They're called miracles because they don't happen.
อิอิคุง
Location :
กรุงเทพฯ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 1 คน [?]




Orange Design Pointer
Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add อิอิคุง's blog to your web]
Links
 

 

เกี่ยวกับการสลับที่ระหว่างเครื่องหมายอินทิกรัล(Integral)และซัมเมชัน(Summation)

จากคุณสมบัติเบื้องต้นของการอินทิเกรตข้อนี้


ทำให้เราทราบว่าสามารถกระจายอินทิกรัลเข้าไปในผลบวกของฟังก์ชันที่บวกกันอยู่สองฟังก์ชันได้   และถึงแม้ว่าจะมีฟังก์ชันบวกกันอยู่มากกว่าสองตัวขึ้นไป เครื่องหมายอินทิกรัลก็สามารถกระจายเข้าไปในผลบวกได้ทั้งหมดเช่นกัน(โดยใช้คุณสมบัตินี้ซ้ำไปเรื่อยๆ)  
    นั่นหมายความว่าเครื่องหมายอินทิกรัลและซัมเมชันสามารถสลับที่กันได้โดยไม่ทำให้เกิดข้อผิดพลาด(ค่าของนิพจน์เปลี่ยนไป)     


แต่นั่นก็หมายถึงเฉพาะกรณีที่เป็นซัมเมชันแบบจำกัดเท่านั้นครับ     ถ้าหากเป็นซัมเมชันแบบอนันต์  คุณคิดว่าเรายังสามารถสลับที่ทั้งสองเครื่องหมายนี้โดยไม่เกิดข้อผิดพลาดได้หรือไม่ ?? 

สามัญสำนึกของคุณอาจบอกว่า  "ไม่เห็นมีปัญหาตรงไหน ในเมื่อตัวอินทิกรัลมันกระจายเข้าไปในผลบวกได้เหมือนคูณกระจาย  จะบวกกันกี่ร้อยกี่ล้านตัว หรือแม้แต่อนันต์ตัว มันก็ยังกระจายอินทิกรัลเข้าไปได้อยู่ดี   ฉะนั้นเครื่องหมายอินทิกรัลกับเครื่องหมายซัมเมชันแบบอนันต์ก็ต้องสลับที่กันได้เหมือนกัน"
ถ้าอย่างนั้น  ลองมาดูตัวอย่างของความผิดพลาดต่อไปนี้กันก่อนครับ
มีโจทย์ปัญหาอยู่ว่า

ซึ่งได้มีผู้แสดงวิธีคิดดังนี้

ถ้ามองเผินๆก็ดูเหมือนวิธีทำจะถูกต้องทุกประการ
แต่เราจะเห็นว่า A > 1 เพราะ A = 1 + 1/6 + 1/15 + ... ในขณะที่คำตอบจากวิธีคิดข้างต้นคือ A = ln2 ซึ่ง ln2 < 1 
 ดังนั้นคำตอบที่ได้จึงผิด  แสดงว่าวิธีทำต้องมีจุดผิดพลาดแน่นอน ปัญหาคือจุดที่ผิดคือตรงไหน?  
 อาจมีบางคนคิดว่าจุดที่ผิดคือจากบรรทัด5ไป6 เพราะขอบเขตของการอินทิเกรตคือจาก0ถึง1 ซึ่งฟังก์ชันที่ใช้อินทิเกรตในบรรทัดนั้นไม่สามารถหาค่าได้ที่ 1  
  แต่การที่ฟังก์ชันไม่สามารถหาค่าที่จุดขอบของการอินทิเกรตเพียงจุดเดียว(ในที่นี้คือไม่สามารถหาค่าได้ที่ 1) ไม่ได้มีผลทำให้การอินทิเกรตผิดพลาดแต่อย่างใด   
เพราะมันจะสอดคล้องกับนิยามของอินทิกรัลไม่ตรงแบบชนิดที่สอง  นั่นคือสามารถมองขอบเขตการอินทิเกรตเป็นเพียงลิมิตเข้าใกล้ 1 ทางซ้ายได้ดังนี้


ฉะนั้นวิธีคิดข้างต้นไม่ได้มีปัญหาตรงบรรทัด5ไป6เลย     ที่จริงแล้ว ความผิดพลาดของวิธีคิดนี้เกิดจากการกระจายอินทิกรัลเข้าไปในผลบวกอนันต์ตรงบรรทัด3ไป4 ซึ่งก็คือการสลับที่ระหว่างเครื่องหมายอินทิกรัลกับซัมเมชันอนันต์นั่นเอง

จากตัวอย่างดังกล่าวทำให้เราเห็นว่าการสลับที่เครื่องหมายอินทิกรัลกับซัมเมชันอนันต์ไม่สามารถทำได้เสมอไป   นี่เป็นความจริงที่ดูเหมือนจะขัดกับสามัญสำนึก    ความจริงข้อนี้อาจทำให้บางคนรู้สึกตะขิดตะขวงใจและเกิดคำถามในหัวว่า ทำไมๆๆ 

สำหรับเรื่องนี้ ผมมีคำอธิบายที่น่าจะช่วยให้หายข้องใจได้ครับ
เริ่มจากการพิจารณาว่าเราสามารถสลับที่ระหว่างเครื่องหมายอินทิกรัลกับลิมิตได้เสมอหรือไม่   โดยดูจากตัวอย่างต่อไปนี้



จะเห็นว่าถ้าสลับอินทิกรัลกับลิมิตค่าของนิพจน์อาจเปลี่ยนไป   ดังนั้นจึงไม่สามารถสลับที่อินทิกรัลกับลิมิตมั่วๆซั่วๆได้    (หวังว่าข้อเท็จจริงนี้คงไม่ขัดกับสามัญสำนึกของคุณนะครับ)   

ทีนี้ถ้าดูที่ความหมายของซัมเมชันแบบอนันต์ จะพบว่าจริงๆแล้วมันก็คือลิมิตแบบหนึ่งนั่นเอง
ในเมื่อลิมิตกับอินทิกรัลไม่สามารถสลับที่กันได้ตามใจชอบ  ซัมเมชันแบบอนันต์(ซึ่งเป็นลิมิตแบบหนึ่ง)ก็ไม่สามารถสลับที่กับอินทิกรัลได้เช่นเดียวกัน

สำหรับเรื่องที่ผมกล่าวถึงในblogนี้ เป็นเนื้อหาส่วนหนึ่งของวิชาแคลคูลัสขั้นสูง ในหัวข้อที่เกี่ยวกับการลู่เข้าเอกรูป   
ซึ่งผมจะบอกเพียงคร่าวๆว่า  ฟังก์ชันที่ลู่เข้าเอกรูปจะสามารถสลับที่อินทิกรัลกับลิมิต(หรือสลับที่อินทิกรัลกับซัมเมชันอนันต์)ได้  
ดังนั้นถ้าเราต้องการสลับที่อินทิกรัลกับซัมเมชันอนันต์ จะต้องเช็คก่อนว่าฟังก์ชันที่ใช้อินทิเกรตลู่เข้าเอกรูปหรือไม่  ถ้ามันลู่เข้าเอกรูปก็สามารถกระจายอินทิกรัลเข้าไปในผลบวกอนันต์ได้ทันที   (แต่ถ้ามันไม่ลู่เข้าเอกรูปจะยังสรุปไม่ได้นะครับ)

ส่วนรายละเอียดที่ลึกกว่านี้เช่น  การลู่เข้าเอกรูปคืออะไร?  จะเช็คอย่างไรว่าฟังก์ชันใดบ้างลู่เข้าเอกรูป?  ผมขอไม่ลงรายละเอียดในที่นี้   หากคุณสนใจสามารถค้นหาเกี่ยวกับการลู่เข้าเอกรูปได้จากคำว่า uniformly convergence ครับ









 

Create Date : 17 สิงหาคม 2556    
Last Update : 8 กันยายน 2556 19:26:43 น.  

ข้อสอบเข้า Kobe University, Science Course ปี 1998 วิชาแคลคูลัส

มีโจทย์คณิตศาสตร์ข้อหนึ่งที่ผมเห็นว่าน่าสนใจดี  เคยนำไปโพสถามไว้ที่พันทิปห้องหว้ากอหลายครั้ง แต่ก็ยังไม่มีใครหาคำตอบหรือแสดงวิธีคิดที่ถูกต้องได้  จนกระทั่งครั้งสุดท้ายคุณ"ผลึกความคิด"สามารถหาคำตอบออกมาได้สำเร็จด้วยแนวคิดที่น่าสนใจทีเดียว   แต่ก็เป็นที่ถกเถียงกันเล็กน้อยว่าวิธีที่คุณผลึกความคิดใช้นั้นถูกต้องจริงหรือเปล่า   แต่ก่อนอื่นเรามาดูหน้าตาของโจทย์ที่ว่ากันก่อนครับ   


กำหนดให้ An = จำนวนของจำนวนเต็ม k ทั้งหมดที่จำนวนหลักของ 7k-1  เท่ากับจำนวนหลักของ 7k  (เมื่อเขียนด้วยเลขฐานสิบ) โดยที่ 2 k n   จงหาค่าของ  lim n--> An/n   


ดูเหมือนจะยากพอสมควรเลยใช่ไหมครับ  ซึ่งก็คงยากจริงๆนั่นแหละ ไม่งั้นคงมีคนตอบถูกตั้งแต่การโพสครั้งแรกแล้วล่ะครับSmiley (พันทิปห้องหว้ากอเป็นศูนย์รวมคนเก่งด้านวิทยาศาสตร์ไว้มากมาย ซึ่งรวมไปถึงคนเก่งคณิตศาสตร์ที่เป็นขาประจำเล่นอยู่ห้องนั้นหลายๆคนด้วย)  และถ้าคุณลองได้อ่านเฉลยแล้วล่ะก็คงจะเห็นตรงกับผมว่าคนที่สามารถแก้โจทย์ข้อนี้ออกได้ด้วยตัวเองโดยไม่รู้แนวทางหรือเคยเห็นโจทย์คล้ายๆกันมาก่อนต้องเป็นคนที่มีจินตนาการหรือsenseทางคณิตศาสตร์ดีทีเดียวครับ
สำหรับวิธีคิดเท่าที่ผมรวบรวมมาจากคำตอบของเพื่อนๆสมาชิกหว้ากอและวิธีคิดจากเฉลยที่ผมมีอยู่กับตัวทั้งหมดก็มีแค่ 3 วิธีซึ่งได้แก่

1. วิธีคิดแบบอุปนัย
เป็นวิธีคิดของสมาชิกในหว้ากอท่านหนึ่ง  น่าเสียดายที่ผมจำไม่ได้แล้วว่าเป็นใคร
ต้องบอกไว้ตั้งแต่ตรงนี้เลยว่าวิธีคิดนี้ผิดครับ ผิดทั้งคำตอบและวิธีทำเลย
 แต่ถึงจะผิดผมก็อยากนำเสนอไว้เพราะมันเป็นตัวอย่างที่แสดงให้เห็นถึงความผิดพลาดทางคณิตศาสตร์ที่เกิดจากการใช้เหตุผลแบบอุปนัย   
สำหรับวิธีนี้ ก็เริ่มจากการทดลองหาค่า An ออกมาหลายๆค่าก่อนเพื่อสังเกตรูปแบบของมัน



จะเห็นว่า A7 = 1 , A13 = 2 , A20 = 3 , A26 = 4 , A33 = 5 , A39 = 6 , A46 = 7, ... และ(น่าจะ)เป็นในลักษณะนี้ไปเรื่อยๆ
จึงสรุปได้ว่า A13n/2 = n เมื่อ n เป็นจำนวนคู่บวกใดๆ (และ A7+13(n-1)/2 = n เมื่อ n เป็นจำนวนคี่บวกใดๆ)   ซึ่งข้อสรุปนี้เองที่เป็นจุดผิดพลาดของวิธีคิดแบบอุปนัย  เพราะไม่มีอะไรมายืนยันได้เลยว่ามันจะอยู่ในรูปแบบนั้นต่อไปเรื่อยๆ เราจึงไม่สามารถด่วนสรุปไปแบบนั้นได้
อันที่จริงข้อสรุปนี้ผิดด้วยซ้ำ เพราะถ้าลองหาค่า An ต่อไปมากๆจะพบว่ารูปแบบของมันไม่เหมือนเดิม
ถึงแม้ว่าวิธีการสังเกตและคาดเดารูปแบบเพื่อหาคำตอบหรือข้อสรุปจะเป็นวิธีการที่นิยมใช้กัน  แต่มันก็มีโอกาสเกิดความผิดพลาดได้เพราะมันเป็นเพียงการสังเกตจากประสบการณ์โดยไม่มีเหตุผลใดๆรองรับ  
ดังนั้นทางที่ถูกต้องจึงต้องมีการพิสูจน์เพื่อยืนยันข้อสังเกตของเราว่าเป็นจริงด้วย       
จากข้อสรุป(ที่ผิด)ข้างบนจะได้ว่า
 lim n--> An/n  = lim m--> A13m/(13m) =   lim m--> 2m/(13m) = 2/13   ##
ถึงแม้ว่าวิธีการหาค่าลิมิตจะไม่ผิดแต่คำตอบที่ได้ก็ไม่ถูกต้องเนื่องจากข้อสรุปที่ผิดก่อนหน้านั่นเอง

2. วิธีคิดแบบอาศัย Squeeze theorem
เป็นวิธีคิดตามเฉลยที่ผมมีอยู่กับตัวครับ ซึ่งเฉลยไว้ได้อย่างสวยงามทีเดียว(และแน่นอนว่าถูกต้องสมบูรณ์อย่างไม่มีข้อกังขาด้วย)  ในเมื่อมันเป็นโจทย์แคลคูลัสวิธีแก้โจทย์ก็ต้องใช้ทฤษฎีบททางแคลคูลัสจริงไหมครับ?  และทฤษฎีบทที่ว่าก็คือ Squeeze theorem นั่นเอง   เชื่อว่าคนที่เคยเรียนวิชาแคลคูลัสต้องเคยผ่านตา Squeeze theorem มาบ้างในชื่อทฤษฎีบทแซนวิช แต่คงไม่มีโอกาสได้ใช้มันเท่าไหร่
ให้ m = จำนวนหลักของ 7n แล้วจะได้ว่า  
10m-1  7n < 10m   เพราะฉะนั้น   m-1  n(log107) < m _____(1)
เนื่องจาก7เป็นจำนวนที่มี1หลัก เมื่อนำ7มาคูณต่อไปเรื่อยๆ ถ้าการคูณ1ครั้งทำให้จำนวนหลักเพิ่มขึ้น1หลัก  ก็จะได้ว่า 7n เป็นจำนวนที่มี n หลัก  แต่เนื่องจากมีอยู่ An ครั้งที่คูณแล้วไม่ทำให้จำนวนหลักเพิ่มขึ้น   ดังนั้น 7n เป็นจำนวนที่มี n - An หลัก นั่นคือ m = n - An
แทนค่า m ใน (1) จะได้       n - An - 1   ≤   n(log107)   <   n - An
                                        n - 1   ≤   An + n(log107)   <   n 
                       n - n(log107) - 1≤   An   <    n - n(log107)
                         1 - log107 - 1/n   ≤   An/n   <   1 - log107   
เนื่องจาก   lim  n --> {1- log107 - 1/n} = 1 - log107   และ  lim n--> {1 - log107} = 1 - log107  
โดย Squeeze theorem จะได้ว่า lim n--> An/n = 1- log107   ##
วิธีในเฉลยก็ไม่ได้ซับซ้อนจนเกินไป  ออกจะเรียบง่ายดีด้วย(ในความรู้สึกผมนะ)   แต่จุดที่ทำให้โจทย์ข้อนี้ไม่ค่อยมีคนตอบถูกคงเป็นเพราะการใช้ Squeeze theorem ที่หลายคนไม่ค่อยคุ้นเคยกับการเขียนจำนวนหลักของ 7n ให้อยูในรูป An ที่อาจจะทำให้นึกไม่ถึงกันล่ะมั้งครับ

3. วิธีคิดแบบอาศัย fractional part
ปิดท้ายด้วยวิธีคิดของคุณผลึกความคิดครับ ถึงแม้จะไม่อาจบอกได้ว่าถูกต้องสมบูรณ์ แต่จัดว่าเป็นวิธีที่น่าทึ่งเลยล่ะและคำตอบก็ออกมาถูกซะด้วย ผมเองก็ไม่ทราบเหมือนกันว่าอะไรดลใจให้เขานึกวิธีแบบนี้ออกมาได้  เรามาดูกันเลยดีกว่า

สำหรับจำนวนจริง x เราให้ [x] แทนจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x
และให้ {x} แทน fractional part ของ x นั่นคือ {x} = x - [x]

สำหรับจำนวนเต็มบวก k ใดๆ จะได้ว่า  0 < {k(log107)} < 1 
นั่นคือทุกจำนวนเต็มบวก k ค่าของ {k(log107)} จะกระจายตัวอยู่บนช่วง (0,1)  

และถ้าจำนวนเต็มบวก k มีคุณสมบัติว่า จำนวนหลักของ 7k-1  เท่ากับจำนวนหลักของ 7k  
(ต่อไปจะขอเรียกสั้นๆว่าคุณสมบัติQ) แล้ว [k(log107)] = [(k-1)(log107)]
ดังนั้น  {k(log107)} = k(log107) - [k(log107)] =  (k-1)(log107) - [(k-1)(log107)] + log107
                         = {(k-1)(log107)log107 > log107     เพราะ {(k-1)(log107)} > 0
สรุปสั้นๆคือ ถ้าจำนวนเต็มบวก k มีคุณสมบัติQ แล้ว {k(log107)log107
และพิสูจน์ได้ไม่ยากว่าในทางกลับกัน (converse) ก็เป็นจริง
นั่นคือ ค่าของ {k(log107)} จะกระจายตัวอยู่บนช่วง (log107,1) ก็ต่อเมื่อ จำนวนเต็มบวก k มีคุณสมบัติQ

เนื่องจาก lim n--> An/n คือสัดส่วนของจำนวนที่มีคุณสมบัติQกับจำนวนเต็มทั้งหมด 
(หรืออาจจะคิดอีกแบบก็ได้ว่า  lim n--> An/n คือความน่าจะเป็นที่สุ่มจำนวนเต็มบวกมาหนึ่งตัวแล้วได้จำนวนที่มีคุณสมบัติQ)
นอกจากนี้จะเห็นว่า จำนวนเต็มบวก k ทั้งหมดสมนัยแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับจำนวนอตรรกยะ {k(log107)} บนช่วง (0,1)     และจำนวนเต็มบวก k ที่สอดคล้องกับคุณสมบัติQ สมนัยแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับ {k(log107)} บนช่วง (log107,1) 
ดังนั้น ถ้าหากการกระจายตัวของ {k(log107)} เป็นไปอย่างสม่ำเสมอบนช่วง (0,1) เราก็จะสรุปได้ว่า 
lim n--> An/n = ความยาวของช่วง(log107,1) / ความยาวของช่วง(0,1) = 1 - log107   ##

จะเห็นว่าเป็นคำตอบที่ถูกต้องตรงกับเฉลย  แต่จุดผิดพลาดคือคุณผลึกความคิดอ้างมาลอยๆว่าการกระจายตัวดังกล่าวเป็นไปอย่างสม่ำเสมอโดยไม่ได้พิสูจน์หรือยกทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องมาใช้  จึงทำให้เกิดข้อสงสัยและมีคนทักท้วงคุณผลึกความคิดไปว่า เขาทราบได้อย่างไรว่ามันกระจายตัวสม่ำเสมอ?? อันนี้สำคัญมากครับเพราะกว่าเค้าจะพิสูจน์ว่าเลขหลังทศนิยมของค่า pi กระจายตัวอย่างสม่ำเสมอได้ก็ลำบากอยู่ไม่ใช่น้อย
อันที่จริงการพิสูจน์ว่าการกระจายตัวของ {k(log107)} เป็นไปอย่างสม่ำเสมอน่าจะยุ่งยากซับซ้อนมากครับ  และอาจจำเป็นต้องใช้คณิตศาสตร์ระดับสูงเช่น Measure Theory มาเกี่ยวข้องก็ได้ 
คุณผลึกความคิดเองก็ยอมรับว่าเขาตัดสินเอาจากการสังเกตและความรู้สึกยังไม่ได้คิดเรื่องพิสูจน์ออกมาเป็นเรื่องเป็นราว แต่สุดท้ายเขาก็ได้ไปค้นหาทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องคือEquidistribution Theorem มายืนยันแนวคิดของเขาได้เป็นที่เรียบร้อยครับ

หมายเหตุ : โจทย์ข้อนี้เป็นข้อสอบเข้า Kobe University, Science Course ปี 1998 ได้มาจากหนังสือ 100 โจทย์คณิตพิชิต Admission ของสำนักพิมพ์ ส.ส.ท. ครับ




 

Create Date : 29 พฤษภาคม 2556    
Last Update : 8 กันยายน 2556 19:22:35 น.  

ปิศาจอมตะกับกระบองยู่สี


ปิศาจจิ๋วตนหนึ่งกำลังเดินอยู่บนกระบองยู่สี (กระบองทองสารพัดนึกของหงอคงนั่นแหละครับ) จากปลายด้านซ้ายสุดของกระบองไปยังปลายด้านขวาสุดด้วยความเร็วคงที่ 1 cm/s    

ในขณะที่กระบองกำลังยืดยาวขึ้นเรื่อยๆเช่นเดียวกัน ความยาวของมันเพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอ 1 m/s ถ้า ณ ขณะที่ปิศาจเริ่มเดินจากปลายด้านซ้าย  กระบองมีความยาวเริ่มต้น 1 m   

ปิศาจอมตะตนนี้ต้องใช้เวลาเท่าไหร่ในการเดินทางไปให้ถึงที่ปลายด้านขวาสุดของกระบอง?  

ดูเหมือนปิศาจจะไม่มีทางเดินไปถึงปลายด้านขวาภายในระยะเวลาจำกัดได้เลย และผมเชื่อว่าหลายๆคนที่เห็นปัญหาข้อนี้เป็นครั้งแรกจะคิดแบบนี้ทันทีหลังจากอ่านโจทย์จบ 

แน่นอนครับว่าในกรณีที่กระบองยืดออกเฉพาะส่วนปลายให้ยาวขึ้นด้วยความเร็ว 1m/s  ย่อมเป็นไปไม่ได้ที่ปิศาจจะเดินจนถึงปลายด้านขวาได้สำเร็จ แต่โจทย์ของเราไม่ได้อยู่ในกรณีนี้

เพราะเราถือว่ากระบองยืดออกแบบ uniform นั่นหมายความว่าสัดส่วนตำแหน่งของปิศาจกับความยาวของกระบองจะคงที่เสมอ  เช่น ถ้าให้ปิศาจยืนนิ่งๆที่ตำแหน่งกึ่งกลางของกระบอง

ปิศาจก็จะยังคงอยู่ที่ตำแหน่งกึ่งกลางเหมือนเดิมไม่ว่ากระบองจะยาวขึ้นแค่ไหน    ซึ่งถ้าเป็นแบบนี้ก็อาจเป็นไปได้ที่ปิศาจจะเดินไปถึงจุดหมายได้สำเร็จแม้อาจต้องใช้เวลานานนับอสงไขยก็ตาม

ปริศนานี้นับว่าเป็นปัญหา classic ข้อหนึ่ง บางคนอาจจะพอคุ้นเคยหรือผ่านหูผ่านตามาบ้างแล้วเช่นใน

http://topicstock.pantip.com/wahkor/topicstock/2010/01/X8731152/X8731152.html

ซึ่งผมคิดว่ายังไม่ได้คำตอบที่ถูกต้อง และใน

http://www.bloggang.com/mainblog.php?id=cryptomnesia&month=27-07-2008&group=11&gblog=2

ซึ่งผมคิดว่าคำตอบถูกต้องแต่แสดงวิธีทำไม่ค่อยละเอียดและเข้าใจยาก      ผมยกโจทย์นี้ขึ้นมาอีกครั้ง เพื่อแสดงวิธีทำให้ละเอียดมากขึ้น  เผื่อจะทำให้เข้าใจง่ายขึ้นครับ ( รึเปล่า?)


ก่อนอื่นเรากำหนดให้เวลาเริ่มต้น (t=0) คือเวลาเดียวกับตอนที่ปิศาจเริ่มเดิน (ซึ่งเป็นเวลาเดียวกับที่กระบองมีความยาว 1m และเริ่มยืดออก)

ให้ L(t)  เท่ากับความยาวในหน่วยเซนติเมตรของกระบองเมื่อเวลาผ่านไปจากเวลาเริ่มต้น t วินาที

เห็นได้ชัดว่า L(0) = 100 เพราะกระบองมีความยาว 1m= 100cm ที่เวลาเริ่มต้น

ส่วนที่เวลา t จะได้ L(t) = 100+100t = 100(t+1) เพราะกระบองยืดออกอย่างสม่ำเสมอ 1m/s  

และให้ f(t) เท่ากับระยะห่างในหน่วยเซนติเมตรระหว่างปลายด้านซ้ายสุดของกระบองกับตำแหน่งของปิศาจเมื่อเวลาผ่านไปจากเวลาเริ่มต้น t วินาที

เห็นได้ชัดว่า f(0) = 0 เพราะปิศาจอยู่ตรงปลายด้านซ้ายสุดของกระบองที่เวลาเริ่มต้น

แต่ที่เวลา t นั้นจำเป็นต้องใช้ความรู้คณิตศาสตร์ที่สูงเกินระดับมัธยมในการหา f(t)

ถ้าให้ T แทนเวลาที่ปิศาจเดินไปถึงจุดหมาย จะได้สมการ  f(T) = L(T)  f(T) = 100(T+1) ______(1)

หากเราแก้สมการ (1) ก็จะได้คำตอบ  แต่ก่อนจะแก้สมการได้เราต้องหารูปแจ้งชัดของ f(t) เสียก่อนซึ่งเท่าที่ผมนึกออกมีอยู่สองวิธีในการหา f(t) ดังนี้ครับ

1. ใช้ผลบวกรีมันน์ (อ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับผลบวกรีมันน์ได้ที่ http://www.bloggang.com/viewblog.php?id=khlongez&date=26-05-2013&group=3&gblog=2 )

ในความเป็นจริงกระบองยู่สีนั้นยืดออกอย่างต่อเนื่องสม่ำเสมอ 1m/s แต่เราจะสมมติว่ามันยืดออกแบบไม่ต่อเนื่องก่อน

ถ้าสมมติว่ากระบองยืดออกแบบไม่ต่อเนื่องด้วยความถี่ ครั้งต่อวินาทีกระบองจะยาวขึ้น 1m ต่อการยืดออกหนึ่งครั้ง (เพราะมันยาวขึ้น1m/s)

หมายความว่ากระบองจะอยู่นิ่งๆจนกว่าจะผ่านไป วินาทีจึงจะยืดยาวขึ้น 1m ในทันที และอยู่นิ่งๆไปอีก 1 วินาทีจึงจะยืดยาวขึ้น 1m ในทันทีอีกครั้งเป็นแบบนี้ไปเรื่อยๆ 

ดังนั้นถ้าเวลาผ่านไป t วินาที กระบองจะยืดออกทั้งหมด ครั้ง

ในการยืดครั้งแรกซึ่งเกิดเมื่อเวลาผ่านไป 1 วินาที ปิศาจจะเดินไป 1cm คิดเป็นสัดส่วน 1/L(0) = 1/100 ของความยาวกระบองในตอนเริ่มต้น

 แต่กระบองจะยืดยาวขึ้นเป็น L(1) = 200cm จะได้ว่าตำแหน่งของปิศาจอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น (1/L(0))*L(1)= 2cm

ในการยืดครั้งที่ 2 ปิศาจจะเดินต่อไปอีก (1/L(0))*L(1)+1 = 3cm คิดเป็นสัดส่วน 1/L(0) + 1/L(1) = 3/200 ของความยาวกระบองในวินาทีที่ 

แต่กระบองจะยืดยาวขึ้นเป็น L(2) = 300cm จะได้ว่าตำแหน่งของปิศาจอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น(1/L(0) + 1/L(1))*L(2) = 9/2cm

และจะเป็นในทำนองนี้ไปเรื่อยๆจนถึงการยืดครั้งที่ t ตำแหน่งของปิศาจจะอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น (1/L(0) + 1/L(1) +…+ 1/L(t-1))*L(t) cm

ดังนั้นเราอาจประมาณได้ว่า f(t) (1/L(0) + 1/L(1) +…+ 1/L(t-1))*L(t) = (1+1/2+…+1/t)*(t+1) แต่ก็ยังไม่ใช่ค่าที่ถูกต้องของ f(t) เป็นเพียงค่าที่ใกล้เคียงในระดับหนึ่งเท่านั้น 

(หากจับเอาค่าประมาณที่ได้ตรงนี้ไปแทนค่าแก้สมการ (1) เลยก็จะได้คำตอบคล้ายๆกับใน http://topicstock.pantip.com/wahkor/topicstock/2010/01/X8731152/X8731152.html ซึ่งผมคิดว่ายังไม่ใช่คำตอบที่ถูกต้องครับ)

เนื่องจากกระบองยืดออกอย่างต่อเนื่อง ถ้าต้องการให้การประมาณแม่นยำมากขึ้นก็ต้องสมมติให้กระบองยืดออกแบบไม่ต่อเนื่องด้วยความถี่สูงขึ้น

ยิ่งกระบองยืดถี่เท่าไหร่การประมาณยิ่งใกล้เคียงค่าจริงมากเท่านั้น ถ้ากระบองยืดด้วยความถี่เข้าใกล้อนันต์ก็จะเปรียบเสมือนว่ากระบองยืดอย่างต่อเนื่องได้

สมมติให้กระบองยืดออกแบบไม่ต่อเนื่องด้วยความถี่ N ครั้งต่อวินาที กระบองจะยาวขึ้น 1/N เมตรต่อการยืดออกหนึ่งครั้ง (เพราะมันยาวขึ้น 1m/s)

และเมื่อเวลาผ่านไป วินาที (ทุก t บนช่วง [0,T] ) กระบองจะยืดออกทั้งหมด Nt ครั้ง

ในการยืดครั้งแรกซึ่งเกิดเมื่อเวลาผ่านไป 1/N วินาที ปิศาจจะเดินมาได้ไกล 1/N cm คิดเป็นสัดส่วน (1/N)/L(0) ของความยาวกระบองในตอนเริ่มต้น 

แต่กระบองจะยืดยาวขึ้นเป็น L(1/N) cm จะได้ว่าตำแหน่งของปิศาจอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น ((1/N)/L(0))*L(1/N) cm

ในการยืดครั้งที่ 2 ซึ่งเกิดเมื่อเวลาผ่านไป 2/N วินาที ปิศาจจะเดินมาได้ไกล ((1/N)/L(0))*L(1/N) + 1/N cm คิดเป็นสัดส่วน (1/N)/L(0) + (1/N)/L(1/N) ของความยาวกระบองในวินาทีที่ 1/N

แต่กระบองจะยืดยาวขึ้นเป็น L(2/N) cm จะได้ว่าตำแหน่งของปิศาจอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น ((1/N)/L(0)+ (1/N)/L(1/N))*L(2/N) cm

และจะเป็นในทำนองนี้ไปเรื่อยๆจนถึงการยืดครั้งที่ Nt ซึ่งตำแหน่งของปิศาจจะอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น [(1/N)/L(0) + (1/N)/L(1/N) +…+ (1/N)/L((Nt-1)/N)]*L(t) cm นั่นคือประมาณได้ว่า 

f(t) [(1/N)/L(0) + (1/N)/L(1/N) +(1/N)/L(2/N)+…+(1/N)/L((Nt-1)/N)]*L(t) = (1/N)*(1 + 1/(1/N+1)+ 1/(2/N+1) +…+ 1/((Nt-1)/N+1) )*(t+1)

ถ้า take limit ให้ N -->  ก็จะได้ว่า   f(t) = lim N--> (1/N)*(1 + 1/(1/N+1) + 1/(2/N+1) +…+1/((Nt-1)/N+1) )*(t+1)

พิจารณา lim N--> (1/N)*(1 + 1/(1/N+1) + 1/(2/N+1) +…+1/((Nt-1)/N+1) ) = lim N--> (t/(Nt))*(1 + 1/(t/(Nt)+1) + 1/(2t/(Nt)+1) +…+1/((Nt-1)t/(Nt)+1) )

ให้ n = Nt จะได้ lim N--> (t/(Nt))*(1 + 1/(t/(Nt)+1) + 1/(2t/(Nt)+1) +…+1/((Nt-1)t/(Nt)+1) ) = lim n--> (t/n)*(1 + 1/(t/n+1) + 1/(2t/n+1) +…+ 1/((n-1)t/n+1))

โดยผลบวกรีมันน์เราทราบว่า lim n--> (t/n)*(1 + 1/(t/n+1) + 1/(2t/n+1) +…+1/((n-1)t/n+1) ) = 0t(1/(x+1))dx

ดังนั้น f(t) = (0t(1/(x+1))dx)*(t+1) = (ln(t+1))*(t+1) =(t+1)*ln(t+1)  สำหรับทุกt บนช่วง [0,T]

2. ใช้สมการเชิงอนุพันธ์ (Differential Equations)

สำหรับ t ในช่วง (0,T) เริ่มจากพิจารณา lim h-->0[f(t+h)-f(t)]/h เมื่อ h --> 0 ทางขวา (h>0) ก่อน

เนื่องจากเราสามารถประมาณการยืดแบบต่อเนื่องด้วยการยืดแบบไม่ต่อเนื่องในช่วงเวลาสั้นๆได้ยิ่งช่วงเวลาสั้นมากเท่าไหร่ การประมาณยิ่งใกล้เคียงมากเท่านั้น

 ดังนั้นจึงถือได้ว่ากระบองยืดแบบไม่ต่อเนื่องในช่วงเวลา t ถึง t+h เพราะ h -->0

ซึ่งเราจะได้ว่า f(t+h) = [(f(t)+h)/L(t)]*L(t+h) = (f(t)+h)*(t+h+1)/(t+1)   ; คิดในทำนองเดียวกับวิธีข้างบน

ดังนั้น lim h-->[f(t+h)-f(t)]/h = lim h-->0 [(f(t)+h)*(t+h+1)/(t+1) - f(t)]/h = f(t)/(t+1)+ 1

ต่อไปพิจารณา lim h-->0 [f(t+h)-f(t)]/h เมื่อ h --> 0 ทางซ้าย (h<0)

ซึ่งถือได้ว่ากระบองยืดแบบไม่ต่อเนื่องในช่วงเวลา t+h ถึง จะได้ว่า f(t) =[(f(t+h)-h)/L(t+h)]*L(t) = (f(t+h)-h)*(t+1)/(t+h+1)

ดังนั้น lim h-->[f(t+h)-f(t)]/h = lim h-->0 [f(t+h) - (f(t+h)-h)*(t+1)/(t+h+1)]/h = f(t)/(t+1) + 1

โดยนิยามของอนุพันธ์จะได้ว่า f’(t) = f(t)/(t+1)+1 สำหรับ tในช่วง (0,T) ซึ่งเป็นสมการอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับหนึ่ง

หาผลเฉลยโดยใช้วิธีการทางสมการเชิงอนุพันธ์จะได้ f(t) = (t+1)*ln(t+1) +c(t+1) เมื่อ c เป็นค่าคงที่ใดๆ

แต่เราทราบว่า f(t) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [0,T]  (ใช้สามัญสำนึกตัดสินเอาจากการที่ปิศาจเดินตรงเรื่อยๆเพียงอย่างเดียวคงไม่มีการกระโดดหรือหายตัวแว๊บไปมาแต่อย่างใด

มันจึงมีตำแหน่งที่แน่นอนตลอดช่วงเวลา [0,T] และไม่มีเวลาไหนในช่วงดังกล่าวที่ค่าของ f(t) ขาดแหว่งหรือโดดออกมาจากกราฟ )

ดังนั้น f(0)= 0 = (0+1)*ln(0+1) + c(0+1) ⇔ c = 0 นั่นคือ f(t) = (t+1)*ln(t+1)  สำหรับทุก t บนช่วง [0,T]


จากวิธีคิดทั้ง 2 แบบ ตอนนี้เราได้รูปแบบแจ้งชัดของ f(t) แล้ว เหลือเพียงแทนค่าลงในสมการ (1) ก็จะได้คำตอบที่ต้องการ

(T+1)*ln(T+1) = 100(T+1) ⇔ T = e100 - 1

ดังนั้นปิศาจต้องใช้เวลาทั้งหมด e100 -1 วินาทีในการเดินไปจนถึงปลายด้านขวาสุดของกระบอง

ถ้ามีตรงไหนผิดพลาดต้องขออภัยไว้ด้วยครับ

 แถมท้าย  :  e100 -1 วินาทีหรือประมาณ 8.5 x 1035 ปีเป็นระยะเวลาที่ยาวนานกว่าอายุของจักรวาล(ตามทฤษฎีคือ12,000-16,000ล้านปี) แต่ยังน้อยกว่าเวลาอสงไขย (10140ปี)




 

Create Date : 26 พฤษภาคม 2556    
Last Update : 8 กันยายน 2556 19:23:08 น.  

ผลบวกรีมันน์


ลองมาดูตัวอย่างโจทย์หาค่าลิมิตสัก 3 ข้อนะครับ


แค่เห็นก็คงรู้สึกแล้วใช่ไหมครับว่ายากแน่ๆ แล้วโจทย์ลิมิตที่ดูแสนจะยากนรกแบบนี้ เขามีวิธีแก้กันยังไงนะ?

วิธีหนึ่งที่ใช้หาค่าลิมิตพวกนี้ได้คืออาศัยผลบวกรีมันน์ครับ 

ผลบวกรีมันน์คือพื้นที่ใต้เส้นโค้ง f(x) บนช่วง [a,b] ซึ่งหาโดยการแบ่งช่วง [a,b] ออกเป็น n ช่วงย่อยๆ ให้แต่ละช่วงยาว d =(b-a)/n หน่วยเท่าๆกัน (ความจริงจะยาวไม่เท่ากันก็ได้แต่เพื่อความง่ายจึงให้ทุกช่วงยาวเท่ากัน) จากนั้นเราจะเลือกจุดมาช่วงละจุด (เพื่อความง่ายอีกเช่นเคยเรามักจะเลือกจุดซ้ายสุดหรือไม่ก็จุดขวาสุดของแต่ละช่วง) ดังนี้

ช่วงที่ 1 คือ [a, a+d] เลือกจุดซ้ายสุดคือ x1 = a (หรืออาจเลือกจุดขวาสุด x1 = a+d ก็ได้) ทำให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสูง f(x1) หน่วยบนช่วง [a , a+d]

ช่วงที่ 2 คือ [a+d, a+2d] เลือกจุดซ้ายสุดคือ x2 = a+d (หรืออาจเลือกจุดขวาสุด x2= a+2d ก็ได้) ทำให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสูง f(x2หน่วยบนช่วง [a+d , a+2d]

……………………………

……………………………

……………………………

ช่วงที่ n คือ [a+(n-1)d, b] เลือกจุดซ้ายสุดคือ x1 = a+(n-1)d (หรืออาจเลือกจุดขวาสุด x1 = a+nd = b ก็ได้) ทำให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสูง f(xn) หน่วยบนช่วง [a , a+d]


จะเห็นว่าผลรวมพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าทุกรูปมีค่าใกล้เคียงกับพื้นที่ใต้เส้นโค้ง f(x) บนช่วง [a,b] นั่นเอง

และถ้า n มีค่ามากขึ้น(พูดอีกอย่างได้ว่าจำนวนรูปสี่เหลี่ยมมากขึ้นหรือความกว้างของรูปสี่เหลี่ยมแต่ละรูปน้อยลง)ผลรวมพื้นที่สี่เหลี่ยมจะยิ่งใกล้เคียงพื้นที่ใต้เส้นโค้งมากขึ้น

เนื่องจากผลรวมพื้นที่สี่เหลี่ยมเท่ากับ d*[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]= ((b-a)/n)*[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]

ในกรณีที่เลือกจุดซ้ายสุดของแต่ละช่วงจะได้ว่าผลรวมพื้นที่สี่เหลี่ยมเท่ากับ ((b-a)/n)*[f(a)+f(a+(b-a)/n)+…+f(a+(n-1)*(b-a)/n)]

ในกรณีที่เลือกจุดขวาสุดของแต่ละช่วงจะได้ว่าผลรวมพื้นที่สี่เหลี่ยมเท่ากับ ((b-a)/n)*[f(a+(b-a)/n)+f(a+2(b-a)/n)+…+f(a+n(b-a)/n)]

ดังนั้นพื้นที่ใต้เส้นโค้งจึงเท่ากับ

lim n--> ((b-a)/n)*[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)] = lim n--> ((b-a)/n)*[f(a)+f(a+(b-a)/n)+…+f(a+(n-1)*(b-a)/n)] แบบเลือกจุดซ้าย

หรือ

lim n--> ((b-a)/n)*[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)] = lim n--> ((b-a)/n)*[f(a+(b-a)/n)+f(a+2(b-a)/n)+…+f(a+n(b-a)/n)] แบบเลือกจุดขวา

ค่าลิมิตนี้เองที่เรียกว่าผลบวกรีมันน์ ในที่นี้ผมทำไว้ให้สองสูตรคือแบบเลือกจุดซ้ายกับแบบเลือกจุดขวา จะใช้สูตรไหนก็ได้ครับ ค่าเท่ากัน

ทีนี้ตามปกติที่เราร่ำเรียนกันมาตั้งแต่มัธยม เราทราบว่าพื้นที่ใต้เส้นโค้ง f(x) บนช่วง [a,b] เท่ากับ abf(x)dx

เราจึงได้ว่า abf(x)dx = lim n--> ((b-a)/n)*[f(a)+f(a+(b-a)/n)+…+f(a+(n-1)*(b-a)/n)]

หรือ abf(x)dx = lim n--> ((b-a)/n)*[f(a+(b-a)/n)+f(a+2(b-a)/n)+…+f(a+n(b-a)/n)]

เอาล่ะ !! คราวนี้กลับมาsolve โจทย์ข้างบนของเรากันได้แล้ว (ขอทำแบบไม่ละเอียดนะ ฝากลองทดๆดูเองถ้าข้อไหนผิดทักท้วงกันได้นะครับ)

ข้อ 1. ใช้สูตรแบบเลือกจุดขวาค่าของลิมิตเท่ากับ 12 sqrt(x)dx = (2/3)*(2sqrt(2)-1)

ข้อ 2.จัดรูปให้ดีก่อน และใช้สูตรแบบเลือกจุดซ้าย ค่าของลิมิตเท่ากับ 01 (1/(x+1))dx = ln2

ข้อ 3. จัดรูปและใช้สูตรแบบเลือกจุดขวาค่าของลิมิตเท่ากับ (1/π)0π(sinx)dx = 2/π


หมายเหตุ : นิยามของอินทิกรัลแบบไม่จำกัดเขตคือกระบวนการย้อนกลับของการหาอนุพันธ์(การหาปฏิยานุพันธ์)   ส่วนนิยามของอินทิกรัลแบบจำกัดเขตคือผลบวกรีมันน์ ฉะนั้น  abf(x)dx = lim n-->∞ ((b-a)/n)*[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)] โดยนิยามอยู่แล้ว

แต่วิธีการหาค่า abf(x)dx แบบหาปฏิยานุพันธ์ที่เราใช้กันมาตลอดเป็นผลจากทฤษฏีบทหลักมูลของแคลคูลัสครับ




 

Create Date : 26 พฤษภาคม 2556    
Last Update : 8 กันยายน 2556 19:23:30 น.  

 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.