โจทย์ในเรื่องทฤษฎีจำนวน หรือแม้แต่สมบัติของจำนวนเต็ม มักจะถามในเรื่องจำนวนเต็มที่หารจำนวนเต็ม n ลงตัว มีกี่จำนวน เช่น
       จำนวนเต็มที่หาร 4 ลงตัว มี 6 ตัว คือ -4, -2, -1, 1, 2, 4
       จำนวนเต็มที่หาร 10 ลงตัว มี 8 ตัว คือ -10, -5, -2, -1, 1, 2, 5, 10

แหม...ถ้าจำนวนที่มีค่าน้อยๆ แบบนี้ก็หมูอะดิครับ
       ลอง...50 ดูบ้าง...
       จำนวนเต็มที่หาร 50 ลงตัว มี 12 ตัว คือ -50, -25, -10, -5, -2, -1, 1, 2, 5, 10, 25, 20

ลอง 360 ดูบ้างดิ...
       คงไม่ดีกว่านะ...

ที่เกริ่นแบบนี้มันต้องมีวิธีการคิดครับ
       เอางี้...เรามาเริ่มที่การแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มที่เขากำหนดก่อนแล้วสังเกตนะครับ

4 = 2 ´ 2 = 2²
              จำนวนเต็มบวกที่หาร 4 ลงตัว มี 3 ตัว (คิดเฉพาะบวกก่อนแล้วค่อยคูณทีหลัง)
              สังเกตว่ากำลังของ 2 คือ 2 (จำนวนเต็มบวกที่หาร 4 ลงตัว มี 2 + 1 = 3 ตัว)

10 = 2 ´ 5 = 2¹ ´ 5¹
              เลขชี้กำลัง คือ 1 และ 1 จำนวนเต็มบวกที่หาร 10 ลงตัว มี (1 + 1)(1 + 1) = 4 ตัว

50 = 2 ´ 5 ´ 5 = 2¹ ´ 5²
              เลขชี้กำลัง คือ 1 และ 2 จำนวนเต็มบวกที่หาร 50 ลงตัว มี (1 + 1)(2 + 1) = 6 ตัว

เห็นแนวทางแล้วใช่ไหมครับ
       นี่คือกระบวนการเริ่มต้นของการศึกษาคณิตศาสตร์ครับ...สังเกตแบบรูปและความสัมพันธ์ จากนั้นพิสูจน์ (ซึ่งคงไม่แสดงนะครับ---จริงๆ แล้วยังไม่ได้ลองและยังหาไม่เจอมากกว่า...หุหุ)
       ที่นี้ ถ้าอยากได้คำตอบทั้งจำนวนเต็มบวก และเต็มลบ ก็นำคำตอบที่ได้คูณด้วย 2 ก็สิ้นเรื่อง

งั้น 360 ก็หมูแล้วครับ
       360     = 36 ´ 10
                  = 6 ´ 6  ´ 2 ´ 5
                   = 2 ´ 3 ´ 2 ´ 3 ´ 2 ´ 5
                    = 2³ ´ 3² ´ 5¹
       จำนวนเต็มบวกที่หาร 360 ลงตัว มี (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4 ´ 3 ´ 2 = 24 ตัว
       ดังนั้น จำนวนเต็มทั้งหมดที่หาร 360 ลงตัว จึงมี 24 ´ 2 = 48 ตัวนั่นเองครับ

ข้อสำคัญนะครับ...ฐานของเลขยกกำลังที่จะนำมาใช้คำนวณต้องเป็นจำนวนเฉพาะเท่านั้นนะครับ (การแยกตัวประกอบก็ต้องเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะอยู่แล้วนะครับ)

ในระดับสูง ฟังก์ชันที่กำหนดด้วยจำนวนเต็มบวกที่หารจำวนวนเต็ม n ลงตัว คือ ฟังก์ชันเทา สัญลักษณ์ คือ t(n) หมายถึง จำนวนจำนวนเต็มบวกที่หาร n ลงตัว
       ถ้า n =  เมื่อ n₁, n₂, n₃, …, n_m เป็นจำนวนเฉพาะ และ p₁, p₂, p₃, …, p_k เป็นจำนวนเต็มบวก
       จะได้ จำนวนจำนวนเต็มบวกที่หาร n ลงตัว 
       หรือ t(n) = (p₁ + 1)(p₂ + 1)(p₃ + 1)…(p_k + 1)

เริ่มต้นดี...แต่ตอนสรุปงงดีซะงั้นแหละครับ

555+

ยังไงก็ลองเก็บไปทำดูละกันนะครับ

Create Date : 12 กรกฎาคม 2552
Last Update : 12 กรกฎาคม 2552 20:17:12 น.		40 comments
Counter : 42391 Pageviews.
Share Tweet