ารูปแบบใดของการอนุมานเป็นรูปแบบที่สมเหตุสมผล และรูปแบบใดไม่ ดั่งเดิมแล้ว ตรรกศาสตร์นั้นเป็นสาขาหนึ่งของปรัชญา แต่ปัจจุบันก็จัดได้ว่าเป็นสาขาหนึ่งในคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ การศึกษาว่ามนุษย์นั้น จริงๆ แล้ว ใช้เหตุผลได้อย่างไรมักถูกจัดให้อยู่ในสาขาวิชาอื่นๆ เช่น จิตวิทยาการรู้

เซต
ในทางคณิตศาสตร์ เราใช้คำว่าเซตในความหมายของคำว่า กลุ่ม หมู่ เหล่า กอง ฝูง ชุด และเมื่อกล่างถึงเซตของสิ่งใด ๆ จะทราบได้ทันทีว่าในเซตนั้นมีอะไรบ้าง เราเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า สมาชิก

เซต สมาชิกของเซตประกอบด้วย
เซตของวันในหนึ่งสัปดาห์ วันอาทิตย์, วันจันทร์, วันอังคาร, วันพุธ, วันพฤหัสบดี, วันศุกร์, วันเสาร์
เซตของจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย 5 ลงตัว 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...
เซตของคำตอบของสมการ X2 - 4 = 0 2, -2

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซต ชื่อและสมาชิกของเซต
1. สามารถใช้วงกลม, วงรี แทนเซตต่าง ๆ ได้
2. ชื่อเซตนิยมใช้ตัวใหญ่ทั้งหมด เช่น A, B, C, ...
3. สัญลักษณ์ แทนคำว่า "เป็นสมาชิกของ"
แทนคำว่า "ไม่เป็นสมาชิกของ" ตรรกศาสตร์

ตรรกศาสตร์พื้นฐาน

1.1ประพจน์ (Propostion)
คือ ข้อความที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จเพียงอย่างเดียวเท่านั้น

ตัวอย่างที่เป็นประพจน์
p : 15 + 5 = 20
q : วันนี้อากาศหนาว
r : สัปดาห์หนึ่งมี 8 วัน
s : คนทุกคนเป็นอมตะ
1.2. การเชื่อมประพจน์
โดยปกติเมื่อกล่าวถึงข้อความหรือประโยคนั้นมักจะมีกริยามากกว่าหนึ่งตัว แสดงว่าได้นำประโยคมาเชื่อมกันมากว่าหนึ่งประโยค
ดังนั้นถ้านำประพจน์มาเชื่อมกันก็จะได้ประพจน์ใหม่ซึ่งสามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ อย่างใดอย่างหนึง

ตัวเชื่อมประพจน์มีอยู่ 5 ตัว และตัวเชื่อมที่ใช้กันมากคือ
“และ” , “หรือ” , “ถ้า…แล้ว…” , “ …ก็ต่อเมื่อ…” , “ ไม่ ”

โดยที่ p และ q แทนประพจน์

เซต
ในทางคณิตศาสตร์ เราใช้คำว่าเซตในความหมายของคำว่า กลุ่ม หมู่ เหล่า กอง ฝูง ชุด และเมื่อกล่างถึงเซตของสิ่งใด ๆ จะทราบได้ทันทีว่าในเซตนั้นมีอะไรบ้าง เราเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า สมาชิก

เซต สมาชิกของเซตประกอบด้วย
เซตของวันในหนึ่งสัปดาห์ วันอาทิตย์, วันจันทร์, วันอังคาร, วันพุธ, วันพฤหัสบดี, วันศุกร์, วันเสาร์
เซตของจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย 5 ลงตัว 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...
เซตของคำตอบของสมการ X2 - 4 = 0 2, -2

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซต ชื่อและสมาชิกของเซต
1. สามารถใช้วงกลม, วงรี แทนเซตต่าง ๆ ได้
2. ชื่อเซตนิยมใช้ตัวใหญ่ทั้งหมด เช่น A, B, C, ...
3. สัญลักษณ์ แทนคำว่า "เป็นสมาชิกของ"
ตรรกศาสตร์พื้นฐาน

1.1ประพจน์ (Propostion)
คือ ข้อความที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จเพียงอย่างเดียวเท่านั้น

ตัวอย่างที่เป็นประพจน์
p : 15 + 5 = 20
q : วันนี้อากาศหนาว
r : สัปดาห์หนึ่งมี 8 วัน
s : คนทุกคนเป็นอมตะ
1.2. การเชื่อมประพจน์
โดยปกติเมื่อกล่าวถึงข้อความหรือประโยคนั้นมักจะมีกริยามากกว่าหนึ่งตัว แสดงว่าได้นำประโยคมาเชื่อมกันมากว่าหนึ่งประโยค
ดังนั้นถ้านำประพจน์มาเชื่อมกันก็จะได้ประพจน์ใหม่ซึ่งสามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ อย่างใดอย่างหนึง

ลำดับอนันต์ คือฟังก์ชั่นที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
1. ลำดับลู่เข้า ( Convergent Sequence) คือ ลำดับอนันต์ที่สามารถหาลิมิตของลำดับได้ และไม่มีลิมิตหรือหาค่าลิมิตของ an เมื่อเข้าใกล้อินฟินิตี้ไม่ได้
2. ลำดับลู่ออก (Divergent Sequence) คือ ลำดับอนันต์ที่ไม่สามารถหาลิมิตของลำดับ และ มีลิมิตของ anเมื่อเข้าใกล้อินฟินิตี้ได้

คำว่าลำดับล่ะหมายถึงไร

ลำดับ คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n ตัวแรก หรือ มีโดเมนเป็นจำนวนเต็มบวก

อ่านรายละเอียดเพิ่มเติมที่เว็บไซต์
//www.krulemon.com
เข้าไปดูที่หัวข้อ
สรุปความรู้คณิต ม.4-6 (E-book release 2.2)